1、2013年明珠学校高三 适应性测试 数学（理科）选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1设全集, 则（ ） A B. C. D. 2已知i为虚数单位，则（ ） A B. C. D. 3已知q是等比数列的公比，则“”是“数列是递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4将函数的图象向左平移个单位，所得图象的解析式是（ ）A. B. C.D.5甲、乙两人计划从、三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有（ ）A. 3种 B. 6种 C.
2、 9种 D.12种6正方体中，与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D.7设点，若直线与线段（包括端点）有公共点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 18椭圆M:长轴上的两个顶点为、，点P为椭圆M上除、外的一个动点，若且，则动点Q在下列哪种曲线上运动（ ）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线9若实数a，b，c满足，则下列关系中不可能成立的是（ ） A B C D10已知函数在R上是单调函数，且满足对任意，都有，若则的值是（ ）第12题A3 B7 C9 D12非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11展开式中的常数项是 12按右图所示的程序框图
3、运算，若输入,则输出的= 13已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为 14. 在中，若，则的最小值是 第15题15已知正四面体的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个正四面体的体积为 .16已知数列中，记为前项的和，则= ；17已知，则的最小值为 ；三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18（本题满分14分）已知分别是的三个内角的对边，.（）求角的大小；（）求函数的值域.19（本题满分14分）从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球（不放回），则试验结束.（）求第一次试验恰摸到一
4、个红球和一个白球概率；（）记试验次数为，求的分布列及数学期望20（本题满分14分）如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于所在平面，且PA=AB=AC. （）求证：PA平面QBC； QPABC（）若，求二面角Q-PB-A的余弦值.21.（本题满分15分）已知点，是抛物线上相异两点，且满足（）若的中垂线经过点，求直线的方程；（）若的中垂线交轴于点，求的面积的最大值及此时直线的方程22.（本题满分15分）已知函数.（）当时，试判断的单调性并给予证明;（）若有两个极值点.（i） 求实数a的取值范围;（ii）证明：。 （注：是自然对数的底数）2013年明珠学校高三 适应性测试数学（理科）试题参考答案 2
5、013.5一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.答案12345678910CBDCBDCBAC 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11 123 13 14 15 16 1712三、解答题：18解：（I）由正弦定理，得： 2分 即 故 4分 所以 6分 （II） 8分 11分 13分 所以所求函数值域为 14分19解：（I） 4分（II）； ； ； ；X的分布列为X1234P12分 14分20方法一：解：（I）证明：过点作于点，平面平面 平面又平面 又平面平面6分（）平面 又 点是的中点，连结，则 平面 ， 四边形是矩
6、形 8分 设 ， 过作于点， 取中点，连结，取的中点，连结 ， 为二面角的平面角12分 连结，则 又 即二面角的余弦值为14分方法二:（I）同方法一 6分（）平面 ，又 点是的中点，连结，则 平面 ， 四边形是矩形 8分分别以为轴建立空间直角坐标系设，则，设平面的法向量为， 又平面的法向量为 12分 设二面角为，则 又二面角是钝角 14分21.方法一：解：（I）当垂直于轴时，显然不符合题意，所以可设直线的方程为，代入方程得： 2分 得： 直线的方程为 中点的横坐标为1，中点的坐标为 4分 的中垂线方程为 的中垂线经过点，故，得 6分 直线的方程为 7分（）由（I）可知的中垂线方程为，点的坐标为
7、 8分 因为直线的方程为到直线的距离 10分由得， 12分, 设,则，由，得 即时此时直线的方程为 15分(本题若运用基本不等式解决，也同样给分)法二：(1)根据题意设的中点为，则 2分由、两点得中垂线的斜率为， 4分由，得 6分 直线的方程为 7分(2)由(1)知直线的方程为 8分中垂线方程为，中垂线交轴于点点到直线的距离为 10分由得： 当时，有最大值，此时直线方程为15分22解：（1）当时，在R上单调递减 1分，只要证明恒成立， 2分设，则，当时，当时，当时， 4分，故恒成立所以在R上单调递减 6分（2）(i)若有两个极值点，则是方程的两个根，故方程有两个根，又显然不是该方程的根，所以方程有两个根， 8分设，得若时，且，单调递减若时，时，单调递减时，单调递增 10分要使方程有两个根，需，故且故的取值范围为 12分法二：设，则是方程的两个根，则，当时，恒成立，单调递减，方程不可能有两个根所以，由，得，当时，当时，得 (ii) 由，得：，故， 14分设，则，上单调递减故，即 15分