1、四川省宜宾市叙州区第二中学校2019-2020学年高二数学下学期第四学月考试试题 理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的单调性对集合化简
2、得x|0x1，然后求出AB即可【详解】x|0x2，AB1，故选C【点睛】考查对数不等式的解法，以及集合的交集及其运算2.已知复数,则的共轭复数()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】对复数进行化简，然后得到，再求出共轭复数.【详解】因为，所以，所以的共轭复数故选A项.【点睛】本题考查复数的四则运算，共轭复数的概念，属于简单题.3.高中数学课程标准(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是（ ）(注:雷达图(Ra
3、dar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)A. 甲的数据分析素养高于乙B. 甲的数学建模素养优于数学抽象素养C. 乙的六大素养中逻辑推理最差D. 乙的六大素养整体水平优于甲【答案】D【解析】【分析】根据雷达图，依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】根据雷达图得甲的数据分析素养低于乙，所以A错误根据雷达图得甲的数学建模素养等于数学抽象素养，所以B错误根据雷达图得乙的六大素养中数学建模和数学抽象最差，所以C错误根据雷达图得乙整体为27分，甲整体为22分，乙的六大素养整体水平优于甲，所以D正确故答案选D【点睛】本题考查了雷达图，意在考
4、查学生解决问题的能力.4.若，则“”是 “”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当时，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.【点睛】易出现错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.5.函数y=
5、sin2x的图象可能是A B. C. D. 【答案】D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可判断选择.详解：令， 因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，所以排除选项C，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复6.已知随机变量服从正态分布,则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】，选D.7.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的
6、一个小组，则不同的报名方法共有（ ）A. 10种B. 20种C. 25种D. 32种【答案】D【解析】每个同学都有2种选择，根据乘法原理，不同的报名方法共有种，应选D.8.甲、乙、丙三人每人准备在个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有个景点未被选择”的条件下，恰有个景点未被选择的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设事件A为：至少有个景点未被选择，事件B为：恰有个景点未被选择,计算和,再利用条件概率公式得到答案.【详解】设事件A为：至少有个景点未被选择，事件B为：恰有个景点未被选择 故答案选A【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生对于条件概率的理解和计算.9.若函
7、数在区间上单调递增，则实数取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：，函数在区间单调递增，在区间上恒成立，而在区间上单调递减，的取值范围是故选D考点：利用导数研究函数的单调性.10.已知函数，若，则的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据的解析式可判断出为奇函数，利用导数可判单调性，结合对数运算性质可比较，的大小，从而根据单调性即可得出，的大小关系【详解】解：为奇函数. 在单调递增.， 在单调递增，故故选：【点睛】考查奇函数的定义，考查利用导数研究函数单调性，以及对数的运算性质，属于基础题11.已知是定义在上的函数，若且，则的解集为
8、（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，然后将转化为，即，根据单调建立关系，解之即可【详解】令函数；由，则；所以在上单调递减；，则，转化为，即；根据在上单调递减，则；所以的解集为；故答案选D【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，以及利用构造新函数解不等式，考查学生转化的思想，属于中档题12.已知函数，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出导函数，再分别讨论，的情况，从而得出的最大值【详解】由题可得：；（1） 当时，则，由于，所以不可能恒大于等于零；（2） 当时，则在恒成立，则函数在上
9、单调递增，当时，故不可能恒有；（3） 当 时，令，解得：，令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，则，对任意的，都有恒成立，即，得，所以；先求的最大值：由，令，解得：，令，解得：，令，解得，则在上所以单调递增，在上单调递减，所以；所以的最大值为；综述所述，最大值为；故答案选B【点睛】本题考查函数的单调性，导数的应用，渗透了分类讨论思想，属于中档题第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在的展开式中常数项是_【答案】14【解析】 ，令，则展开式中得常数项为.【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项.根据通项公式,根据所
10、求项的要求，解出，再给出所求答案.14.已知函数，则在处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】求导数，令，可得，求出，即可求出切线方程【详解】；又；在处的切线方程为，即；故答案为【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题15.随机变量的分布列如下：若，则_.【答案】【解析】【分析】利用概率之和为以及数学期望列方程组解出和的值，最后利用方差的计算公式可求出的值【详解】由题意可得，解得，因此，故答案为【点睛】本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算，解题时要注意概率之和为这个隐含条件，其次就是熟悉随机变量数学期望和方差的公式，考查计算能力，属于中等题16.已
11、知命题“任意”；命题“存在”.若命题“且”是真命题，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】判断为真命题且为真命题，分别计算得到和或，得到答案.【详解】“且”为真命题，故为真命题且为真命题.任意，即，故，即；存在，即，解得或.综上所述：.故答案为：.【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.三解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.为迎接年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动现从参加冬奥知识
12、竞赛活动的学生中随机抽取了名学生，将他们的比赛成绩（满分为分）分为组：，得到如图所示的频率分布直方图（1）求的值；（2）记表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于分”，估计的概率；（3）在抽取的名学生中，规定：比赛成绩不低于分为“优秀”，比赛成绩低于分为“非优秀”请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生女生合计参考公式及数据：，【答案】（1）；（2）；（3）列联表见解析，没有【解析】【分析】（1）根据频率直方图中所有小矩形的面积之和为1这一性质进行求解即可；（2）结合（1）的结论，求出比赛成绩不低
13、于分的频率即可；（3）结合（2）的结论，先求出比赛成绩优秀的人数，这样可以完成列联表，再根据题中所给的公式求出的值，结合参考数据进行判断即可.【详解】（1）由题可得，解得（2）由（1）知，则比赛成绩不低于分的频率为，故从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于分的概率约为（3）由（2）知，在抽取的名学生中，比赛成绩优秀的有人，非优秀的人数为，非优秀的男生人数为40人，所以非优秀的女生人数为25人，由此可得完整的列联表：优秀非优秀合计男生女生合计所以，所以没有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”【点睛】本题考查了补全频率直方图，考查了利用频率直方图求概率的问题，考
14、查了的运算，考查了通过的值做出数学判断的能力，考查了数学运算能力和推理论证能力.18.已知函数.(1)讨论函数的单调性;(2)对于任意正实数x,不等式恒成立,求实数k的取值范围.【答案】（1）在上单调递减,在上单调递增（2）【解析】【分析】（1）利用导数的正负即可求出单调区间；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最小值即可；【详解】(1)因为.所以,令,得,当时,;当时,所以函数在上单调递减,在上单调递增.(2)由于,恒成立,所以.构造函数,所以.令,解得,当时,当时,.所以函数在点处取得最小值,即.因此所求k的取值范围是.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及不等式的恒成立问题，
15、考查计算能力和分析问题的能力，以及转化思想，属于中档题19.如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.【详解】(1)如图所示，连结，等边中，则，平面ABC平面，且平面ABC平面，由面面垂直的性质定理可得：平面，故，由三棱柱的性质可知，而，故，且，由线面垂直的判定定理可得：平面，结合平面，故.(2)在底
16、面ABC内作EHAC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.设，则，,，据此可得：，由可得点的坐标为，利用中点坐标公式可得：，由于，故直线EF的方向向量为：设平面的法向量为，则：，据此可得平面的一个法向量为，此时，设直线EF与平面所成角为，则.【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知椭圆：的一个
17、焦点为，点在上.（1）求椭圆的方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】先求出c的值，再根据，又，即可得到椭圆的方程;假设y轴上存在点，是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设，线段AB的中点为，根据韦达定理求出点N的坐标，再根据，即可求出m的值，可得点M的坐标【详解】由题意可得，点在C上，又，解得，椭圆C的方程为，假设y轴上存在点，是以M为直角顶点的等腰直角三角形，设，线段AB的中点为，由，消去y可得，解得，依题意有，由，可得，可得，由可得，代入上式化简可得，则，
18、解得，当时，点满足题意，当时，点满足题意【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21.已知函数，.（1）若函数与的图像上存在关于原点对称的点，求实数的取值范围；（2）设，已知在上存在两个极值点，且，求证：（其中为自然对数的底数）.【答案】(1) (2)见证明【解析】【分析】（1）将问题转化为在有解，即在上有解，通过求解
19、的最小值得到；（2）通过极值点为可求得，通过构造函数的方式可得：；通过求证可证得，进而可证得结论.【详解】（1）函数与的图像上存在关于原点对称的点即的图像与函数的图像有交点即在有解，即在上有解设，则当时，为减函数；当时，为增函数，即（2），在上存在两个极值点，且 且，即设，则要证，即证只需证明，即证明设，则则在上单调递增，即 【点睛】本题考查利用导数来解决函数中的交点问题、恒成立问题，解决问题的关键是能将交点问题转变为能成立问题、不等式的证明问题转化为恒成立的问题，从而通过构造函数的方式，找到合适的函数模型来通过最值解决问题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多
20、做，则按所做的第一题计分.22.如图，在极坐标系中，弧，所在圆的圆心分别是，曲线是弧，曲线是线段，曲线是线段，曲线是弧.（1）分别写出，的极坐标方程；（2）曲线由，构成，若点，（），在上，则当时，求点的极坐标.【答案】（1）线的极坐标方程为：，的极坐标方程为：，的极坐标方程分别为：，；（2），.【解析】【分析】（1）在极坐标系下，在曲线上任取一点，直角三角形中，曲线的极坐标方程为：，同理可得其他.（2）当时，当，计算得到答案.【详解】（1）解法一：在极坐标系下，在曲线上任取一点，连接、，则在直角三角形中，得：.所以曲线的极坐标方程为：又在曲线上任取一点，则在中，由正弦定理得：， 即：，化简得的
21、极坐标方程为：同理可得曲线，的极坐标方程分别为：，解法二：（先写出直角坐标方程，再化成极坐标方程.）由题意可知，的直角坐标方程为：，所以，的极坐标方程为：，（2）当时，当时，所以点的极坐标为，【点睛】本题考查了极坐标的计算，意在考查学生对于极坐标的理解和计算能力.23.设（1）解不等式；（2）对任意的非零实数，有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）通过讨论的范围去绝对值符号，从而解出不等式（2）恒成立等价于恒成立的问题即可解决详解】（1）令当时当时当时综上所述（2）恒成立等价于（当且仅当时取等）恒成立【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式以及恒成立的问题，在解绝对值不等式时首先考虑去绝对值符号属于中等题
