1、第2课时等比数列的性质及应用教学建议在教学过程中,重视等比数列性质的推导,让学生认识数列通项公式的重要性,即首项与公比(通项公式)是解决等比数列问题最基本的量.通过练习巩固等比数列的性质及应用.教学参考等和数列与等积数列我们已学过等差数列和等比数列.类似地,我们定义:1.等和数列如果一个数列an从第2项起,每一项与它的前一项的和为同一个常数,则这个数列an叫做等和数列,这个常数叫做等和数列的公和.它的递推公式为c为公和,其中a0,它的通项公式为an=(2a-c)+(nN*).证明:(方法一)an+1+an=c,则an+an-1=c,-,得(an+1-an)+(an-an-1)=0,an+1-a
2、n=-(an-an-1).数列an+1-an是以-1为公比,a2-a1=c-a-a=c-2a为首项的等比数列.于是,an+1-an=(c-2a)(-1)n-1.由解得an+1=,an=(-1)n-2+(2a-c)+(nN*).(方法二)(利用待定系数法):已知an+1+an=c,设an+1+=-m(an+),an+1+man=-(m+1).取m=1,则c=-2,即=-,即an+1-=-.数列是以-1为公比,a1-=a-为首项的等比数列.于是an-(-1)n-1,即an=(2a-c)+ (nN*).规律总结在方法一中,构造一个两项之差的数列,即an+1-an=-(an-an-1),得到an+1-
3、an为等比数列;在方法二中,构造另一种形式的等比数列,即an+1-=-,得到为等比数列.把陌生的问题转化为熟悉的问题来解,这是学习数学知识的基本方法.2.等积数列如果一个数列bn从第2项起,每一项与它的前一项的积为同一个常数,则这个数列bn叫做等积数列,这个常数叫做等积数列的公积.它的递推公式为p为公积,其中b0.对于等积数列,可以将它转化为等和数列.如由bn+1bn=p,bnbn-1=p,两式相除,得bn+1=bn-1,于是有bn+1+bn=bn+bn-1(n2),这恰好是等和数列.如果等积数列的各项都是正数,这时由bn+1bn=p,两边取对数,如lg bn+1+lg bn=lg p,从而知
4、lg bn是等和数列.这样都可以转化为等和数列求解.【例1】 已知数列an满足求数列an的通项公式.解:(方法一)由an+1+an=2,得an+1-1=-(an-1),数列an-1是以2为首项,-1为公比的等比数列.an-1=2(-1)n-1,即an=2(-1)n-1+1(nN*).(方法二)由an+1+an=2,得an+1-an=-(an-an-1),数列an+1-an是以-4为首项,-1为公比的等比数列.an+1-an=-4(-1)n-1=4(-1)n.又an+1+an=2,由此解得an=2 (-1)n-1+1(nN*).【例2】已知数列bn满足求数列bn的通项公式.解:(方法一)由已知,得bn0(nN*),由bn+1bn=2,得lg(bn+1bn)=lg 2,即lg bn+1+lg bn=lg 2.数列lg bn为等和数列.于是可以转化为等和数列的方法求解.下略.(方法二)由bn+1bn=2,可得bnbn-1=2(n2),两式相除,得bn+1=bn-1,于是有bn+1+bn=bn+bn-1(n2),故数列bn+1+bn是等和数列.下略.
