1、 (教师独具内容)课程标准：1.掌握基本不等式的内容.2.能熟练地运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式来证明简单的不等式.4.熟练掌握基本不等式及变形的应用.5.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题教学重点：1.理解基本不等式的内容及其证明过程.2.运用基本不等式来比较两个实数的大小及进行简单的证明.3.运用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题教学难点：基本不等式条件的创设【知识导学】知识点一基本不等式如果a0，b0，则，当且仅当ab时，等号成立我们把这个不等式称为基本不等式知识点二算术平均数与几何平均数及相关结论在基本不等式中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正
2、数a，b的几何平均数基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数知识点三基本不等式与最大(小)值当x，y均为正数时，下面的命题均成立：(1)若xyS(S为定值)，则当且仅当xy时，xy取得最大值；(简记：和定积有最大值)(2)若xyP(P为定值)，则当且仅当xy时，xy取得最小值2.(简记：积定和有最小值)知识点四基本不等式的实际应用基本不等式常用于求解与最值有关的实际问题，具体步骤如下：(1)先理解题意，设出变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为因变量(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值(4)根
3、据实际意义写出正确的答案【新知拓展】1由基本不等式变形得到的常见结论(1)ab2(a，bR)；(2) (a，b均为正实数)；(3)2(a，b同号)；(4)(ab)4(a，b同号)；(5)a2b2c2abbcca(a，b，cR)2利用基本不等式证明不等式时应注意的问题(1)注意基本不等式成立的条件；(2)多次使用基本不等式，要注意等号能否成立；(3)对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，形成基本不等式模型，再使用3利用基本不等式的解题技巧与易错点(1)利用基本不等式求最值常用构造定值的技巧：加项变换；拆项变换；统一换元；平方后再用基本不等式(2)易错点易忘“正”，忽略了各项均为正实数；忽略忘
4、记“定”，用基本不等式时，和或积为定值；忽略忘记“等”，用基本不等式要验证等号是否可以取到；忽略忘记“同”，多次使用基本不等式时，等号成立的条件应相同1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)对于任意实数a，b都成立()(2)若a0，b0，且ab，则ab2.()(3)若a0，b0，则ab2.()(4)若a0，b0，且ab16，则ab64.()(5)若ab2，则ab的最小值为2.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)不等式m212m等号成立的条件是_(2)2成立的条件是_(3)x1，则x的最小值为_(4)已知p，qR，pq100，则p2q2的最小值是_
5、(5)若a0，b0，且ab2，则的最小值为_答案(1)m1(2)a与b同号(3)3(4)200(5)2题型一 对基本不等式的理解 例1给出下面三个推导过程：因为a0，b0，所以2 2；因为aR，a0，所以a2 4；因为x，yR，xy0，b0，所以0，0，符合基本不等式成立的条件，故的推导过程正确；因为aR，a0不符合基本不等式成立的条件，所以a24是错误的；由xy0，b0)的两个关注点(1)不等式成立的条件：a，b都是正实数(2)“当且仅当”的含义：当ab时，的等号成立，即ab；仅当ab时，的等号成立，即ab.下列命题中正确的是()A当a，bR时，2 2B当a0，b0时，(ab)4C当a4时，
6、a2 6D当a0，b0时，答案B解析A项中，可能0，所以不正确；B项中，因为ab20，20，相乘得(ab)4，当且仅当ab时等号成立，所以正确；C项中，a2 6中的等号不成立，所以不正确；D项中，由基本不等式，知(a0，b0)，所以D不正确题型二 利用基本不等式比较大小 例2已知a1，则，三个数的大小顺序是()A. B.C. D.解析当a，b均为正数时，有 ，令b1，得.又a1，即ab，故上式不能取等号，应选C.答案C题型探究对一切正数m，不等式n2m恒成立，求常数n的取值范围解当m0时，由基本不等式，得2m24，且当m时，等号成立，故n的取值范围为n4.金版点睛利用基本不等式比较大小在利用基
7、本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的使用条件，合理地拆项、配凑或变形在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能已知：a0，b0，且ab1，试比较，4的大小解a0，b0，ab2，ab.4，ab，即4.4.题型三 利用基本不等式求函数的最值 例3(1)求函数yx(x3)的最小值；(2)已知0x3，x30，0，y235.当且仅当x3，即x4时，y有最小值5.(2)0x0，yx(13x)3x(13x)2.当且仅当3x13x，即x时，取等号，当x时，函数取得最大值.(3)x1，x10，yx112
8、1，当且仅当x1时，即x1时，函数y的最小值为21.变式探究在本例(1)中把“x3”改为“x3”，则函数yx的最值又如何？解x3，x30，yx(3x)3323231.当且仅当3x，即x2时，取等号故函数yx(x3)有最大值1，没有最小值金版点睛利用基本不等式求函数的最值(1)利用基本不等式求函数最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件(2)等号取不到时，注意利用求函数最值的其他方法(1)已知x1，则函数y的最小值为_答案(1)1(2)4解析(1)x0.y4x2323231，当且仅当54x，即x1时，上式等号成立故当
9、x1时，ymax1.(2)x1，x10.yx1x12224，当且仅当x1，即x2时，等号成立，故当x2时，ymin4.题型四 利用基本不等式证明不等式例4已知a，b，c是不全相等的三个正数，求证：3.证明33.a，b，c都是正数，2 2，同理2，2，6.a，b，c不全相等，上述三式不能同时取等号，6，3.金版点睛利用基本不等式证明不等式(1)利用基本不等式证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择基本不等式及其变形不等式来证，如a2b22ab(a，bR)，可变形为ab；(a0，b0)可变形为ab2等同时要从整体上把握基本不等式，如a4b42a2b2，a2b2b2c22(ab)(bc)，
10、都是对“a2b22ab，a，bR”的灵活应用(2)在证明条件不等式时，要注意“1”的代换，另外要特别注意等号成立的条件已知a0，b0，c0，且abc1.求证：10.证明4422210，当且仅当abc时取等号10. 题型五 利用基本不等式求代数式的最值例5(1)已知x0，y0且1，求xy的最小值；(2)已知正实数x，y满足2xy6xy，求xy的最小值；(3)已知实数x，y满足x2y2xy1，求xy的最大值解(1)x0，y0，1，xy(xy)1061016，当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.(2)2xy6xy，y，x1，xy22218.当且仅当x3
11、时，等号成立(3)因为1x2y2xy(xy)2xy(xy)22，所以(xy)2，即xy，当且仅当xy0且x2y2xy1，即xy时，等号成立，xy的最大值为.结论探究若本例(1)中的条件不变，如何求xy的最小值解，又因为1，所以1，6，xy36，当且仅当y9x，即x2，y18时，等号成立所以(xy)min36.金版点睛利用基本不等式求代数式的最值(1)利用基本不等式求代数式的最值，要通过恒等变形以及配凑，使“和”或“积”为定值，从而求得代数式的最大值或最小值(2)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，解答技巧都是恰当变形、合理拆分项或配凑因式(
12、1)已知正数x，y满足x2y1，求的最小值；(2)已知x0，y0，且满足1，求xy的最大值解(1)x，y为正数，且x2y1，(x2y)332，当且仅当，即当x1，y1时等号成立的最小值为32.(2)1，12.，当且仅当即x，y2时等号成立xy3，即xy的最大值为3.题型六 利用基本不等式解决实际问题 例6某投资公司计划投资A，B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润y1与投资金额x的函数关系为y118，B产品的利润y2与投资金额x的函数关系为y2(注：利润与投资金额单位：万元)(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A，B两种产品中，其中x万元资金投入A产品，试把A，B两种产品利润总
13、和表示为x的函数，并写出x的取值范围；(2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？解(1)其中x万元资金投入A产品，则剩余的(100x)万元资金投入B产品，利润总和y1838(x0,100)(2)y40，x0,100，由基本不等式，得y40228，当且仅当，即x20时，等号成立答：分别用20万元和80万元资金投资A，B两种金融产品，可以使公司获得最大利润，最大利润为28万元金版点睛利用基本不等式解决实际问题应遵循的三点(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，从而指明函数的定义域；(2)一般利用基本不等式求解最值问题时，通常要指出取得
14、最值时的条件，即“等号”成立的条件；(3)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号，此时要利用其他方法求解某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3 m，如果池底每1 m2的造价为150元，池壁每1 m2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少？解设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为 m.又设水池总造价为y元，根据题意，得y1501202400007202400007202297600(元)，当且仅当x，即x40时，y取得最小值297600.所以水池底面为正方形且边长为40 m时总造价最低，最低总造价为2976
15、00元1若ab0，则下列不等式中总成立的是()A. B.C. D.b0，故选C.2已知x0，y0，xy，则下列四个式子中值最小的是()A. B.C. D.答案C解析解法一：xy2，排除D；，排除B；(xy)2x2y22xy2(x2y2)， ，排除A.故选C.解法二：取x1，y2.则；.其中最小故选C.3若a0，则代数式a()A有最小值10B有最大值10C没有最小值D既没有最大值也没有最小值答案A解析利用基本不等式，得a210，当且仅当a，即a5时，取得最小值10.4当x时，函数yx的最小值为_答案解析因为x，所以x0，所以yx24，当且仅当x，即x时，取“”5某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：万元)与营运年数x的函数关系为y10(x6)2110(xN*)，求每辆客车营运多少年，可使其运营的年平均利润最大解因为101202012020，当且仅当x，即x5时，等号成立，所以每辆客车营运5年，可使其运营的年平均利润最大