1、三十四平面向量的数量积及综合应用(建议用时：45分钟)A组全考点巩固练1(2020东城区二模)已知向量a(0,5)，b(4，3)，c(2，1)，那么下列结论正确的是()Aab与c为共线向量Bab与c垂直Cab与a的夹角为钝角Dab与b的夹角为锐角B解析：根据题意，向量a(0,5)，b(4，3)，则ab(4,8)又由c(2，1)，有(4)(1)(2)8，则ab与c不是共线向量因为(ab)c(4)(2)(1)80，所以ab与c垂直2(2020中卫二模)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时若两只胳膊的夹角为60，每只胳膊的拉力大小均为400
2、N，则该学生的体重(单位：kg)约为()(参考数据：取重力加速度大小为g10 m/s2，1.732)A63B69C75D81B解析：设该学生左右两只胳膊的拉力分别为F1，F2，身体的重力为G，F1F2400 N，两胳膊夹角60，所以GF1F20，即G(F1F2)所以G2(F1F2)240022400400cos 60400234002，|G|400(N)，40401.73269，则该学生的体重约为69 kg.3(2020“超级全能生”全国联考)在ABC 中，AB4，BC6，ABC，D是AC的中点，E在BC上，且AEBD，则等于()A16B12 C8D4A解析：以B为原点，BA，BC所在直线分别
3、为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)设E(0，t)，因为AEBD，所以(2,3)(4，t)83t0，所以t，即E.(0,6)16.4(多选题)对任意平面向量a，b，c，下列命题中是真命题的是()A若abbc，则ac B若ab，bc，则acC|a|b|a|b| D|ab|a|b|BD解析：若abbc，则ac，反例b0，则a与c具有任意性，所以A为假命题；由向量相等的充要条件知，若ab，bc，则ac，所以B为真命题；|a|b|a|b|，如果b0，则不等式不成立，所以C为假命题；|ab|a|b|cosa，b|a|b|，所以D为真命题故选BD.
4、5(2020唐山二模)已知向量a，b满足|a|1，(ab)(3ab)，则a与b的夹角的最大值为()A30B60 C120D150A解析：因为|a|1，(ab)(3ab)，所以(ab)(3ab)3a2b24ab3b24ab0，所以ab，所以cosab，当且仅当|b|时，等号成立，且0ab180，所以cosab时，a，b的夹角最大为30.6(2020重庆模拟)已知向量a(1,2)，b(3,4)若向量c与a共线，且c在b方向上的投影为，则|c|_.5解析：向量a(1,2)，向量c与a共线，设c(，2)由b(3,4)，所以c在b方向上的投影为|c|cos ，解得，所以c(，2)，所以|c|5.7已知向
5、量(2,3)，(3，t)，且与夹角为锐角，则实数t的取值范围为_解析：向量(2,3)，(3，t)，所以(1，t3)又与夹角为锐角，则所以解得t且t，所以实数t的取值范围是.8在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，1)，B(3，4)两点若点C在AOB的平分线上，且|，则点C的坐标是_(1，3)解析：由题意，(0，1)是一个单位向量由于(3，4)，故方向上的单位向量e.因为点C在AOB的平分线上，所以存在实数(0)使得(e).因为|，所以210，解得.代入得(1，3)B组新高考培优练9(多选题)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，则下列结论正确的是()A不存在，使e1e2BeeC(e1e2)(e1
6、e2)De1在e2方向上的投影为sin ABC解析：对于A，因为两个单位向量e1，e2，有e1e211cos cos 1，所以A正确；对于B，因为两个单位向量e1，e2，有ee1，所以B正确；对于C，因为两个单位向量e1，e2，(e1e2)(e1e2)ee0，所以(e1e2)(e1e2)，所以C正确；对于D，因为两个单位向量e1，e2，e1 在e2方向上的投影为|e1|cos cos ，所以D错误10如图，C是半径为1的扇形圆弧上一点，0，|1.若xy，则2xy的最小值是()AB1C2DC解析：因为C是半径为1的扇形圆弧上一点，0，|1，以OA，OB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系(图
7、略)，则(1,0)，(0,1)，|1.因为xy(x，y)，两边同时平方可得2x22y222xy，所以1x2y2.令2xyb，则y2xb，则当直线y2xb经过(1,0)时，b取得最小值为2，即所求的最小值是2.故选C.11已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_；的最大值为_11解析：以射线AB，AD分别为x轴，y轴的正方向建立如图所示平面直角坐标系，则A(0,0)，B(1,0)，C(1，1)，D(0,1)设E(t,0)，t0,1，则(t，1)，(0，1)，所以(t，1)(0，1)1.因为(1,0)，所以(t，1)(1,0)t1，的最大值为1. 12已知向量a，b，c满足|a|4，|b|2，a，b，(ca)(cb)1，求|ca|的最大值解：设a，b，c，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)因为|a|4，|b|2，a与b的夹角为，则A(4,0)，B(2,2)，设C(x，y)因为(ca)(cb)1，所以x2y26x2y90，即(x3)2(y1)21，所以点C在以(3,1)为圆心，1为半径的圆上，|ca|表示点A，C的距离，即圆上的点与A(4,0)的距离因为圆心到A的距离为，所以|ca|的最大值为1.