1、衡阳市 2020 届高三第一次联考文科数学试题第 1 页 共 6 页衡阳市 2020 届高三第一次联考 数学（文科）参考答案一.选择题1.【答案】C【解析】依题意，1,1A，,0B，所以 1,0BA，故选C.2.【答案】B【解析】iz1，所以复数 z 的实部是 1,虚部是 1，其和为 0，故选 B.3.【答案】A【解析】3212212233log，因此bca，故选 A.4.【答案】C【解析】只有正确，故选 C.5.【答案】D【解析】a=2，b=2，（ab）a，因此22222）（ba，故选 D.6.【答案】B【解析】程序框图所示的算法是更相减损术求最大公约数，通过计算可得2a，故选 B.7.【答
2、案】A【解析】根据斜二侧画法可知，几何体的底面积是一个直角三角形，两直角边分别为 2、2，由此可计算出该几何体的表面积为624，故选 A.8.【答案】C【解析】作直线0 yx，当直线上移与圆22(1)1yx 的右上方相切时，yxz取最大值，此时，利用圆心(0,1)到直线0zyx的距离等于 1，解得 z 的最大值为21故选C 9.【答案】D【解析】若命题 p 为真，则22a；若命题 q 为真，则eaxx1)(maxln；所以若qp 为真，则2，a,故选 D.10.【答案】D【解析】不妨设过点0,1cF 与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为cybax，与另一条渐近线xaby的交点为abccM2,2
3、，由021MFMF得02,232,2abccabcc，即有322ab，又因为2122abe，故选 D.11.【答案】B【解析】因为 xxxxxxxf2020sin232020cos212020cos212020sin2332020cos62020sin62020sin22020cos2020sin3xxx max2Af x，周期101020202T，又存在实数12,x x，对任意实数 x 总有 12f xf xf x成立，21maxmin2,2f xf xf xf x ，衡阳市 2020 届高三第一次联考文科数学试题第 2 页 共 6 页22sinx12A xx的最小值为10102TA，故选
4、B.12.【答案】A【解析】取1AB 的中点 K，AD 的中点O，连接KM，KN，1OB，ON，显然ANBCM1/平面,故正确；25211222121KBNBNKCM，故正确；1KNB即为异面直线CM 与1NB 所成角，21tan111NBKBKNB，故错误；当三棱锥ANDB 1的体积最大时，易证O 为三棱锥ANDB 1外接球球心，且1 OAR,故正确，综上，正确，选 A.二.填空题13.【答案】21.【解析】在区间0,上,则,434,0 x，因此其概率为 21.14.【答案】6.【解析】抛物线24yx的焦点(1,0)F，设 2211,yxByxA，直线 AB 过焦点(1,0)F，221xxA
5、B，又12OMOAOB，则tM,2为 AB 中点，所以624AB.15.【答案】2，3.【解析】22sinsincossinABCC，2cos222222222cbaccbacCab；又,2142cos22222abbaabcbaC3,0CC，当且仅当ba 时取等号.16.【答案】2.【解析】由已知条件和数量积的定义可知，或 434AOB又22AB，所以 ABO的外接圆的半径22224sin2ABR，设其圆心为 C，则 C 点到直线1 xy的距离为2，所以 C点应在与直线1 xy平行且距离为2 的两条平行直线1 xy、3 xy上，且 C 点到原点 O 的距离为 2;而原点 O 到3 xy的距离
6、为2223,所以3 xy上不存在这样的点 C;而原点 O 到1 xy的距离为222,所以1 xy上存在两个符合条件的点 C;每个 C 点都确定唯一一个点 A,所以这样的点 A共有 2 个.三.解答题衡阳市 2020 届高三第一次联考文科数学试题第 3 页 共 6 页17.【解析】（1）3tancos3sinAAA4 分6 分(2)由ABC 的面积为得4bc，又2,42abca8 分由余弦定理知：822cb9 分10 分所以2 cb12 分18.【解析】（1）由已知条件可知：,401004.0B，60100BA,402060 x.103040y6 分（每个 1.5 分）（2）667.163506
7、10040605050)40301020(10022K9 分显然 16.66710.82811 分所以有 99.9%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效 12 分19.【解析】（1）证明：取 AC 的中点O，连接 DO 和OF，在 DAC中 DADC，DOAC.1 分由于平面 DAC 平面 ABC，且交线为 AC，DO 平面 ABC.2 分又O，F 分别为 AC，BC 的中点，OFAB/且2ABOF.3 分又 DEAB，2ABDE，DEOF/且OFDE.4 分四边形 DEFO 为平行四边形.DOEF/，5 分 EF 平面 ABC.6 分(2)方法一：ABCEF平面,所以直线 BE 与平面
8、 ABC 所成的角为,60EBF由于,221BCBF,32DOEF8 分又DOEF/E、F 点到平面 DAC 的距离相等，平面 DAC 平面 ABC，,ACCF DACCF平面E 点到平面 DAC 的距离等于 210 分343243123231ABCEDACEABEDCVVV12 分分2).3sin(sin)3sin(sin)3sin()sin(AAAbBaAbCAa3,0AA3cos2222bccbacbbccbcb02)222（衡阳市 2020 届高三第一次联考文科数学试题第 4 页 共 6 页方法二：ABCEF平面,所以直线 BE 与平面 ABC 所成的角为,60EBF由于,221BCB
9、F,32DOEF8 分2ABDE，ABECADECABEADEVVSS21,219 分ABECABEDCVV2310 分33832)4221(31ABECV11 分.343382323ABECABEDCVV12 分方法三：（也可以用等体积法求 C 点等平面 ABED 的距离，再求体积）20.【解析】（1）连接2AF，由题意得21|ABF BF B，所以 BO 为12F AF的中位线，又因为12BOF F，所以212AFF F，且22222abOBAF，2 分又22 ace，222abc，得22 a，12 b，4 分故所求椭圆方程为1222 yx.5 分（2）设1122(,),(,)M x yN
10、 xy由22112xmyxy得22(2)210mymy 12122221,22myyy ymm7 分直线 NK 的方程：223()322yyxx，8 分令1yy，则有1221212222221313()2()()3222222myyyy xy myymxyyy22222222mmymmy11 分衡阳市 2020 届高三第一次联考文科数学试题第 5 页 共 6 页 NK 与 2l 交点的横坐标为定值 2.12 分21.【解析】（1）xfa时，当0不存在不动点。1 分证明：由 xxf可得：0lnxaaxxex，2 分令xaaxxexFxln)(，),0(x，则22)(1()(xaxexxaaxex
11、exFxxx，3 分0,0(,0axexax），当)1,0(x时，0)(xF，)(xF在)1,0(上单调递减，当),1(x时，0)(xF，)(xF在),1(上单调递增，4 分所以0)1()(minaeFxF.所以方程0lnxaaxxex无实数根5 分故 xf不存在不动点.6 分（2）当ea时，xeexxexFxln)(，),0(x，则22)(1()(xexexxeexexexFxxx，7 分再令eexgexexgxx)(,)(当)1,0(x时，0)(xg，)(xg在)1,0(上单调递减，当),1(x时，0)(xg，)(xg在),1(上单调递增，0)1()(gxg9 分故当)1,0(x时，0)(
12、xF，)(xF在)1,0(上单调递减，当),1(x时，0)(xF，)(xF在),1(上单调递增，所以01ln)1()(mineeeFxF.11 分衡阳市 2020 届高三第一次联考文科数学试题第 6 页 共 6 页所以0lnxeexxex有唯一实数根10 x，故 xf有唯一不动点.12 分22.【解析】（1）由tytx3331,(t 为参数),消参数t 化简得普通方程:03 yx,2 分令cosx,siny,即0sincos3化简得3tan,即3 即得曲线2C 的极坐标方程为R 3.5 分（2）由已知，不妨设34,3,BABA，于是 2313sin1aaA，7 分 23134sin1aaB，8 分故aAB2.10 分23.【解析】（1）由题意知，mxx 6恒成立，2 分又666xxxx，4 分所以实数 m 的取值范围是6m.5 分（2）由（1）可知，6222cba，所以9111222cba6 分从而111111222cba 11111111191222222cbacba16391111111111111391222222222222cbbccaacbaab，9 分当且仅当3111222cba，即2222cba时等号成立，证毕.10 分
