1、2020-2021学年河南省南阳市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1下列说法中，正确的是（）A若命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题B命题“存在xR，使得x2+x+10”的否定是：“任意xR，都有x2+x+10”C命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”D“ab”是“ac2bc2”的充分不必要条件2在ABC中，2cosAsinBsinC，则ABC一定是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D正三角形3设x，y满足约束条件，则z2x+3y的最大值为（）A2B3C12D154秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中
2、世纪世界数学发展的主流与最高水平他在著作（数书九章）中叙述了已知三角形的三条边长a，b，c，求三角形面积的方法其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即为已知ABC的三条边长为a5，b7，c8，其面积为（）A10B12CD5已知等比数列的前n项和Sn4n+a，则a的值等于（）A4B1C0D16如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，给出下列命题：3是函数yf（x）的极值点；1是函数yf（x）的最小值点；yf（x）在x0处切线的斜率小于零；yf（x）在区间（3，1）上单调递增则正确命题的序号
3、是（）ABCD72020年11月24日，嫦娥五号发射成功，九天揽月，见证中华民族复兴！11月28日20时58分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行环月轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100km，远月点与月球表面距离为400km已知月球的直径约为3476km，则该椭圆形轨道的离心率约为（）ABCD8“x2x60”的一个充分但不必要的条件是（）A2x3B0x3C3x2D3x39已知双曲线C的标准方程为，则下列说法中错误的是（）A双曲线C的离心率为2B直线x2与双曲线C相交的弦长为6C双曲线与C有相同的渐近线D双曲线C的焦点到渐近线的距离为10已知函数f（x）（xb）lnx
4、+x2在区间1，e上单调递增，则实数b的取值范围是（）A（，3B（，2eC（，3D（，2e2+2e11周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，最大内角和最小内角分别记为，则sin（+）（）ABCD12已知偶函数f（x）（x0）的导函数为f（x），且满足f（1）0，当x0时，xf（x）2f（x），则使f（x）0成立的x的取值范围为（）A（，1）（0，1）B（1，0）（0，1）C（1，0）（1，+）D（，1）（1，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13如图是抛物线形拱桥，当水面在如图所示的n处时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位上升1米后，水面宽 米14数列an中，a11，
5、a2（n2），则anan+1的前2021项和S2021 15已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB| 16已知函数，g（x）2x+a，若任意，都存在x22，3，使得f（x1）g（x2），则实数a的取值范围是 三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）4x3+ax2+bx+5的图象在x1处的切线方程为y12x（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在3，1上的最值18已知等比数列an满足a24，a3a4128，数列anbn是首项为1公差为1的等差数列（
6、1）求数列an和bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn19已知圆C过定点F（，0），且与直线x相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：yk（x+1）（kR）相交于A、B两点（）求曲线E的方程；（）当OAB的面积等于时，求k的值20在sinA2sinC，a+c6，ac15，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，若问题中的ABC存在，求出ABC的面积；若问题中的ABC不存在，请说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，b3，_21已知函数f（x）lnx+a（1x）（1）讨论f（x）的单调性；（2）当f（x）有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取
7、值范围22设O为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线l：ykx+m（m0）与C交于A，B两点（1）求椭圆C的方程；（2）设点P（0，1），求证：直线l过定点，并求出定点的坐标参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列说法中，正确的是（）A若命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题B命题“存在xR，使得x2+x+10”的否定是：“任意xR，都有x2+x+10”C命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”D“ab”是“ac2bc2”的充分不必要条件解：对于A，“非p”为真，则p
8、为假，“p或q”为真，所以q为真，所以A对；对于B，命题“存在xR，使得x2+x+10”的否定是：“任意xR，都有x2+x+10”，所以B错；对于C，命题“若ab，则2a2b1”的否命题为“若ab，则2a2b1”，所以C错；对于D，当c0时，“ab”推不出“ac2bc2”所以“ab”不是“ac2bc2”的充分条件，所以D错故选：A2在ABC中，2cosAsinBsinC，则ABC一定是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D正三角形解：在ABC中，sinCsin（A+B）sinAcosB+cosAsinB，2cosAsinBsinCsinAcosB+cosAsinB，即sinAcosBc
9、osAsinBsin（AB）0，AB0，即AB，则ABC为等腰三角形故选：A3设x，y满足约束条件，则z2x+3y的最大值为（）A2B3C12D15解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域：得到如图的阴影部分，其中A（3，2），O为坐标原点，设zF（x，y）2x+3y，将直线l：z2x+3y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，z最大值F（3，2）12故选：C4秦九韶是我国南宋时期的数学家，他的成就代表了中世纪世界数学发展的主流与最高水平他在著作（数书九章）中叙述了已知三角形的三条边长a，b，c，求三角形面积的方法其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜
10、幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即为已知ABC的三条边长为a5，b7，c8，其面积为（）A10B12CD解：将a5，b7，c8代入中，得：10故选：C5已知等比数列的前n项和Sn4n+a，则a的值等于（）A4B1C0D1解：等比数列的前n项和Sn4n+a，a1S14+a，a2S2S1（16+a）（4+a）12，a3S3S2（64+a）（16+a）48，12248（4+a），解得a1故选：B6如图是函数yf（x）的导函数yf（x）的图象，给出下列命题：3是函数yf（x）的极值点；1是函数yf（x）的最小值点；yf（x）在x0处切线的斜率小于零；yf（x）在区
11、间（3，1）上单调递增则正确命题的序号是（）ABCD解：由导函数yf（x）的图象知f（x）在（，3）单调递减，（3，+）单调递增所以3是函数yf（x）的极小值点，即最小值点故对不对0，（3，+）又在（3，+）单调递增f（0）0故错f（x）在（3，+）单调递增yf（x）在区间（3，1）上单调递增故对故选：D72020年11月24日，嫦娥五号发射成功，九天揽月，见证中华民族复兴！11月28日20时58分，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行环月轨道是以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，其近月点与月球表面距离为100km，远月点与月球表面距离为400km已知月球的直径约为3476km，则该椭圆形轨道的离心率约
12、为（）ABCD解：长轴长2a100+400+34763976，a1988，焦距2c2a（100+）2300，c150，离心率e故选：A8“x2x60”的一个充分但不必要的条件是（）A2x3B0x3C3x2D3x3解：x2x60，解得，2x3“x2x60”的一个充分但不必要的条件是：0x3故选：B9已知双曲线C的标准方程为，则下列说法中错误的是（）A双曲线C的离心率为2B直线x2与双曲线C相交的弦长为6C双曲线与C有相同的渐近线D双曲线C的焦点到渐近线的距离为解：由题意，双曲线x21，可得a21，b23，可得a1，b，c2，对于A中，可得双曲线的离心率e2，所以A正确，对于B中，令x2，代入双曲
13、线的方程可得41，解得y3，所以直线x2与双曲线C相交的弦长为6，所以B正确，对于C中，双曲线x21的渐近线方程为yx，而双曲线y21的渐近线方程为yx，所以C不正确，对于D中，双曲线x21的右焦点为F（2，0），其中一条渐近线的方程为yx，由点到直线的距离公式可得d，所以D正确，故选：C10已知函数f（x）（xb）lnx+x2在区间1，e上单调递增，则实数b的取值范围是（）A（，3B（，2eC（，3D（，2e2+2e解：f（x）lnx+2xlnx+1+2x，f（x）在1，e上单调递增，f（x）0在1，e上恒成立，若b0，显然f（x）0恒成立，符合题意，若b0，则f（x）+20，f（x）在1，
14、e上是增函数，f（x）f（1）0，即b+1+20，解得0b3，综上，b的范围是（，3故选：C11周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，最大内角和最小内角分别记为，则sin（+）（）ABCD解：因为周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，故三边长分别为2，3，4；设中间边对应的角为A；则cosA；故sin（+）sin（A）sinA；故选：D12已知偶函数f（x）（x0）的导函数为f（x），且满足f（1）0，当x0时，xf（x）2f（x），则使f（x）0成立的x的取值范围为（）A（，1）（0，1）B（1，0）（0，1）C（1，0）（1，+）D（，1）（1，+）解：令g（x）x2f（x），
15、由f（x）为偶函数，可得g（x）x2f（x）x2f（x），所以g（x）为偶函数，g（x）2xf（x）+x2f（x）x（2f（x）+xf（x），因为当x0时，xf（x）2f（x），即2f（x）+xf（x）0，所以当x0时，g（x）0，所以函数g（x）在（0，+）上单调递减，又f（1）0，所以g（1）f（1）0，且g（x）为偶函数，所以函数g（x）在（，0）上单调递增，且g（1）g（1）0所以当x（1，0）（0，1）时，g（x）0，即当x（1，0）（0，1）时，f（x）0故选：B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13如图是抛物线形拱桥，当水面在如图所示的n处时，拱顶离水面2米，水面
16、宽4米，水位上升1米后，水面宽2米解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2my，将A（2，2）代入x2my，得m2，x22y，代入B（x0，1）得x0，故水面宽为2m故答案为：214数列an中，a11，a2（n2），则anan+1的前2021项和S2021解：由于数列an中，a11，a2（n2），所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，所以，所以，则，所以1故故答案为：15已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|6解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y28x的焦点（2，0）重合
17、，可得c2，a4，b212，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x2，联立，解得y3，A（2，3），B（2，3）则|AB|3（3）6故答案为：616已知函数，g（x）2x+a，若任意，都存在x22，3，使得f（x1）g（x2），则实数a的取值范围是（，1解：任意，都存在x22，3，使得f（x1）g（x2），f（x1）ming（x2）min，x22，3，对于函数，x，f（x）10，因此函数f（x）在x上单调递减，f（x）minf（1）5对于函数g（x）2x+a，在x2，3单调递增，g（x）min4+a54+a，解得a1实数a的取值范围是（，1故答案为：（，1三、解答题（本大题共6小题，共70
18、分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）4x3+ax2+bx+5的图象在x1处的切线方程为y12x（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在3，1上的最值解：（1）f（x）12x2+2ax+b，f（1）12+2a+b12又x1，y12在f（x）的图象上，4+a+b+512由得a3，b18，f（x）4x33x218x+5（2）f（x）12x26x180，得x1，f（1）16，f（），f（3）76，f（1）13f（x）的最大值为16，最小值为7618已知等比数列an满足a24，a3a4128，数列anbn是首项为1公差为1的等差数列（1）求数列an和bn的通项公式；
19、（2）求数列bn的前n项和Sn【解答】解（1）因为数列an是等比数列，故设首项为a1，公比为q，因为a24，a3a4128所以，所以q38，解得q2，所以a12，所以数列an的通项公式为，因为anbn是首项为1、公差为1的等差数列，所以anbn1+（n1）n，因为，所以；（2）由（1）知，同乘得：，作差得：，即Sn1（）nn（）n+1，所以19已知圆C过定点F（，0），且与直线x相切，圆心C的轨迹为E，曲线E与直线l：yk（x+1）（kR）相交于A、B两点（）求曲线E的方程；（）当OAB的面积等于时，求k的值解：（）由题意，点C到定点（，0）和直线x的距离相等，所以点C的轨迹方程为y2x（）由
20、方程组消去x，整理得ky2+yk0设点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2，y1y21设直线l与x轴的交点为N，则N（1，0）SOABSOAN+SOBN|ON|y1|+|ON|y2|1SOAB，求得k20在sinA2sinC，a+c6，ac15，这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线中，若问题中的ABC存在，求出ABC的面积；若问题中的ABC不存在，请说明理由问题：是否存在ABC，它的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，b3，_解：由题设及正弦定理得，因为sinA0，所以，由A+B+C180，可得，故因为，故，因此B60，选择：sinA2sinC，即a2c，根据余弦定理
21、有，代入b3，解得c，a2，所以面积S，选择：，代入a+c6，解得ac9，结合a+c6，所以ac3，所以面积S，选择：，代入ac15，解得a+c3，结合ac15，无解，所以ABC不存在21已知函数f（x）lnx+a（1x）（1）讨论f（x）的单调性；（2）当f（x）有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解：（）f（x）a（x0）若a0，则f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增若a0，则当x时，f（x）0，；当x时，f（x）0，所以f（x）在上单调递增，在单调递减（）由（）知，当a0时，f（x）在（0，+）无最大值当a0时，f（x）在x取得最大值，最大值为ln+alna+a1因此
22、2a2等价于lna+a10令g（a）lna+a1，则g（a）在（0，+）上单调递增，g（1）0于是，当0a1时，g（a）0；当a1时，g（a）0，因此，a的取值范围是（0，1）22设O为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线l：ykx+m（m0）与C交于A，B两点（1）求椭圆C的方程；（2）设点P（0，1），求证：直线l过定点，并求出定点的坐标解：（1）设椭圆的右焦点为F1，则OM为AFF1的中位线，所以，所以，因为，所以，所以，所以椭圆C的方程为：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得：（1+5k2）x2+10mkx+5m2250，所以0，所以，因为，所以（x1，y11）（x2，y21）x1x2+y1y2（y1+y2）+14，所以，整理得：3m2m100，解得：m2或（舍去），所以直线l过定点（0，2）
