1、22.2等差数列的前n项和(一)学习目标1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个知识点一等差数列前n项和公式的推导思考高斯用123100(1100)(299)(5051)10150迅速求出了等差数列前100项的和但如果是求123n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？梳理“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n项和，其方法如下：Sna1a2a3an1ana1(a1d)(a12d)a1(n2)da1(n1)d；Snanan1an2a2a1
2、an(and)(an2d)an(n2)dan(n1)d两式相加，得2Snn(a1an)，由此可得等差数列an的前n项和公式Sn.根据等差数列的通项公式ana1(n1)d，代入上式可得Snna1_.知识点二等差数列前n项和公式的特征思考1在等差数列an中，若已知a27，能求出前3项和S3吗？思考2我们对等差数列的通项公式变形：ana1(n1)ddn(a1d)，分析出通项公式与一次函数的关系你能类比这个思路分析一下Snna1d吗？梳理对于等差数列an的前n项和Sn，有下面几种常见变形：(1)Snn；(2)Snn2(a1)n；(3)n(a1)(是公差为的等差数列)知识点三等差数列前n项和公式的性质
3、思考如果an是等差数列，那么a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差数列吗？梳理(1)Sm，S2m，S3m分别为等差数列an的前m项的和，前2m项的和，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为m2d.(2)若等差数列的项数为2n(nN)，则S2n_，且S偶S奇_，.(3)若等差数列的项数为2n1(nN)，则S2n1_，且S奇S偶an，S奇nan，S偶(n1)an，.类型一等差数列前n项和公式的应用命题角度1方程思想例1已知一个等差数列an的前10项的和是310，前20项的和是1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？反思与感悟(1
4、)在解决与等差数列前n项和有关的问题时，要注意方程思想和整体思想的运用(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求另外两个跟踪训练1在等差数列an中，已知d2，an11，Sn35，求a1和n.命题角度2实际应用例2某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？反思与感悟建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数本题是根据
5、首项和公差选择前n项和公式进行求解跟踪训练2甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟第一次相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？类型二等差数列前n项和性质的应用例3(1)等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；(2)两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值反思与感悟等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化
6、繁为简、化难为易、事半功倍的效果跟踪训练3设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S77，S1575，Tn为数列的前n项和，求Tn.1在等差数列an中，若S10120，则a1a10的值是()A12 B24 C36 D482记等差数列的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d等于()A2 B3 C6 D73在一个等差数列中，已知a1010，则S19_.4已知在等差数列an中，(1)a1，d，Sn15，求n及an；(2)a11，an512，Sn1 022，求d.1求等差数列前n项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到2等差数列的两个求和公式中，一共涉及a1，an
7、，Sn，n，d五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下列结论的运用：若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN)；若mn2p，则anam2ap.3本节涉及的数学思想：方程思想，函数思想，整体思想，分类讨论思想答案精析问题导学知识点一思考不知道共有奇数项还是偶数项导致不能配对但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设Sn123(n1)n，又Snn(n1)(n2)21，2Sn(1n)2(n1)(n1)2(n1)，2Snn(n1)，Sn.梳理d知识点二思考1S333a221.思考2按n的降幂展开Snna1d n2(a1)n是关于n的二次函
8、数形式，且常数项为0.知识点三 思考(a11a12a20)(a1a2a10)(a11a1)(a12a2)(a20a10)10d10d10100d，类似可得(a21a22a30)(a11a12a20)100d.a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差数列梳理(2)n(anan1)nd(3)(2n1)an题型探究类型一命题角度1例1解方法一由题意知S10310，S201 220，将它们代入公式Snna1d，得到解方程组得Snn463n2n.方法二S10310a1a1062，S201 220a1a20122，得a20a1060，10d60，d6，a14.Snna1d3n2n.跟踪
9、训练1或命题角度2例2解设每次交款数额依次为a1，a2，a20，则a1501 0001%60(元)，a250(1 00050)1%59.5(元)，a1050(1 000950)1%55.5(元)，即第10个月应付款55.5元由于an是以60为首项，以0.5为公差的等差数列，所以有S20201 105(元)，即全部付清后实际付款1 1051501 255(元)跟踪训练2解(1)设开始运动n分钟后第一次相遇，依题意，有2n5n70，整理得n213n1400.解得n7，n20(舍去)所以第一次相遇是在开始运动后7分钟(2)设开始运动m分钟后第二次相遇，依题意，有2m5m370，整理得m213m4200.解之得m15，m28(舍去)所以第二次相遇是在开始运动后15分钟类型二例3解(1)方法一在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列30,70，S3m100成等差数列27030(S3m100)，S3m210.方法二在等差数列中，成等差数列，.即S3m3(S2mSm)3(10030)210.(2).跟踪训练3解设等差数列an的公差为d，则Snna1d，S77，S1575，即解得a1d，数列是等差数列，其首项为2，公差为，Tnn(2).当堂训练1B2.B3.1904(1)n12，ana124.(2)d171.
