1、2.1曲线与方程学习目标1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.理解方程的曲线和曲线的方程的概念.3.了解用坐标法研究几何问题的常用思路与方法.4.掌握根据已知条件求曲线方程的方法知识点一曲线的方程和方程的曲线的概念在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线知识点二坐标法思想及求曲线方程的步骤思考曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解，能否说f(x，y)0是
2、曲线C的方程？试举例说明答案不能还要验证以方程f(x，y)0的解为坐标的点是否都在曲线上例如曲线C为“以原点为圆心，以2为半径的圆的上半部分”与方程“x2y24”，曲线上的点都满足方程，但曲线的方程不是x2y24.梳理(1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念，是从不同角度出发的两种说法曲线C的点集和方程f(x，y)0的解集之间是一一对应的关系，曲线的性质可以反映在它的方程上，方程的性质又可以反映在曲线上定义中的条件说明曲线上的所有点都适合这个方程；条件说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏(2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系，通过曲线上的点与实数对(x，y)建立了一一对应关系，使方程成
3、为曲线的代数表示，通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质(3)求曲线的方程的步骤如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)0，则(1)曲线l的方程是F(x，y)0.()(2)方程F(x，y)0的曲线是l.()(3)坐标不满足方程F(x，y)0的点不在曲线l上()(4)坐标满足方程F(x，y)0的点在曲线l上()类型一曲线的方程与方程的曲线解读例1(1)设方程f(x，y)0的解集非空，若命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”是假命题，则下列命题为真命题的是()A坐标满足f(x，y)0的点都不在曲线C上B曲线C上的点的坐标不满足f(x，y)0C坐标满足f(x，y)0的点有些在曲线C上
4、，有些不在曲线C上D一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)0(2)“以方程f(x，y)0的解为坐标的点都是曲线C上的点”是“曲线C的方程是f(x，y)0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案(1)D(2)B解析(1)命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”为假命题，则命题“坐标满足方程f(x，y)0的点不都在曲线C上”是真命题故选D.(2)由曲线C的方程是f(x，y)0，得以方程f(x，y)0的解为坐标的点都是曲线C上的点，但反过来不成立，故选B.反思与感悟(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即
5、直观地说“点不比解多”称为纯粹性(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程跟踪训练1分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5之间的关系；(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点与方程xy0之间的关系考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用解(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2的解，但以方程|x|2的解为坐标的点不都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上因此，|
6、x|2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy5，但以方程xy5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy5.(3)第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的坐标都满足xy0；反之，以方程xy0的解为坐标的点都在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上因此，第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点的轨迹方程是xy0.类型二曲线与方程的应用例2已知方程x2(y1)210.(1)判断点P(1，2)，Q(，3)是否在上述方程表示的曲线上；(2)若点M在上述方程表示的曲线上，求m的值考点曲线与方程
7、的概念题点点在曲线上的应用解(1)12(21)210，()2(31)2610，点P(1，2)在方程x2(y1)210表示的曲线上，点Q(，3)不在方程x2(y1)210表示的曲线上(2)点M在方程x2(y1)210表示的曲线上，2(m1)210，解得m2或m.引申探究本例中曲线方程不变，若点N(a,2)在圆外，求实数a的取值范围解结合点与圆的位置关系，得a2(21)210，即a29，解得a3或a3，故所求实数a的取值范围为(，3)(3，)反思与感悟判断曲线与方程关系的问题时，可以利用曲线与方程的定义，也可利用互为逆否关系的命题的真假性一致判断跟踪训练2若曲线y2xy2xk0过点(a，a)(aR
8、)，求k的取值范围考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用解曲线y2xy2xk0过点(a，a)，a2a22ak0，k2a22a22，k，k的取值范围是.类型三求曲线的方程命题角度1直接法求曲线的方程例3一个动点P到直线x8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍求动点P的轨迹方程考点求曲线方程的方法题点直接法求曲线方程解设P(x，y)，则|8x|2|PA|，则|8x|2，化简，得3x24y248，故动点P的轨迹方程为3x24y248.引申探究若本例中的直线改为“y8”，求动点P的轨迹方程解设P(x，y)，则P到直线y8的距离d|y8|，又|PA|，故|y8|2，化简，得4x23y216x16y4
9、80.故动点P的轨迹方程为4x23y216x16y480.反思与感悟直接法求动点轨迹的关键及方法(1)关键：建立恰当的平面直角坐标系；找出所求动点满足的几何条件(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列方程；对所求的方程化简、说明特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化跟踪训练3已知两点M(1,0)，N(1,0)，且点P使，成公差小于零的等差数列，求点P的轨迹方程考点求曲线方程的方法题点直接法求曲线方程解设点P(x，y)，由M(1,0)，N(1,0)，得(1x，y)，(1x，y)，(2,0)2(x1)，x
10、2y21，2(1x)于是，成公差小于零的等差数列等价于即点P的轨迹方程为x2y23(x0)命题角度2相关点法求曲线的方程例4动点M在曲线x2y21上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程考点求曲线方程的方法题点相关点法求曲线方程解设P(x，y)，M(x0，y0)，因为P为MB的中点，所以即又因为M在曲线x2y21上，所以xy1，所以(2x3)24y21.所以点P的轨迹方程为(2x3)24y21.反思与感悟相关点法求解轨迹方程的步骤(1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0)(2)利用条件求出两动点坐标之间的关系(3)代入相关动点的轨迹方程(4)化简、整理，得所求轨迹方
11、程跟踪训练4已知圆C：x2(y3)29.过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程考点求曲线方程的方法题点相关点法求曲线方程解设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，得即又因为点P在圆C上，所以x(y13)29，所以4x2429，即x22(x0).1若命题“曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是真命题，则下列命题为真命题的是()A方程f(x，y)0所表示的曲线是曲线CB方程f(x，y)0所表示的曲线不一定是曲线CCf(x，y)0是曲线C的方程D以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案B解析“曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)0的
12、解”，但以方程f(x，y)0的解为坐标的点不一定在曲线C上，故A，C，D都为假命题，B为真命题2已知直线l：xy30及曲线C：(x3)2(y2)22，则点M(2,1)()A在直线l上，但不在曲线C上B在直线l上，也在曲线C上C不在直线l上，也不在曲线C上D不在直线l上，但在曲线C上考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案B解析将M(2,1)代入直线l和曲线C的方程，由于2130，(23)2(12)22，所以点M既在直线l上又在曲线C上，故选B.3等腰三角形底边的两个顶点分别是B(2,1)，C(0，3)，则另一个顶点A的轨迹方程是()Ax2y10(x0) By2x1Cx2y10(y1) Dx
13、2y10(x1)考点求曲线的方程的方法题点直接法求曲线方程答案D解析设A(x，y)，依题意，知|AB|AC|，所以，化简得x2y10.又因为A，B，C三点不能共线，所以x1，故选D.4到直线4x3y50的距离为1的点的轨迹方程为_考点求曲线的方程的方法题点几何法求曲线方程答案4x3y100和4x3y0解析设该点坐标为(x，y)，则1，即|4x3y5|5，所求轨迹方程为4x3y100和4x3y0.5M为直线l：2xy30上的一动点，A(4,2)为一定点，又点P在直线AM上运动，且3，求动点P的轨迹方程考点求曲线方程的方法题点坐标转移法求曲线方程解设点M，P的坐标分别为M(x0，y0)，P(x，y
14、)，由题设及向量共线条件可得所以因为点M(x0，y0)在直线2xy30上，所以230，即8x4y30，从而点P的轨迹方程为8x4y30.1判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上2已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题一、选择题1方程|x|y|xy|1表示的曲线是()A一条直线B一个正方形C一个圆D四条直线考点曲线和方程的概念题点由方程研究曲线的对称性答案D解析由|x|y|xy|1，得(|x|1)(|y|1)0，即x1或y1，因此该方程表示四条直线2已知02
15、，点P(cos，sin)在曲线(x2)2y23上，则的值为()A.B.C.或D.或考点曲线和方程的概念题点点在曲线上的应用答案C解析由(cos2)2sin23，得cos.又因为02，所以或.3方程|x|y|0表示的图形是下图中的()考点曲线和方程的概念题点由方程研究曲线的对称性答案C解析由|x|y|0知，yx，即表示一、三象限角平分线或二、四象限角平分线4已知两定点A(2,0)，B(1,0)，若动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所围成的面积为()A9B8C4D考点曲线与方程的意义题点曲线与方程的综合应用答案C解析设P(x，y)，|PA|2|PB|，(x2)2y24(x1)24y2，(x
16、2)2y24，点P的轨迹为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，所围成的面积S224.5在平面直角坐标系中，动点P(x，y)到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P的轨迹为曲线W，则有下列命题：曲线W关于原点对称；曲线W关于x轴对称；曲线W关于y轴对称；曲线W关于直线yx对称其中真命题的个数是()A1B2C3D4考点曲线与方程的意义题点曲线与方程的综合应用答案A6过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|等于()A2B8C4D10考点求曲线方程的方法题点几何法求曲线方程答案C解析由已知，得(3，1)，(3，9)，则3(3)(1)(9)0，所以
17、，即ABBC，故过三点A，B，C的圆以AC为直径，得其方程为(x1)2(y2)225，令x0得(y2)224，解得y122，y222，所以|MN|y1y2|4，故选C.7已知两点A(，0)，B(，0)，点P为平面内一动点，过点P作y轴的垂线，垂足为Q，且22，则动点P的轨迹方程为()Ax2y22By2x22Cx22y21D2x2y21考点求曲线方程的方法题点定义法求曲线方程答案B解析设动点P的坐标为(x，y)，则点Q的坐标为(0，y)，(x,0)，(x，y)，(x，y)，x22y2.由22，得x22y22x2，所以所求动点P的轨迹方程为y2x22.二、填空题8方程(x1)20表示的是_考点讨论
18、方程的曲线类型题点其他类型的曲线与方程答案点(1,2) 解析由(x1)20，知(x1)20且0，即x1且y2，所以(x1)20表示的是点(1,2)9已知点F(1,0)，直线l：x1，P为平面上的一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且，则动点P的轨迹C的方程是_考点求曲线方程的方法题点坐标转移法求曲线方程答案y24x(x0)解析设点P(x，y)，则Q(1，y)由，得(x1,0)(2，y)(x1，y)(2，y)，所以2(x1)2(x1)y2，化简得y24x(x0)10若点A(1,1)，B(2，m)都在方程ax2xy20表示的曲线上，则m_.考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案1解析A(1,
19、1)，B(2，m)都在方程ax2xy20表示的曲线上，11点A(1，2)在曲线x22xyay50上，则a_.考点曲线与方程的概念题点点在曲线上的应用答案5解析由题意可知点(1，2)是方程x22xyay50的一组解，即142a50，解得a5.三、解答题12已知A(3,0)，B，C两点分别在y轴和x轴上运动，点P为BC延长线上一点，并且满足，试求动点P的轨迹方程考点求曲线方程的方法题点直接法求曲线方程解设P(x，y)，B(0，y)，C(x，0)，则(x，y)，(x，yy)，由，得(x，y)(x，yy)，即x，yy，B(0，y)，又A(3,0)，(3，y)，(x,2y)，由，得0，3x2y20，即动
20、点P的轨迹方程为y2x.13过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程考点求曲线方程的方法题点坐标转移法求曲线方程解如图所示，设点A(a,0)，B(0，b)，M(x，y)因为M为线段AB的中点，所以a2x，b2y，即A(2x,0)，B(0,2y)因为l1l2，所以kAPkPB1.而kAP(x1)，kPB，所以1(x1)，整理，得x2y50(x1)因为当x1时，A，B的坐标分别为(2,0)，(0,4)，所以线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x2y50.综上所述，点M的轨迹方程是x2y50.四、探究与拓展14方程1表示
21、的图形是()A一条直线B两条平行线段C一个正方形D一个正方形(除去四个顶点)考点讨论方程的曲线类型题点其他类型的曲线与方程答案D解析由方程可知，方程表示的图形关于坐标轴和原点对称，且x0，y0.当x0，y0时，方程可化为xy1，表示第一象限内的一条线段(去掉两端点)，因此原方程表示的图形是一个正方形(除去四个顶点)，故选D.15已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O：x2y21，M为直角坐标平面内一动点，过点M作圆O的切线，切点为N，若|MN|与|MQ|的比值等于常数(0)，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线考点求曲线方程的方法题点直接法求曲线方程解连接ON，OM，易知ONMN，设M(x，y)圆O的半径是1，|MN|2|OM|2|ON|2|OM|21.由题意，|MN|MQ|，即，整理得(21)(x2y2)42x(142)0.0，当1时，方程化为x，该方程表示一条直线；当1时，方程化为2y2，该方程表示以为圆心，以为半径的圆