1、2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义问题导学一、向量数量积的概念活动与探究1已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是()|ab|a|b|ab；a，b反向ab|a|b|；ab|ab|ab|；|a|b|ac|bc|A1 B2 C3 D4迁移与应用1已知下列命题：若a2b20，则ab0；已知a，b，c是三个非零向量，若ab0，则|ac|bc|；|a|b|ab；aaa|a|3；若向量a，b满足ab0，则a与b的夹角为锐角，其中判断为正确的是_2已知a，b，c是三个向量，试判断下列说法的正误：(1)若abac且a0，则bc；(2)若ab0，则a0或b0；(3)
2、若ab，则ab0；(4)向量a在b的方向上的投影是模等于|a|cos |(是a与b的夹角)、方向与b相同或相反的一个向量对于这类概念、性质、运算律问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等二、平面向量数量积的运算活动与探究2(1)已知|a|4，|b|5，且向量a与b的夹角为60，求(2a3b)(3a2b)；(2)在ABC中，M是线段BC的中点，AM3，BC10，则_迁移与应用1设向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为，则|a2b|_2设正三角形ABC的边长为，c，a，b，求abbc
3、ca(1)求a，b的数量积需已知三个量，即|a|，|b|，其中确定角是关键，注意0，还要注意结合向量的线性运算(2)求向量模时可用如下方法：a2aa|a|2或|a|；|ab|由关系式a2|a|2，可使向量的长度与向量的数量积互相转化因此欲求|ab|，可求三、用平面向量数量积解决垂直问题活动与探究3已知|a|5，|b|4，且a与b的夹角为60，则当k为何值时，向量kab与a2b垂直？迁移与应用已知非零向量a，b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，求a与b的夹角解决向量垂直问题常用向量数量积的性质abab0这是一个重要性质，对于解平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握当
4、堂检测1已知a与b是相反向量，且|a|2，则ab()A2 B2C4 D42已知向量a，b满足|a|b|2，a与b的夹角为120，则|ab|的值为()A1 B C2 D33已知a，b均为单位向量，(2ab)(a2b)，a与b的夹角为()A30 B45C135 D1504已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，ae12e2，bke1e2，若ab0，则实数k的值为_5已知|b|5，ab12，则向量a在b方向上的投影为_提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记。答案：课前预习导学【预习导引】1(1)非零|a|b| cos 数量积内积ab(2)ab投影(3)
5、0(4)|a|b|cos 2(1)ba(2)abb(3)acbc预习交流1提示：不一定成立若(ab)c0，其方向与c相同或相反，而(bc)a0时其方向与a相同或相反，而a与c的方向不一定相同，故该等式不一定成立3(1)ab0(2)|a|b|a|b|(3)|a|(4)预习交流2提示：不一定当ab时，也有ab0课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：要对以上四个命题一一进行判断，依据有两个：一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则C解析：ab|a|b| cos ，由|ab|a|b|及a，b均为非零向量可得|cos |1，0或，ab，且以上各步均可逆，故命题是真命题；若a，b反
6、向，则a，b的夹角为，ab|a|b|cos |a|b|，且以上各步均可逆，故命题是真命题；当ab时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形一定为矩形，于是它的两对角线的长度相等，即有|ab|ab|反过来，若|ab|ab|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，ab，因此命题也是真命题；当|a|b|但是a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|ac|bc|反过来，由|ac|bc|也推不出|a|b|，故命题是假命题故选C迁移与应用1解析：对于a2b20，|a|2|b|20，|a|b|0，ab0故正确；对于ab0，a与b互为相反向量，设a与c夹角为，则b与c夹角
7、为，则ac|a|c|cos ，bc|b|c|cos()|b|c|cos ，|ac|bc|，所以正确；对于|ab|a|b|cos |a|b|，故错误；对于aaa|a|2a，其结果为向量，故错误；对于当a与b为同向的非零向量时，ab|a|b|cos 0|a|b|0，但夹角不是锐角故错误2解：(1)ab|a|b|cos ，ac|a|c|cos (其中与分别是a，b的夹角及a，c的夹角)，因此由abac可得到：|b|cos |c|cos ，并不能得到|b|c|及bc，(1)是错误的(2)由ab|a|b|cos 0可得a0或b0或 cos 0，因此ab0a0或b0或ab，不一定是a0或b0故(2)也是错
8、误的(3)当ab时，a，b的夹角90，ab|a|b|cos 900，故(3)是正确的(4)向量a在b方向上的投影|a|cos (是a与b的夹角)只是一个数量，它虽然有正负，但没有方向，故不是向量，(4)也是错误的活动与探究2思路分析：利用向量数量积的运算律和性质求解(1)解：(2a3b)(3a2b)6a24ab9ab6b2642545cos 606524(2)16解析：，2216迁移与应用1解析：由已知ab|a|b|cos 11cos，|a2b|2a24ab4b21443，|a2b|2解：abbcca cos 120cos 120 cos 1203活动与探究3思路分析：利用向量垂直的性质，由(
9、kab)(a2b)0可求出解：(kab)(a2b)，(kab)(a2b)0，ka2(2k1)ab2b20，k52(2k1)54cos 602420，k，即k为时，向量kab与向量a2b垂直迁移与应用解：由已知条件得即得23b246ab0，2abb2，代入得a2b2，|a|b|，cos 0，【当堂检测】1D解析：由已知ab，aba(a)a2|a|242C解析：|ab|2a22abb22222222cos 12012|ab|23A解析：(2ab)(a2b)2a24abab2b23ab，ab设夹角为，则cos ，又0，180，304解析：由ab0得(e12e2)(ke1e2)0整理，得k2(12k)cos0，解得k5解析：a在b方向上的投影为|a|cos
