1、第2课时直线与椭圆的位置关系及其应用基础过关练题组一直线与椭圆的位置关系1.直线y=x+1与椭圆x25+y24=1的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.无法判断2.(2020江西南昌二中高二上第一次月考)直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定3.若直线y=kx+2与椭圆x23+y22=1有且只有一个交点,则斜率k的值是()A.63B.-63C.63D.334.已知直线y=kx+1和椭圆x2+2y2=1有公共点,则k的取值范围是()A.k22B.-22kb0)的离心率e为32,短轴长为4.(1)求椭圆的标准方程;(2)过P(2,1)作
2、弦且弦被P平分,求此弦所在的直线方程及弦长.题组三直线与椭圆位置关系的综合运用11.设椭圆C:x29+y24=1的左,右焦点分别为F1,F2,以F1F2为直径的圆与C在第一象限的交点为P,则直线PF1的斜率为()A.13B.12C.33D.3212.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OPFP的最大值为.13.已知P(m,n)(m0,n0)为椭圆x28+y22=1上一点,Q,R,S分别为P关于y轴,原点,x轴的对称点.(1)求四边形PQRS面积的最大值;(2)当四边形PQRS面积最大时,在线段PQ上任取一点M(不与端点重合),若过M的直线与椭圆相交
3、于A,B两点,且AB中点恰为M,求直线AB斜率k的取值范围.能力提升练题组一直线与椭圆的相交弦问题1.()已知椭圆x2+y24=1 和点A12,12,B12,1,若椭圆的某弦的中点在线段AB上,且此弦所在直线的斜率为k,则k的取值范围为()A.-4,-2B.-2,-1C.-4,-1D.-1,-122.(多选)()已知直线l:y=2x+3被椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)截得的弦长为7,则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有()A.y=2x-3B.y=2x+1C.y=-2x-3D.y=-2x+33.(2020吉林长春实验中学高二上期中,)已知中心在原点,焦点坐标为(0,52)的椭圆截
4、直线3x-y-2=0所得的弦的中点的横坐标为12,则该椭圆的方程为.4.(2020山东师大附中高二上第五次学分认定,)设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为4,离心率为32.(1)当直线y=x+m与椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;(2)设点M(2,1)是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点,求直线l的方程.5.(2020辽宁大连高二上期中,)如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的射影,M为PD上一点,且|MD|=45|PD|.(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度.题组二直线与椭圆位置关系的综合运
5、用6.(2019黑龙江牡丹江一中高二上期中,)若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点的个数为()A.0或1B.2C.1D.07.(2018吉林省实验中学期末,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一个交点为C,若SABC=3SBCF2,则椭圆的离心率为()A.55B.33C.105D.33108.(多选)()已知椭圆C:x24+y22=1的左,右两个焦点分别为F1,F2,直线y=kx(k0)与C交于A,B两点,AEx轴,垂足为E,直线B
6、E与C的另一个交点为P,则下列结论正确的是()A.四边形AF1BF2为平行四边形B.F1PF2909.(2020海南海口海南中学高二上期中,)已知点P是椭圆x225+y29=1上任意一点,则当点P到直线4x-5y+40=0的距离达到最小值时,点P的坐标为.10.(2020山东烟台高二上期末,)过椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点F1作斜率为12的直线l与C交于A,B两点,若|OF1|=|OA|,则椭圆C的离心率为.11.(2020辽宁省实验中学高二上期中,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2,且过点1,22和22,32.(1)求椭圆的标准方程;(
7、2)如图,点A为椭圆上一位于x轴上方的动点,AF2的延长线与椭圆交于点B,AO的延长线与椭圆交于点C,求ABC面积的最大值,并写出取到最大值时直线BC的方程.12.(2020北京通州高二上期末,)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点是F1,F2,且|F1F2|=2,离心率为22.(1)求椭圆的方程;(2)过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点.(i)求|AF2|BF2|的最小值;(ii)点Q是直线l上异于F2的一点,且满足|QA|QB|=|F2A|F2B|,求证:点Q在一条定直线上.13.()已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离
8、心率e=22,过椭圆的左焦点F且倾斜角为30的直线m与圆x2+y2=b2相交所得弦长为3.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在过点P(0,3)的直线l与椭圆C交于A、B两点,且|PA|=2|AB|?若存在,求直线l的方程;若不存在,说明理由.答案全解全析基础过关练1.A解法一:直线y=x+1过点(0,1),将(0,1)代入x25+y24=1得,0+140,所以直线与椭圆相交.2.A直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),因为19+140),则b=t=2,因此a=4,所以椭圆的标准方程为x216+y24=1.(2)设以点P(2,1)为中点的弦与椭圆交于A(x1,y1),B(x2
9、,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2,将A,B两点坐标分别代入椭圆的方程得x1216+y124=1,x2216+y224=1,两式相减可得,(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,弦所在直线的斜率k=y2-y1x2-x1=-12,以点P(2,1)为中点的弦所在直线的方程为x+2y-4=0,联立椭圆的方程得x2-4x=0,解得x=0或x=4,因此弦长|AB|=1+k2|x1-x2|=25.11.B依题意得,a2=9,b2=4,c2=5,因此以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=5.由x2+y2=5,x29+y24=1,得x
10、2=95,y2=165,又点P在第一象限,P355,455,又F1(-5,0),斜率kPF1=455-0355+5=12,故选B.12.答案6解析由x24+y23=1,可得F(-1,0).设P(x,y),-2x2,则OP=(x,y),FP=(x+1,y),所以OPFP=x2+x+y2=x2+x+31-x24=14x2+x+3=14(x+2)2+2,当且仅当x=2时,OPFP取得最大值,最大值为6.13.解析(1)由P在椭圆上得m28+n22=1,m0,n0,利用基本不等式得1=m28+n222m8n2=mn2,当且仅当m28=n22=12,即m=2,n=1时,等号成立,易知S四边形PQRS=2
11、m2n=4mn8,当m=2,n=1时取等号,故当m=2,n=1时,四边形PQRS的面积取最大值,最大值为8.(2)由(1)得P(2,1),则Q(-2,1),设M的坐标为(t,1),其中-2tb0),则a2=b2+c2=b2+50.设直线3x-y-2=0与椭圆相交的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则b2y12+a2x12=a2b2,b2y22+a2x22=a2b2,b2(y1-y2)(y1+y2)+a2(x1-x2)(x1+x2)=0.又x1+x2=212=1,y1+y2=2-12=-1,y1-y2x1-x2=3,b23(-1)+a21=0,即a2=3b2.联立得,a2=75,b2
12、=25.故该椭圆的方程为y275+x225=1.4.解析(1)因为离心率e=ca=32,所以c2=34a2,又因为椭圆的短半轴长b=2,a2-b2=c2,所以a2=16,b2=4,即椭圆方程为x216+y24=1,因此,x216+y24=1,y=x+m5x2+8mx+4m2-16=0,因为直线y=x+m与椭圆有公共点,所以=64m2-45(4m2-16)0,即m220,解得-25m25.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).解法一:当斜率不存在时,不符合题意;当斜率存在时,设直线方程为y-1=k(x-2),联立方程y-1=k(x-2),x216+y24=1(4k2+1)x2+8k(1-2
13、k)x+16k2-16k-12=0,所以x1+x22=4k(2k-1)4k2+1=2,解得k=-12,所以直线l的方程为x+2y-4=0.解法二:x216+y24=1x2+4y2=16,x12+4y12=16,x22+4y22=16(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0y1-y2x1-x2=x1+x2-4(y1+y2)=-12,所以斜率k=-12,所以直线l的方程为x+2y-4=0.5.解析(1)设M的坐标为(x,y),P的坐标为(xp,yp),由已知得xp=x,yp=54y,因为P在圆上,所以x2+54y2=25,即点M的轨迹C的方程为x225+y216=1.(2)
14、过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y=45(x-3),设直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=45(x-3)代入C的方程,得x225+(x-3)225=1,整理得x2-3x-8=0,所以x1+x2=3,x1x2=-8,所以|AB|=1+452(x1+x2)2-4x1x2=415.6.B因为直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,所以4m2+n22,所以m2+n24,而m29+n24m24+n241,因此点(m,n)在椭圆内部,从而过点(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1必有两个交点,故选B.7.A设F1的坐标为(-c,0),F2的坐标为(c,0),故过
15、F1且与x轴垂直的直线方程为x=-c,代入椭圆方程可得y=b2a.可设A-c,b2a,C(x,y),由题意可得ABF2的面积是BCF2的面积的2倍,故AF2=2F2C,即有2c,-b2a=2(x-c,y),即2c=2x-2c,-b2a=2y,则x=2c,y=-b22a,代入椭圆方程可得4c2a2+b24a2=1,即4c2a2+a2-c24a2=1,4e2+14-14e2=1,解得e=55(负值舍去).故选A.8.ABC由椭圆的对称性知,四边形AF1BF2是平行四边形,故A正确;a2=4,b2=2,c2=2,F1AF290,又F1PF2F1AF20,则A21+2k2,2k1+2k2,B-21+2
16、k2,-2k1+2k2,E21+2k2,0,kBE=2k1+2k221+2k2+21+2k2=12k,故C正确;取k=2,则A23,43,B-23,-43,E23,0,直线BE的方程为y=x-23,与椭圆方程联立得,P149,89,PA=-89,49,PB=-209,-209,PAPB=1609-8090,PAB90错误.故选ABC.9.答案-4,95解析设平行于4x-5y+40=0,且与椭圆相切的直线方程为4x-5y+c=0(c40).由9x2+25y2=225,4x-5y+c=0,得25x2+8cx+c2-225=0,令=(8c)2-425(c2-225)=0得,c2=625,解得c=25
17、.结合图形(图略)取c=25,此时,x2+8x+16=0x=-4.代入4x-5y+25=0得,y=95,P-4,95.10.答案53解析如图所示,设右焦点为F2,则|OF1|=|OA|=|OF2|,AF1AF2,又tanAF1F2=12,|AF1|=455c,|AF2|=255c.因此,2a=|AF1|+|AF2|=655ce=ca=53.11.解析(1)将两点代入椭圆方程,得1a2+12b2=1,12a2+34b2=1,解得a2=2,b2=1,所以椭圆的标准方程为x22+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).由A在x轴上方,可知直线AF2的斜率不为0,所以设直线AF2的方程为
18、x=ty+1,联立x22+y2=1,x=ty+1(t2+2)y2+2ty-1=0,得y1+y2=-2tt2+2,y1y2=-1t2+2,所以|AB|=1+t2|y1-y2|=22(1+t2)t2+2.设原点到直线AF2的距离为d,则d=11+t2,所以SABC=2SOAB=212|AB|d=22(1+t2)t2+2=221+t2+11+t22,当且仅当1+t2=11+t2,即t=0时,等号成立,此时直线AB的方程为x=1,所以A1,22,B1,-22,C-1,-22,所以此时直线BC的方程为y=-22.12.解析(1)因为椭圆的焦点是F1,F2,且|F1F2|=2,所以半焦距c=1.因为离心率
19、为22,所以a=2,所以b=1.所以椭圆的方程是x22+y2=1.(2)(i)由(1)知F2(1,0),当直线l的斜率不存在时,不妨设A1,22,B1,-22,所以|AF2|BF2|=12.当直线l的斜率存在时,直线l的方程可设为y=k(x-1).联立方程x22+y2=1,y=k(x-1),消去y,整理得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0.所以x1+x2=4k21+2k2,x1x2=2k2-21+2k2.所以|AF2|=(x1-1)2+y12=1+k2|x1-1|,|BF2|=(x2-1)2+y22=1+k2|x2-1|.所以|AF2|BF2|=(1+k2)|x1x2-(x1+x2)
20、+1|=(1+k2)2k2-21+2k2-4k21+2k2+1=1+k21+2k2=121+11+2k2.因为11+2k2(0,1,所以|AF2|BF2|的取值范围是12,1.因为当直线l的斜率不存在时,|AF2|BF2|=12,所以|AF2|BF2|的最小值是12.(ii)证明:由题意得,直线l的斜率一定存在.因为点Q在直线l上,所以设点Q的坐标是(m,k(m-1).因为|QA|QB|=|F2A|F2B|,所以点Q一定在BA的延长线上,所以m-x1m-x2=x1-11-x2,即(m+1)(x1+x2)-2x1x2-2m=0.所以4k2(m+1)1+2k2-2(2k2-2)1+2k2-2m=0
21、.化简得m=2.所以点Q的坐标是(2,k).因此点Q在定直线x=2上.13.解析(1)由题易得,圆心(0,0)到直线m的距离为b2-322,由直线m的倾斜角为30得b2-322=c2,由e=ca=22得a2=2c2,即b2+c2=2c2,b2=c2,将其与b2-322=c2联立,得b=c=1,a=2,椭圆方程为x22+y2=1.(2)存在.设A(x1,y1),B(x2,y2).若直线l垂直于x轴,l与椭圆交于(0,1),(0,-1),取A(0,-1),B(0,1),满足|PA|=2|AB|.若直线l不垂直于x轴,设方程为y=kx+3,代入椭圆方程x22+y2=1整理得,(2k2+1)x2+12
22、kx+16=0,令=16k2-640,则k2,x1+x2=-12k2k2+1(*),x1x2=162k2+1(*),对于|PA|=2|AB|,包含两种情况:(i)PA=2AB,即(x1-0,y1-3)=2(x2-x1,y2-y1),x1=2(x2-x1),即x2=32x1,代入(*)(*)得52x1=-12k2k2+1,32x12=162k2+1,消去x1得3225-12k2k2+12=162k2+1,解得k=52,l的方程为y=52x+3或y=-52x+3.(ii)PA=2BA,即(x1-0,y1-3)=2(x1-x2,y1-y2),x1=2x2,代入(*)(*)得3x2=-12k2k2+1,2x22=162k2+1,消去x2得,213-12k2k2+12=162k2+1,有2k2=2k2+1,无解.综上,l的方程为x=0或5x-2y+6=0或5x+2y-6=0.
