1、第2讲分类讨论思想、转化与化归思想一、选择题1过双曲线1上任意一点P，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R，Q两点，则的值为()Aa2B.b2 C2abD.a2b2解析当直线PQ与x轴重合时，|a，故选A.答案A2设函数f(x)若f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1,0)(0,1)B.(，1)(1，)C(1,0)(1，)D.(，1)(0,1)解析若a0，则log2aloga，即2log2a0，所以a1；若a0，则log(a)log2(a)，即2log2(a)0，所以0a1，1a0.所以实数a的取值范围是a1或1a0，即a(1,0)(1，)答案C3若不等式(a2)x22(a2)x40对
2、一切xR恒成立，则a的取值范围是()A(，2B.2,2C(2,2D.(，2)解析当a20即a2时，不等式为40恒成立，所以a2；当a20时，则a满足解得2a2，所以a的范围是(2,2答案C4在ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5.点D是边BC上的动点，xy，当xy取最大值时，|的值为()A4B.3 C.D.解析|AB|3，|AC|4，|BC|5，ABC为直角三角形如图建立平面直角坐标系，A(0,0)，B(3,0)，C(0,4)，设D(a，b)，由xy，得xy.又D在直线lBC：1上，1，则2，即xy，此时a，b2，|.答案C二、填空题5若数列an的前n项和Sn3n1，则它的通项公式an
3、_.解析当n2时，anSnSn13n1(3n11)23n1；当n1时，a1S12，也满足式子an23n1，数列an的通项公式为an23n1.答案23n16.(2014盐城调研)如图，正方体ABCDA1B1C1D1棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_解析，DED1的面积为正方形AA1D1D面积的一半，三棱锥FDED1的高即为正方体的棱长，所以DD1ADAB.答案7方程sin2xcos xk0有解，则k的取值范围是_解析求ksin2xcos x的值域kcos2xcos x1(cos x)2.当cos x时，kmin，当cosx1时，kmax1，k1.答案8设
4、正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时，的最大值为_解析由已知得zx23xy4y2(*)则1，当且仅当x2y时取等号，把x2y代入(*)式，得z2y2，所以211.答案1三、解答题9已知函数f(x)2asin2x2asin xcos xab(a0)的定义域是，值域是5,1，求常数a，b的值解f(x)2a(1cos 2x)a sin 2xab2a2ab2asin2ab，又0x，2x，sin1.因此，由f(x)的值域为5,1可得或解得或10已知函数f(x)ln(1x).(1)求f(x)的极小值；(2)若a，b0，求证：ln aln b1.(1)解f (x)(x1)令f(x)0，
5、得x0.列表如下x(1,0)0(0，)f (x)0f(x)极小值由上表可知，x0时f(x)取得极小值f(0)0.(2)证明在x0时，f(x)取得极小值，而且是最小值，于是f(x)f(0)0，从而ln(1x)在x1时恒成立，令1x0，则11，ln aln bln1.因此ln aln bln1在a0，b0时成立ln aln b1.11设F1，F2分别是椭圆D1(ab0)的左、右焦点，过F2作倾斜角为的直线交椭圆D于A，B两点，F1到直线AB的距离为3，连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4.(1)求椭圆D的方程(2)作直线l与椭圆D交于不同的两点P，Q，其中P点的坐标为(a,0)，若点N(0，t)
6、是线段PQ垂直平分线上的一点，且满足4，求实数t的值解(1)设F1，F2的坐标分别为(c,0)，(c,0)，其中c0，由题意得AB的方程为：y(xc)因F1到直线AB的距离为3，所以有3.解得c.所以有a2b2c23.由题意知：2a2b4，即ab2.联立解得：a2，b1.所求椭圆D的方程为y21.(2)由(1)知：P(2,0)，设Q(x1，y1)，当直线l的斜率不存在时，由已知显然不合要求当直线l的斜率存在时，设直线斜率为k，则直线l的方程为yk(x2)，把它代入椭圆D的方程，消去y，整理得：(14k2)x216k2x(16k24)0.由根与系数的关系得2x1，则x1，y1k(x12)，所以线段PQ的中点坐标为.()当k0时，则有Q(2,0)，线段PQ垂直平分线为y轴，于是(2，t)，(2，t)，由4t24，解得：t2.()当k0时，则线段PQ垂直平分线的方程为；y，因为点N(0，t)是线段PQ垂直平分线上的一点，令x0，得：t，于是(2，t)，(x1，y1t)，由2x1t(y1t)4，解得：k，代入t，解得：t.综上，满足条件的实数t的值为2或.