1、3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算学习目标1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示与字母表示.2.掌握空间向量的线性运算(加法、减法和数乘)及其运算律知识点一空间向量的概念思考类比平面向量的概念，给出空间向量的概念答案在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量梳理(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或|.(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向
2、量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量知识点二空间向量及其线性运算1空间向量的线性运算已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为：ac；abc.若P在直线OA上，则a(R)2空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：(1)abba；(2)(ab)ca(bc)；(3)(ab)ab(R)知识点三共线向量(或平行向量)1定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量若向量a与b平行
3、，记作ab，规定零向量与任意向量共线2共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a0)，b与a共线的充要条件是存在实数，使ba.1在空间中，单位向量唯一()2在空间中，任意一个向量都可以进行平移()3在空间中，互为相反向量的两个向量必共线()4空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算()类型一空间向量的概念及应用例1如图所示，以长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：(1)试写出与相等的所有向量；(2)试写出的相反向量；(3)若ABAD2，AA11，求向量的模解(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个(2)向量的相反向量有，共4个(3)|3.引
4、申探究如图，在长方体ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为的所有向量解(1)由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个(2)由于长方体的左右两侧面的对角线的长均为，故模为的向量有，.反思与感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反跟踪训练1给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空
5、间向量a，b满足|a|b|，则ab；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp.其中不正确的命题的序号为_答案解析两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故不正确；若空间向量a，b满足|a|b|，则不一定能判断出ab，故不正确；在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有成立，故正确；显然正确类型二空间向量的线性运算例2如图，已知长方体ABCDABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量(1)；(2).解(1).(2)().向量，如图所示引申探究利用本例题图，化简.解结合加法运算，得，0.故0.反思与感悟1.化简向量表达式时，要结合空间图
6、形，分析各向量在图形中的表示，然后利用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并化简到最简为止2首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；若首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则这些向量的和为0.跟踪训练2在如图所示的平行六面体中，求证：2.证明平行六面体的六个面均为平行四边形，()()()2()又，.2.类型三向量共线定理的理解与应用例3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2，F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线证明设a，b，c，因为2，所以，所以b，()()abc.所以abcbabc.又bcaabc，所以，又因为与有公
7、共点E，所以E，F，B三点共线反思与感悟1.判定共线：判定两向量a，b(b0)是否共线，即判断是否存在实数，使ab.2求解参数：已知两非零向量共线，可求其中参数的值，即利用若ab，则ab(R)3判定或证明三点(如P，A，B)是否共线(1)是否存在实数，使.(2)对空间任意一点O，是否有t.(3)对空间任意一点O，是否有xy(xy1)跟踪训练3如图，在四面体ABCD中，点E，F分别是棱AD，BC的中点，用，表示向量.解()().1下列说法中正确的是_(填序号)若|a|b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反；若向量a是向量b的相反向量，则|a|b|；空间向量的减法满足结合律；在四边形ABCD中，
8、一定是.答案解析若|a|b|，则a，b的长度相等，方向不确定，故不正确；相反向量是指长度相同，方向相反的向量，故正确；空间向量的减法不满足结合律，故不正确；在ABCD中，才有，故不正确2在平行六面体ABCDABCD的各条棱所在的向量中，与向量相等的向量有_个答案33在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知下列各式：()；()；()；().其中运算的结果为的有_个答案4解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：()；()；()；().所以4个式子的运算结果都是.4化简2233_.答案0解析223322220.5若非零空间向量e1，e2不共线，则使ke1e2与e1ke2共线的k_.考
9、点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案1解析由ke1e2与e1ke2共线，得ke1e2(e1ke2)，即故k1.空间向量加法、减法运算的两个技巧：(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果一、填空题1下列命题中，假命题是_(填序号)任意两个向量都是共面向量；空间向量的加法运算满足交换律及结合律；只有零向量的模等于0；共线的单位向量都相等答案解析容易判断是假命题，共线的单位向量是相等
10、向量或相反向量2已知空间四边形ABCD中，a，b，c，则_.(用a，b，c表示)答案cab解析如图，0，即abc0，cab.3在长方体ABCDA1B1C1D1中，_.答案2解析()()2.4对于空间中的非零向量，有下列各式：AB；|A|B|A|；|A|A|B|.其中一定不成立的是_(填序号)答案解析根据空间向量的加减法运算，对于：ABA恒成立；对于：当A，B，A方向相同时，有|A|B|A|；对于：当B，A，A在一条直线上且B与A，A方向相反时，有|A|A|B|.只有一定不成立5在三棱锥ABCD中，若BCD是正三角形，E为其中心，则化简的结果为_答案0解析延长DE交边BC于点F，则，故0.6.如
11、图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，_，_.答案解析，().7在直三棱柱ABCA1B1C1中，若Ca，Cb，C1c，则_.答案abc解析如图，()cba.8在正方体ABCDA1B1C1D1中，xy()，则x_，y_.答案1解析()，x1，y.9已知正方体ABCDA1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且mn，则m，n的值分别是_答案，解析由于()，所以m，n.10在空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是_(填序号)0；0；0；0.答案解析易知四边形EFGH为平行四边形，所以0.11.如图，已知在空间四边形ABCD中，a2
12、c，5a6b8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则_.(用向量a，b，c表示)答案3a3b5c解析设G为BC的中点，连结EG，FG，则(a2c)(5a6b8c)3a3b5c二、解答题12.如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，化简下列表达式(1)；(2)；(3)；(4).解(1).(2).(3).(4)()().13.如图，设O为ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若xy，求x，y的值解()()()，x，y.三、探究与拓展14设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知2e1ke2，e13e2，2e1e2，且A，B，D三点共线，则k_.答案8解析(e13e2)(2e1e2)e14e2，又A，B，D三点共线，即2e1ke2(e14e2)，k8.15.如图，设点A是BCD所在平面外的一点，点G是BCD的重心求证：()证明连结BG，延长后交CD于点E，由点G为BCD的重心，知.E为CD的中点，.()()()()
