1、湖南师大附中 2023 年上学期高一期末测试卷.数学 时量：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集1,2,3,4,5U=，1,2A=，2,3,4B=，则()UAB=（）A.1 B.5 C.1,5 D.1,2 2.已知复数5i2z=（i 是虚数单位），则 z=（）A.2i B.2i+C.2i+D.2i 3.如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，且 E 为 AO 的中点，则 DE=（）A.3144ABAD B.1344ABAD+C.1344AB
2、AD D.3144ABAD+4.某地区中小学生人数比例和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法随机抽取 2%的学生进行调查，其中被抽取的小学生有 80 人，则样本容量和该地区的初中生近视人数分别为（）A.100，50 B.100，1050 C.200，50 D.200，1050 5.下列说法不正确的是（）A.若直线 a平面，则直线 a 与平面 内的任意一条直线都无公共点 B.若a=，b=，且 ab，则 C.垂直于同一条直线的两个平面互相平行 D.垂直于同一个平面的两条直线互相平行.6.函数()1sinln1xf xxx=+的大致图象为（）EODCB
3、AA.B.C.D.7.某教学软件在刚发布时有 100 名教师用户，发布 5 天后有 1000 名教师用户，如果教师用户人数()R t 与天数t 之间满足关系式：()0ktR tR e=，其中 k 为常数，t=0 是刚发布的时间。则教师用户超过 30000 名至少经过的天数为（参考数据：lg30.4771）（）A.11 B.12 C.13 D.14 8.如图，已知电路中 4 个开关闭合的概率都是 12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（）A.116 B.316 C.34 D.1316二、选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部
4、选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.一组样本数据1x，2x，6x，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A.2x，3x，4x，5x 的平均数等于1x，2x，6x 的平均数.B.2x，3x，4x，5x 的第 60 百分位数等于1x，2x，6x 的第 60 百分位数.C.2x，3x，4x，5x 的标准差不大于1x，2x，6x 的标准差 D.2x，3x，4x，5x 的极差不大于1x，2x，6x 的极差 10.已知eeab，则下列不等式一定成立的有（）A.2211ab C.20232023ab D.()lg1ab 11.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字
5、1，2，3，4 连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件 A 为“第一次向下的数字为 2 或 3”，事件 B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（）A.()14P A=B.事件 A 与事件 B 互斥 C.事件 A 与事件 B 相互独立 D.()34P AB=12.如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 的中点，点 P 是 AD 上的动点，将ADE，CDF 分别沿 DE，DF 折起，使 A，C 两点重合于点 G，则下列结论正确的是（）A.BGEF B.G 到平面 DEF 的距离为 23 C.若 B
6、G面 EFP，则二面角 DEFP 的余弦值为63 D.四面体 GDEF 外接球表面积为24 三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.13.已知10cos410+=，则sin 2=_.14.以棱长为 1 的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，那么这个正八面体的表面积是_.15.一个袋子中有大小和质地相同的 5 个小球，其中有 3 个红色球、2 个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2 个球，则两个球颜色相同的概率为_.16.在ABC 中，AB=（2m，m+5），AC=（cos，sin），（mR，R），若对任意的实数 t，ABt ACABAC恒成立，则 BC 边的最小值
7、是_.三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题 10 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为正方形，侧面 ADP 是正三角形，侧面 ADP底面 ABCD，M 是 DP 的中点.（1）求证：AM平面 CDP；（2）求直线 BP 与底面 ABCD 所成角的正弦值.FBDEGPABCDEFP 18.（本小题 12 分）已知在ABC 中，2ABC+=，()2sinsinACB=.（1）求sin A；（2）设2 7c=，求ABC 的面积.19.（本小题 12 分）已知向量24sin1,cos23xmx=，()1,2n=，记函数
8、()f xm n=.（1）求使函数()f xm n=成立的 x 的取值集合；（2）已知，均为锐角，1365f+=，()12sin13=，求()sin 2的值.20.（本小题 12 分）某地区为了解市民的心理健康状况，随机抽取了 n 位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分百分制按国家制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在)70,80 中的市民有200 人.心理测评评价标准 调查评分)0,40)40,50)50,60)60,70)70,80)80,9090,100心理等级 E D B B A （1）求 n 的值及频率分布直方图中 t 的值；（2）该地区主管部门设定预案：若市
9、民心理健康指数的平均值不低于 0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.（每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分100）（3）在抽取的心理等级为 D 的市民中，按照调查评分的分组，分为 2 层，通过分层随机抽样抽取 3 人进行心理疏导.据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在)40,50 的市民的心理等级转为 B 的概率为 14，调查评分在)50,60 的市民的心理等级转为 B 的概率为 13，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3 人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为 B
10、 的概率；21.（本小题 12 分）如图，在棱长为 3 的正方体 ABCDABCD中，M 为 AD 的中点.（1）求证：DB平面 BMA；（2）在体对角线 DB上是否存在动点 Q，使得 AQ平面 BMA？若存在，求出 DQ 的长；若不存在，请说明理由.22.（本小题 12 分）设函数()f x 的定义域为 D，对于区间,Ia b=（ab）是函数()22f xxx=+的“区间”，求 m 的取值范围；（3）已知定义在 R 上，且图象连续不断的函数()f x 满足：对任意 a，bR，且ab.求证：()f x 存在“区间”，且存在0 x R，使得0 x 不属于()f x 的任意一个“区间”.MDCBA
11、DCBADCBAMDCBA湖南师大附中 2023 年上学期高一期末测试卷数学答案一.选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【解析】全集1,2,3,4,5U=，1,2A=，2,3,4B=，1,5U B=，()1UAB=.故选 A.2.【答案】C【解析】()()()52510522225iiziiii=+，2zi=+.故选：C.3.【答案】C【解析】画出图形，如下图.选取 AB，AD为基底，则()111244AEAOACABAD=+，()113444DEAEADABADADABAD=+=.故选 C.4.【答案
12、】D【解析】由分层抽样的概念可得样本容量为 8020040%=，则该地区的初中生有 200 35%35002%=人，所以该地区的初中生近视人数为3500 30%1050=.故选 D.【答案】B.【解析】A 项：直线与平面平行没有公共点，故直线与平面内任意一条直线都无公共点，A 项正确；B 项：和 有可能平行，有可能相交，B 项错误；C 项：过这条直线作平面与这两个平面相交，则它们的交线平行，由两组这样的交线平行即可证明面面平行，C 项正确；D 项：直线与平面垂直的性质定理，D 项正确；故选 B.6.【答案】D【解析】解：函数()1sinln1xf xxx=+的定义域为()(),11,+，由()
13、()()111sinlnsinlnsinln111xxxfxxxxf xxxx+=+，则()f x 为偶函数，图象关于 y 轴对称，故排除 A，C，又()13sin3 ln02f=，故()5ln3005lg3005lg3212.3912ln10k=+，所以教师用户超过 20000 名至少经过 13 天故选：C 8.【答案】D【解析】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，下边的 2 个都开且上边的 2 个中有一个开另一个闭，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为 111111111111322222222222216+=，所以灯泡亮的概率为3131 1616=，故
14、选 D.二、选择题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，满分 20 分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9.【答案】BD【解析】对于 A：不妨令23455xxxx=，11x=，66x=，则()234516234512345621046122xxxxxxxxxxxxxxxx+=，故 A 错误；对于 B：不妨令2345xxxx，因为4 0.62.4=，则2x，3x，4x，5x 的第 60 百分位数是4x；因为1x 是最小值，6x 是最大值，且6 0.63.6=，故1x，2x，3x，4x，5x，6x 的第 60 百分位数依
15、然是4x，故 B 正确；对于 C：C 错误；对于 D：设2x，3x，4x，5x 中最小值为2x，最大值为5x，则12xx，56xx，则5261xxxx，故 D 正确；故选 BD 10.【答案】BC【解析】由abee得ab.A.令1a=，1b=，则2211ab=，故选项 A 错误；B.因为ab，所以0ab，所以01a b=，故选项 B 正确；C.因为()2023f xx=为 R 上递增函数，由 ab得20232023ab，故选项 C 正确；D.由0ab得()abR，故选项 D 错误故选 BC.11.【答案】CD【解析】依题意，抛掷正四面体木块，第一次向下的数字有 1，2，3，4 四个基本事件，则
16、()2142P A=，A 不正确：事件 B 含有的基本事件有 8 个：()1,2，()1,4，()2,1，()2,3，()3,2，()3,4，()4,1，()4,3，其中事件()2,1，()2,3，()3,2，()3,4 发生时，事件 A 也发生，即事件 A，B 可以同时发生，B 不正确；抛掷正四面体木块两次的所有基本事件有 16 个，()81162P B=，()()()41164P ABP A P B=，即事件 A 与事件 B 相互独立，C 正确；()()()()11132244P ABP AP BP AB=+=+=，D 正确.故选 CD.12.【答案】ACD.【解析】A 项：连 BD，EF
17、 可知 BDEF又因为 DGFG，DGEG，EGFGG=，所以 DG 面 EFG，所以 DGEF又因为 DGBDD=，所以 EF 面 BDG，所以 EFBG，故 A 项正确；B项：因 为2EGFG=，2 2EF=，所 以EFG为 RtEFG，所 以 EGFG，故1182 24323D EFGV=.又因为211142 22 42 46222DEFBEFADECDFABCDSSSSS=正方形，故 G 到面 DEF 的距离38463DEFVdS=（等体积法），故 B 项错误；C 项：令 BDEFH=，连GH，HP.因为 BG 面 EFP，BG 面 BDG，面 BDG 面 EFGHP=，所以1GP=，
18、3DP=又因为 EF 面 BDG，所以 EFHP，EFDH，所以DHP即为二面角DEFP的 平 面 角 又 因 为 DG 面 EFG，所 以 GPGH，故 在 RtGHP中，22123HPGPGH=+=+=.又 因 为3 2DH=，故 在DHP中，由 余 弦 定 理 的 推 论：2223 1896cos2323 3 2HPDHDPDHPHP DH+=，故二面角 DEFP的余弦值为63，C 项正确；D 项：由于 EG，FG，DG 两两互相垂直，不妨将三棱锥 DEFG放置于一个长宽均为 2、高为 4 的长方体中，其外接球半径22222462R+=，故其表面积2424SR=，D 项正确；故选 ACD
19、.三、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 13.【答案】45【解答】24sin 2cos 212cos245=+=+=，故答案为 45.14.【答案】3.【解析】由正方体的棱长为 1 易得正八面体的棱长为22，故其表面积23834Sa=，故答案为 3.15.【答案】25【解析】用 1、2、3 表示 3 个红色球，4、5 表示 2 个绿色球，用数组(),x y 表示可能的结果，x 是第一次摸到球的标号，y 是第二次摸到球的标号，则样本空间所包含的样本点为：()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()2,1，()2,3，()2,4，()2,5，()3,1，()3,2
20、，()3,4，()3,5，()4,1，()4,2，()4,3，()4,5，()5,1，()5,2，()5,3，()5,4，共 20 个 其中两个球颜色相同的事件有：()1,2，()1,3，()2,1，()2,3，()3,1，()3,2，()4,5，()5,4，共 8 种，故所求事件的概率为 82205=.16.【答案】19 【解 答】设 ADt AC=，如 图，对 任 意 的 实 数t，ABt ACABAC恒 成 立 则ABt ACABADDBCB=恒成立，ACBC，()2,5ABm m=+，()cos,sinAC=，()25120ABm=+，1AC=，2220 119BCABAC=，故答案为
21、 19.三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.【解析】（1）侧面 ADP 为正三角形，M 为 DP 中点，AMDP.又底面 ABCD 为正方形CDAD.又面 ADP 面 ABCD 且面 ADP 面 ABCDAD=，CD 面 ADP，CDAM.又CDDPD=，AM 面CDP.（2）取 AD 的中点 E，连 BE，EP.同（1）理：EP 面 ABCD，则EBP是所求直线与平面所成角.不妨设2ADa=，则在正ADP中，3EPa=；在RtABE中，225BEAEABa=+=；在 RtBEP中，2 2BPa=.故36sin42 2EPaEBPBPa=
22、，所以直线 BP 与底面 ABCD 所成角的正弦值为64.18.【解析】（1）2ABC+=，ABC+=3C=.又()()()2sinsinsinsinACBACAC=+()2 sincoscossinsincoscossinACACACAC=+sincos3cossinACAC=，即 13 3sincos22AA=，又22sincos1AA+=且0,2A，解得：3 33 21sin1428A=.（2）因为()3 2117321sinsin1421427BAC=+=+=，由正弦定理 sinsinsinabcABC=，代入得2 73 212131472ab=，6a=，4b=；故113sin6 46
23、 3222ABCSabC=.19.【解析】（1）由()f xm n=知，()()24sin12cos2 1 cos12 cos cossinsin2333xf xxxxx=+=+311 cos3sin12sincos2sin1226xxxxx=+=+=+，()150sin2262666f xxkxk +，kZ，解得22,23xkk+，kZ；（2）132sin165f+=+=，4sin5=，因为0,2，所以23cos1 sin5=，因为0,2，所以,2 2=，所以()()25cos1 sin13=，所以()()()()1235416sin 2sinsincoscossin13513565=+=+
24、=+=.20.【答案】（1）由已知条件可得20010000.02 10n=，又因为每组的小矩形的面积之和为 1 所以()0.0350.0250.020.0048101t+=，解得0.002t=；（2）由频率分布直方图可得，45 0.0255 0.0465 0.1475 0.285 0.3595 0.2580.7+=.估计市民心理健康调查评分的平均值为 80.7，所以市民心理健康指数平均值为 80.70.8070.75100=.所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.（3）由（1）知：0.002t=，则调查评分在)40,50 中的人数是调查评分在)50,60 中人数的 12，若按
25、分层抽样抽取 3 人，则调查评分在)40,50 中有 1 人，在)50,60 中有 2 人，设事件 M=“在抽取的 3 人中，经心理疏导后恰有一人的心理等级转为 B”因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以()12231232144334334339P M=+=.故经心理疏导后恰有一人的心理等级转为 B 的概率为 49.21.【解析】（1）证明：连接 AB，交 BA于点 E，连接 EM.因为四边形 ABB A 是正方形，所以 E 是 AB的中点，又 M 是 AD 的中点，所以 EMDB.因为 EM 面 BMA，DB/面 BMA，所以 DB 面 BMA.（2）在对角线 DB 上存在点 Q，且
26、3DQ=，使得 AQ 平面 BMA.证明如下：因为四边形 ABB A 是正方形，所以 ABBA.因为 AD 平面 ABB A ，BA 面 ABB A ，所以 ADBA.因为 ABADA=，所以 BA 平面 ADB.因为 BA 平面 BMA，所以平面 BMA 平面 ADB.作 AQDB于 Q，因为 EMDB，所以 AQEM.因为 DQ 平面 ADB，平面 ADB 平面 BMAEM=，所以 DQ 平面 BMA.由 RtRtADBQDA，得2933 3ADDQDB=.所以当3DQ=时，DQ 平面 BMA.22.【解析】（）是（满足性质 1）不是；（2）记0,Im=，()Sf x xI=，易知()00
27、0,fm=，故若 I 为()f x 的“区间”，则不满足性质，必满足性质，即 SI；()()22211f xxxx=+=+，当01m，即()f mm，所以()0,Sf m=不包含于0,Im=，不合题意；当12m时，()()0,10,10,SffmI=，符合题意；当2m 时，()()()220f mff=，所以()f mI，不合题意；综上可知，1,2m；（3）证明：对于任意区间(),Ia bab=，即 S 的长度大于 I 的长度，故不满足性质，所以若 I 为()f x 的“区间”，必满足性质，这只需 SI=，即只需()f aa.()f xx=显然不恒成立，所以存在常数 c 使得()f cc.如()f cc，取ac=，区间(),Ia bab=，取bc=，区间(),Ia bab=，则()()0f tft，()0g t，由零点存在性定理，可知存在()00,xt，使得()00g x=，若0t=，即()0g t，()00g，由零点存在性定理，可知存在()0,0 xt，使得()00g x=，综上，()g x 有零点0 x，即()00f xx=，因为()f x 的所有“区间”I 都满足性质，故0 xI.（否则()00f xxI=，与性质不符）即0 x 不属于()f x 的任意一个“区间”，证毕