1、本章复习提升易混易错练易错点1混淆向量的共线、共面与线段的共线、共面1.(2020海南海口海南中学高二上期中,)若AB=CD+CE(,R),则直线AB与平面CDE的位置关系为.易错2.(2020浙江诸暨中学高二上期中,)若直线a的方向向量为a,平面,的法向量分别为n,m,则下列命题为真命题的序号是.(1)若an,则直线a平面;(2)若an,则直线a平面;(3)若cos=12,则直线a与平面所成角的大小为6;(4)若cos=12,则平面,的夹角为3.3.(2020四川自贡高二上期末,)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,A1D1的中点,判断直线MN与平面BB1D1D的位置
2、关系,并说明理由.易错易错点2忽略定义、定理中的特殊条件4.(2020湖南长郡中学高二上检测,)下列命题正确的是(易错)A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线B.向量a、b、c共面,即它们所在的直线共面C.若ab,则存在唯一的实数,使a=bD.零向量是模为0,方向任意的向量易错点3忽略平行向量5.()已知a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为钝角,则x的取值范围是.易错易错点4混淆向量夹角范围与空间角范围6.()在正方体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB与向量C1A1的夹角是()A.150B.135C.45D.307.(2020天津武清高三上期中,)在四棱锥
3、P-ABCD中,PA底面ABCD,ADAB,ABDC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.(1)求直线EB与平面PBD所成角的正弦值;(2)若F为棱PC上一点,满足BFAC,求平面FAB与平面PAB夹角的余弦值.8.(2020山东莱州第一中学高二上期末,)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,AFD=90,且面DAF与面ABEF所成的角和面CBE与面ABEF所成的角都是60.(1)证明:平面ABEF平面EFDC;(2)求面BCE与面ABCD所成角的余弦值.思想方法练一、利用方程思想求值1.(2020天津六校高三联考,)如图,在三棱锥
4、S-ABC中,平面SBC平面ABC,SB=SC=AB=AC=2,BC=2,O为BC的中点.(1)证明:SO平面ABC;(2)求异面直线AB和SC所成角;(3)设线段SO上有一点M,当AM与平面SAB所成角的正弦值为3015时,求OM的长.二、利用函数思想求最值2.(2020山东济宁高三上期中,)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1平面ABC,ABC为等腰直角三角形,BAC=90,且AB=AA1=2,E、F分别为CC1、BC的中点.(1)若D是AA1的中点,求证:BD平面AEF;(2)若M是线段AE上的任意一点,求直线B1M与平面AEF所成角的正弦的最大值.三、利用转化思想求距离和空间
5、角、判定平行和垂直3.()在长方体A1B1C1D1-ABCD中,AA1=1,AD=DC=3,Q是线段A1C1上一点,且C1Q=13C1A1,则点Q到平面A1DC的距离为.4.()如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,点D、E、F分别为线段A1C1、AB、A1A的中点,A1A=AC=BC,ACB=90.求证:(1)DE平面BCC1B1;(2)EF平面B1CE.5.()如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA平面ABCD,AD=1,PA=AB=2,E是棱PB的中点.(1)求异面直线EC与PD所成角的余弦值;(2)求平面BEC与平面ECD夹角的余弦值.答案全解全析易混易错练1.答案A
6、B平面CDE或AB平面CDE解析由AB=CD+CE(,R)及共面向量定理可知向量AB与向量CD、CE共面,则直线AB可能在平面CDE内,也可能和平面CDE平行.易错警示本题容易因混淆了向量共面和直线共面而错答为AB平面CDE,向量AB与向量CD、CE共面,直线AB可能在平面CDE内,也可能和平面CDE平行.2.答案(2)(3)(4)解析若an,则直线a与平面平行或在平面内,所以(1)是假命题;若an,则a也是平面的法向量,所以直线a平面,所以(2)是真命题;直线与平面的夹角的正弦值等于直线与平面法向量所成的锐角的余弦值,所以(3)是真命题;两个平面的夹角与它们的法向量所成的不大于90的角相等,
7、所以(4)是真命题.3.解析MN平面BB1D1D.理由如下:设正方体的棱长为1,如图,建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),D1(0,0,1),D(0,0,0),M1,12,0,N12,0,1,MN=-12,-12,1,DB=(1,1,0),DD1=(0,0,1),设平面BB1D1D的法向量为n=(x,y,z),则nDB=0,nDD1=0,即x+y=0,z=0,令x=1,则y=-1,z=0,n=(1,-1,0)是平面BB1D1D的一个法向量.MNn=0,MN平面BB1D1D,MN平面BB1D1D.易错警示本题容易因忽视MN平面BB1D1D,而直接由MNn=0,得MN平面BB1D1D,造成步骤
8、不完整,实际上,当MNn=0时,MN平面BB1D1D或MN平面BB1D1D.4.D由于零向量与任意向量共线,所以若b为零向量,则a与c关系不确定,A错;向量共面时,它们所在的直线不一定共面,B错;共线向量定理中,当b不是零向量时,才存在唯一的实数,使a=b,否则可能不存在,C错;D显然正确.易错警示本题容易忽略零向量的特殊性和共线向量定理中的限制条件而误认为A、C正确.5.答案-2,5353,+解析a与b的夹角为钝角,ab=-3-2(x-1)-3-2.由题意得a与b不共线,则-13x-1-2,解得x53,x的取值范围是-2,5353,+.易错警示本题容易忽略了a与b共线时的特殊情况.6.B如图
9、,建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(0,0,0),B(1,0,0),C1(1,1,1),A1(0,0,1),AB=(1,0,0),C1A1=(-1,-1,0),cos=ABC1A1|AB|C1A1|=-12=-22,向量AB与向量C1A1的夹角是135.7.解析(1)如图,建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1),所以BE=(0,1,1),PB=(1,0,-2),PD=(0,2,-2),设平面PBD的法向量为m=(x,y,z),则由mPB,mPD,得mPB=x-2z=0,mPD=2y-2z=0,
10、令z=1,得x=2,y=1,即m=(2,1,1),所以cos=BEm|BE|m|=226=33,设直线BE与平面PBD所成角为,则sin=|cos|=33,即直线BE与平面PBD所成角的正弦值为33.(2)由(1)得PC=(2,2,-2),PB=(1,0,-2),AC=(2,2,0).设PF=PC(01),则BF=PF-PB=PC-PB=(2,2,-2)-(1,0,-2)=(2-1,2,2-2),BFAC=4-2+4=0,解得=14,所以点F12,12,32,显然,AD=(0,2,0)是平面PAB的一个法向量,设n=(x1,y1,z1)是平面FAB的法向量,因为AF=12,12,32,BF=-
11、12,12,32,所以nAF=12x1+12y1+32z1=0,nBF=-12x1+12y1+32z1=0,令z1=1,则y1=-3,x1=0,所以n=(0,-3,1),所以cos=-6210=-31010,设平面FAB与平面PAB的夹角为,则cos=|cos|=31010,即平面FAB与平面PAB的夹角的余弦值为31010.8.解析(1)证明:四边形ABEF为正方形,AFEF.AFD=90,AFDF,DFEF=F,DF平面EFDC,EF平面EFDC,AF平面EFDC,AF平面ABEF,平面ABEF平面EFDC.(2)由AFDF,AFEF,可得DFE为面DAF和面ABEF所成角的平面角.四边形
12、ABEF为正方形,BEAF,BEEF,又AF平面EFDC,BE平面EFDC.CE平面EFDC,CEBE,可得CEF为面CBE和面ABEF所成角的平面角,DFE=CEF=60.ABEF,AB平面EFDC,EF平面EFDC,AB平面EFDC,平面EFDC平面ABCD=CD,AB平面ABCD,ABCD,CDEF,四边形EFDC为等腰梯形,以E为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设FD=a,则E(0,0,0),B(0,2a,0),Ca2,0,32a,A(2a,2a,0),EB=(0,2a,0),BC=a2,-2a,32a,AB=(-2a,0,0),设平面BCE的法向量为m=(x1,y1,z1),则m
13、EB=0,mBC=0,即2ay1=0,a2x1-2ay1+32az1=0,令z1=-1,则x1=3,y1=0,则m=(3,0,-1).同理可得平面ABCD的一个法向量为n=(0,3,4),设面BCE与面ABCD所成角的大小为,则cos=|mn|m|n|=|-4|3+13+16=21919,面BCE与面ABCD所成角的余弦值为21919.思想方法练1.解析(1)证明:SB=SC,O为BC的中点,BO=OC,SOBC,平面SBC平面ABC,平面SBC平面ABC=BC,SO平面SBC,SO平面ABC.(2)SB=SC=AB=AC=2,BC=2,BSCS,BACA,如图,分别以OB,OA,OS所在直线
14、为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.则A(0,1,0),B(1,0,0),S(0,0,1),C(-1,0,0),AB=(1,-1,0),SC=(-1,0,-1).|cos|=|ABSC|AB|SC|=122=12,异面直线AB和SC所成角的大小为3.(3)设m=(a,b,c)为平面SAB的法向量.由(2)可得SB=(1,0,-1),则ABm=0,SBm=0,即a-b=0,a-c=0,令a=1,则b=1,c=1,m=(1,1,1).设M(0,0,t)(t0,1),则AM=(0,-1,t),设AM与平面SAB所成角为.则sin=|cos|=|mAM|m|AM|=|t-1|31+t2=3015,化
15、简得3t2-10t+3=0(0t1),解得t=3(舍)或t=13,OM的长为13.2.解析(1)证明:连接DC1,BC1.因为D、E分别是AA1、CC1的中点,所以AD=C1E,又ADC1E,所以四边形ADC1E是平行四边形,所以AEDC1,因为E,F分别是CC1,BC的中点,所以EFBC1,所以平面AEF平面BDC1.又BD平面BDC1,所以BD平面AEF.(2)以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),B1(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0),AE=(0,2,1),AF=(1,1,0).设平面AEF的法向量
16、为n=(x,y,z),由nAE=0,nAF=0,得2y+z=0,x+y=0,令z=2,得x=1,y=-1,所以平面AEF的一个法向量为n=(1,-1,2).设M(a,b,c),AM=AE(01),则AM=(0,2,),所以M(0,2,),所以B1M=(-2,2,-2),设直线B1M与平面AEF所成角为,则sin=|cos|=|nB1M|n|B1M|=|1(-2)+(-1)2+2(-2)|12+(-1)2+22(-2)2+(2)2+(-2)2=6652-4+8=652-4+8=65-252+365(01),易知当=25时,(sin)max=306.故直线B1M与平面AEF所成角的正弦的最大值为3
17、06.3.答案33解析如图,以D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,1),C(0,3,1),A1(3,0,0),C1(0,3,0),DC=(0,3,0),DA1=(3,0,-1),C1A1=(3,-3,0),由C1Q=13C1A1,得Q33,233,0,DQ=33,233,-1,设平面A1DC的法向量为n=(x,y,z),由nDC=0,nDA1=0,得3y=0,3x-z=0,取x=1,则z=3,y=0,n=(1,0,3),点Q到平面A1DC的距离d=|DQn|n|=33.4.证明如图,建立空间直角坐标系,设A1A=AC=BC=2,则A(2,0
18、,0),C(0,0,0),A1(2,0,2),B1(0,2,2),D(1,0,2),E(1,1,0),F(2,0,1),所以CA=(2,0,0),DE=(0,1,-2),EF=(1,-1,1),CB1=(0,2,2),EB1=(-1,1,2).(1)显然,CA是平面BCC1B1的一个法向量,因为DECA=0,所以DECA.因为DE平面BCC1B1,所以DE平面BCC1B1.(2)设平面B1CE的法向量为n=(x,y,z),则nCB1=2y+2z=0,nEB1=-x+y+2z=0,令z=-1,则y=1,x=-1,即n=(-1,1,-1),显然EFn,所以EF平面B1CE.5.解析(1)因为PA底
19、面ABCD,且底面ABCD为矩形,所以AB,AD,AP两两互相垂直.以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E22,0,22,所以EC=22,1,-22,PD=(0,1,-2),所以cos=1+112+1+121+2=63,所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为63.(2)由(1)得BC=(0,1,0),DC=(2,0,0).设平面BEC的法向量为n1=(x1,y1,z1),则ECn1=0,BCn1=0,即22x1+y1-22z1=0,y1=0,令x1=1,则z1=1,所以平面BEC的一个法向量为n1=(1,0,1).设平面ECD的法向量为n2=(x2,y2,z2),则ECn2=0,DCn2=0,即22x2+y2-22z2=0,2x2=0,令z2=2,则y2=1,所以平面ECD的一个法向量为n2=(0,1,2),设平面BEC和平面ECD的夹角为,则cos=|cos|=|2|1+11+2=33,所以平面BEC和平面ECD的夹角的余弦值为33.