1、五十一范围、最值问题(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在直线l：x3上当F1PF2取最大值时，()A. B. C. D.D解析：要使F1PF2最大，则过P，F1，F2三点的圆必定与直线l相切于点P.又因为该圆的圆心在y轴上，所以半径为3，故圆心的坐标为(0，2)，此时点P的坐标为(3，2)，即有|PF1|2，|PF2|2，故.故选D.2(2020南阳月考)已知点A是双曲线1(a0，b0)的右顶点若存在过点N(3a,0)的直线与双曲线的渐近线交于一点M，使得AMN是以点M为直角顶点的直角三角形，则双曲线的离心率()A存在最大值B存在最大值C存在最
2、小值D存在最小值B解析：双曲线1(a0，b0)的右顶点A(a,0)，双曲线的渐近线方程为yx.不妨取yx.设M，则，.若存在过点N(3a,0)的直线与双曲线的渐近线交于一点M，使得AMN是以M为直角顶点的直角三角形，则0，即(ma)(m3a)20，整理可得m24am3a20.由题意可知此方程必有解，则判别式16a212a20，得a23b2，即a23c23a2，解得1b0)的离心率为e，焦点分别为F1，F2，P为椭圆上不同于长轴两端点的动点，x轴上的点M满足.若点M的横坐标的取值范围是(e，e)，则椭圆的焦距为()A2B2C1D无法确定A解析：由题意，P为椭圆上的动点，x轴上的点M满足，可得PM
3、为F1PF2的平分线，所以，即，解得xM.又|PF2|(ac，ac)，得xM.因为e，所以xM(ec，ec)因为点M的横坐标的取值范围是(e，e)，所以c1，从而椭圆的焦距为2.4(2020蚌埠市高三二模)已知椭圆C：1(ab0)的焦距为2c，F为右焦点，直线x与椭圆C相交于A，B两点，ABF是等腰直角三角形，点P的坐标为.若记椭圆C上任一点Q到点P的距离的最大值为d，则的值为()A. B.C. D.C解析：由题意可得AFB，所以点A的坐标为，代入椭圆方程有1.又a2b2c2，所以c48b2c29b40，解得c2b2或c29b2(舍去)，所以a22c2，所以椭圆方程可化为1.设点Q的坐标为(x
4、，y)，则x22c22y2，所以|PQ|c，所以dc，.5(2021南昌市高三月考)抛物线y22px的顶点为O，焦点为F，M是抛物线上的动点，则的最大值为()A. B.C.D.不存在B解析：由抛物线方程可得F.设M(x，y)，则2.设t，则x22pxx2ttpxt，即(1t)x2(2ptp)xt0.当t1时，x；当t1时，(2ptp)24(1t)t0，解得t.当xp时等号成立综上，当xp时，tmax，所以的最大值为.6已知抛物线y24x，过点Q(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值是_32解析：设过点(4,0)的直线方程为xay4.由得y24ay1
5、60，所以y1y216，y1y24a，所以yy(y1y2)22y1y216a23232，当a0时，(yy)min32.7过抛物线M：y28x的焦点F作两条斜率之积为2的直线l1，l2，其中l1交M于A，C两点，l2交M于B，D两点，则|AC|BD|的最小值为_24解析：设l1：yk(x2)，代入y28x，得k2x2(4k28)x4k20，所以xAxC，所以|AC|xAxCp8.以代k，得|BD|882k2，所以|AC|BD|162k216224，当且仅当2k2，即k时等号成立8(2020盘锦市高三二模)已知椭圆C：1(ab0)经过点P，两个焦点分别为F1(，0)，F2(，0)(1)求椭圆C的方
6、程；(2)设圆D：x2y2r2(br0)因为椭圆C经过点，所以1，解得b21或b2(舍)所以a24，所以椭圆C的方程为y21.(2)设l：ykxm，代入y21，得(4k21)x28kmx4m240.由64k2m24(4k21)(4m24)0，得m214k2.设A(x0，y0)，则x0，y0kx0m.因为l与圆D相切，所以圆心D到l的距离r，即m2r2(1k2)由得m2，k2.所以圆D的切线长|AB|.因为r224，当且仅当r时取等号因为r(1,2)，所以|AB|的最大值为1.B组新高考培优练9(2020宜春市高三三模)如图，已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小
7、距离为1.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|NF|的最小值解：(1)因为抛物线C上的点到准线的最小距离为1，所以1，解得p2，所以抛物线C的方程为y24x.(2)由(1)可知焦点为F(1,0)，由已知可得ABCD，所以直线AB，CD的斜率都存在且均不为0.设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，所以直线AB的方程为yk(x1)联立方程消去x得ky24y4k0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2.因为M(xM，yM)为弦AB的中点，所以yM(y
8、1y2).由yMk(xM1)，得xM11，所以点M.同理可得N(2k21，2k)，所以|NF|2，|MF|，所以|MF|NF|24428，当且仅当|k|，即k1时，等号成立，所以|MF|NF|的最小值为8.10(2020郑州市高三第二次质量预测)已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l平行于直线yx，且与椭圆C交于两个不同的点A，B.若AOB为钝角，求直线l在x轴上的截距m的取值范围解：(1)由题意可得2b2，所以b.由e，得a2，所以椭圆C的标准方程为1.(2)直线l平行于直线yx，即yx.设直线l在y轴上的截距为n，所以l的方程为yxn(n0)
9、联立得x22nx2n240.因为直线l与椭圆C交于A，B两个不同的点，所以(2n)24(2n24)0，解得2n2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x22n，x1x22n24.因为AOB为钝角等价于0，且n0，所以x1x2y1y2x1x2x1x2(x1x2)n2(2n24)(2n)n20，即n20)的焦点为F，过点F与x轴垂直的直线交抛物线的弦长为2.(1)求抛物线N的方程；(2)点M(2,2)和点C(2,1)为两定点，点A和点B为抛物线N上的两动点，线段AB的中点Q在直线OM上，求ABC面积的最大值解：(1)由题意得抛物线C的焦点为F.在方程y22px中，令x得yp，所以弦长为2p
10、，即2p2，解得p1，所以抛物线C的方程为y22x.(2)由(1)知抛物线C的方程为y22x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k0)因为线段AB的中点Q在直线OM上，由M(2,2)可知直线OM的方程为yx.设Q(m，m)(m0)，所以所以(y1y2)(y1y2)2(x1x2)又y1y22m，k，所以km1，即得k.设直线AB的方程为ym(xm)，即xmym2m0.联立所以y22my2m22m0，所以8m4m20，即0m2.由根与系数的关系得y1y22m，y1y22m22m，|AB|y1y2|2， 点C到直线AB的距离为d，所以SABC|AB|d2(22mm2)记t，因为0m0；当t时，SABC0.所以当t时，SABC有最大值为.
