1、2.4向量的数量积第1课时向量的数量积学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，了解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式知识点一平面向量的数量积一个物体在力F的作用下产生位移s，如图思考1如何计算这个力所做的功？答案W|F|s|cos.思考2力做功的大小与哪些量有关？答案与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关梳理平面向量的数量积(1)已知两个非零向量a和b，它们的夹角是，我们把数量|a|b|cos叫做向量a与b的数量积(或内积)，
2、记作ab，即ab|a|b|cos.(2)我们规定：零向量与任一向量的数量积为0.特别提醒：两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定知识点二两个向量的夹角思考把两个非零向量的起点移至同一点，那么这两个向量构成的图形是什么？答案角梳理两个向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a，b，如图所示作a，b，则AOB，称为向量a与b的夹角(2)范围：0180.(3)当0时，a与b同向；当180时，a与b反向(4)当90时，则称向量a与b垂直，记作ab.知识点三平面向量数量积的几何意义思考1什么叫做向量b在向量a方向上的投影？什么叫做向量a在
3、向量b方向上的投影？答案如图所示，a，b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1|b|cos.|b|cos叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos叫做向量a在b方向上的投影思考2向量b在向量a方向上的投影与向量a在向量b方向上的投影相同吗？答案由投影的定义知，二者不一定相同梳理(1)条件：向量a与b的夹角为.(2)投影：向量b在a方向上的投影|b|cos向量a在b方向上的投影|a|cos(3)ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积知识点四平面向量数量积的性质及运算律思考1向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？答案向量的线
4、性运算结果是向量，而向量的数量积是数量思考2非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？答案由两个非零向量的夹角决定当090时，非零向量的数量积为正数当90时，非零向量的数量积为零当90180时，非零向量的数量积为负数梳理(1)数量积性质当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；当ab时，ab0；aa|a|2或|a|.(2)数量积的运算律abba；(a)ba(b)(ab)ab；(ab)cacbc.1向量数量积的运算结果是向量()2向量a在向量b方向上的投影一定是正数()3在等边ABC中，向量与向量夹角为60.()提示向量与向量夹角为120.4向量的
5、数量积运算满足(ab)ca(bc)()5(ab)ab.()类型一求两向量的数量积例1已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积解(1)ab，若a与b同向，则0，ab|a|b|cos04520；若a与b反向，则180，ab|a|b|cos18045(1)20.(2)当ab时，90，ab|a|b|cos900.(3)当a与b的夹角为30时，ab|a|b|cos304510.反思与感悟求平面向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角，0，180；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即ab|a|b|cos，要特别注意书写时a与b之间用实心圆
6、点“”连结，而不能用“”连结，也不能省去跟踪训练1已知菱形ABCD的边长为a，ABC60，则_.答案a2解析如图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD120.()2aacos60a2a2.类型二求向量的模例2已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|.解ab|a|b|cos55.|ab|5.|ab|5.引申探究若本例中条件不变，求|2ab|，|a2b|.解ab|a|b|cos55，|2ab|5.|a2b|5.反思与感悟求解向量模的问题就是要灵活应用a2|a|2，即|a|，勿忘记开方跟踪训练2已知|a|b|5，且|3a2b|5，求|3ab|的值解|3a2b|29|a|212ab4
7、|b|292512ab42532512ab，|3a2b|5，32512ab25，ab25.|3ab|2(3ab)29a26abb292562525400，故|3ab|20.类型三求向量的夹角例3设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角解|n|m|1且m与n夹角是60，mn|m|n|cos6011.|a|2mn|，|b|2n3m|，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.设a与b的夹角为，则cos.又0，故a与b的夹角为.反思与感悟求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是0，跟踪训练3已知|a|2|b|2，且a
8、b1.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)b；(3)当为何值时，向量ab与向量a3b互相垂直？解(1)|a|2|b|2，|a|2，|b|1，ab|a|b|cos1，cos，又0，.(2)(a2b)bab2b2123.(3)ab与a3b互相垂直，(ab)(a3b)a23abba3b24313740，.1已知|a|8，|b|4，a，b120，则向量b在a方向上的投影为_答案2解析向量b在a方向上的投影为|b|cosa，b4cos1202.2设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab_.答案1解析|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，由得4ab4，ab1.
9、3若ab，c与a及与b的夹角均为60，|a|1，|b|2，|c|3，则(a2bc)2_.答案11解析(a2bc)2a24b2c24ab2ac4bc124223240213cos60423cos6011.4在ABC中，|13，|5，|12，则的值是_答案25解析易知|2|2|2，C90.cosB，又cos，cos(180B)，|cos(180B)13525.5已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).解(1)与的夹角为60，|cos6011.(2)与的夹角为120，|cos12011.(3)与的夹角为60，|cos6011.1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以
10、为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时)2两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆3ab|a|b|cos中，|b|cos和|a|cos分别叫做b在a方向上的投影和a在b方向上的投影，要结合图形严格区分4求投影有两种方法(1)b在a方向上的投影为|b|cos(为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos.(2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为.5两非零向量a，b，abab0，求向量模时要灵活运用公式|a|.一、填空题1已知
11、|a|2，|b|3，|ab|，则|ab|_.答案解析因为|ab|219，所以a22abb219，所以2ab19496，于是|ab|.2已知|a|3，|b|4，且a与b的夹角150，则ab_.答案63已知|a|9，|b|6，ab54，则a与b的夹角为_答案135解析cos，0180，135.4若|a|2，|b|4，向量a与向量b的夹角为120，则向量a在向量b方向上的投影为_答案1解析向量a在向量b方向上的投影是|a|cos2cos1201.5已知a，b是非零向量，且(a2b)a，(b2a)b，则a与b的夹角是_答案解析由(a2b)a0及(b2a)b0，得a2b22|a|b|cos，所以cos，
12、00，所以.6已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为120，则(a2b)(a3b)_.答案48解析由题意，得ab|a|b|cos12012，则(a2b)(a3b)a26b2ab62642(12)48.7已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为_答案解析如图所示，()|2|2111.8若|a|1，|b|2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为_答案1209已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos，若向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos_.答案解析|a|3，|b|2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e9e1
13、e22e991128，cos.10已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|_.答案2解析|2ab|2(2ab)24a24abb28，所以|2ab|2.11已知点A，B，C满足|3，|4，|5，则的值是_答案25解析|2|2|2，B90，0.cosC，cosA，|cos (180C)4516.|cos(180A)539.25.二、解答题12已知非零向量a，b，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角解由向量垂直得即化简得cosa，b，又a，b0，a与b的夹角为.13已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是60，计算：(1)(2ab)(2ab)；(2)|4a2b
14、|.解(1)(2ab)(2ab)(2a)2b24|a|2|b|2442820.(2)|4a2b|2(4a2b)216a216ab4b216421648cos60482256.|4a2b|16.三、探究与拓展14已知向量a，b满足|a|1，a与b的夹角为，若对一切实数x，|xa2b|ab|恒成立，则|b|的取值范围为_答案1，)解析对不等式|xa2b|ab|两边平方得，(xa2b)2(ab)2，所以x2|a|24abx4|b|2|a|22ab|b|2，又a与b的夹角为，且|a|1，则有ab|a|b|cos|b|，所以有x24x|b|4|b|21|b|b|2，即x22|b|x3|b|21|b|0，此式对一切实数x恒成立，所以有4|b|24(3|b|21|b|)0，即有2|b|2|b|10，所以(2|b|1)(|b|1)0，所以或所以|b|1或|b|(舍去)15已知非零向量a，b，满足|a|1，(ab)(ab)，且ab.(1)求向量a，b的夹角；(2)求|ab|.解(1)设向量a，b的夹角为.(ab)(ab)，a2b2，即|a|2|b|2.又|a|1，|b|.又ab，|a|b|cos，cos，又0，180，向量a，b的夹角为45.(2)|ab|2(ab)2|a|22|a|b|cos|b|2，|ab|.
