1、2021届高二期中考试（理科）数学试题一、单选题（每题5分，共60分）1.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求解出集合，根据并集的定义求得结果.【详解】 本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.2.设，集合是奇数集，集合是偶数集若命题：，则（ ）A. ：，B. ：，C. ：，D. ：，【答案】C【解析】【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题【详解】解：“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，命题p：xA，2xB 的否定是：，故选：C【点睛】命题的否定即命题的对立面“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述如“
2、对所有的都成立”与“至少有一个不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”3.阅读如图所示的程序，则运行结果为（ ）A. 1B. 2C. 5D. 7【答案】C【解析】【分析】按照顺序从上往下依次进行，最后求出运算的结果.【详解】由题意知.【点睛】本题考查了赋值语句、输出语句，掌握赋值语句的原则是解题的关键.4.下列各函数中，最小值为2的是( )A. B. ，C. D. 【答案】D【解析】【分析】对于选项A中的x来说，因为x不等于0，所以x大于0小于0不确定，所以最小值不一定为2；对于选项B和C中的函数来说，sinx大于0，
3、而也大于0，但是基本不等式不满足取等号的条件；从而可得结果详解】对于A：不能保证x0，对于B：不能保证sinx=，对于C：不能保证，对于D：，当时，最小值为2故选D【点睛】利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）5.直线（，）过点(-1,-1),则的最小值为 ( )A. 9B. 1C. 4D. 10【答案】A【解析】【分析】将点的坐标代入直线方程：，再利用乘
4、1法求最值【详解】将点的坐标代入直线方程：，当且仅当时取等号【点睛】已知和为定值，求倒数和的最小值，利用乘1法求最值。6.若是两条不同的直线，是三个不同的平面：；若,，则，则以上说法中正确的有( )个A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【详解】由是两条不同的直线，是三个不同的平面，知：对于， ，由线面垂直的判定定理得 ，故正确；对于， ， ， ，则与平行或异面，故错误；对于， ， ，由线面垂直的判定定理得 ，故正确；对于，若 ， ，则与相交或平行，故错误，故选B.7.函数在上的图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性和函数图像上的特殊点，
5、对选项进行排除，由此得出正确选项.【详解】由于，所以函数为奇函数，图像关于原点对称，排除C选项.由于，所以排除D选项.由于，所以排除B选项.故选：A.【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性、特殊点，属于基础题.8.已知曲线：，：，则下面结论正确的是（ ）A. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线B. 把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线D. 把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，
6、再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线【答案】C【解析】【分析】由题意利用诱导公式得，根据函数的图象变换规律，得出结论【详解】已知曲线，把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线的图象，故选C【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题9.已知函数的定义域是，求函数的定义域（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出的范围,即可求得的定义域【详解】由题,设,的定义域为故选：B【点睛】本题考查抽象函数的定义域问题,属于基础题10.点与位于异侧，则m的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由
7、于点不在直线上,则将点代入直线方程中会得到大于0或小于0的不等式,由于两点位于直线两侧,则,解出不等式即可【详解】由题,点与位于异侧,将两点分别代入直线方程中,则,即,故选：A【点睛】本题考查点与直线的位置关系,考查解不等式,考查运算能力11.设向量满足，若，则（ ）A 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】由题得到,代入中,整理可得,再求,最后代回即可【详解】由题,则,故选：B【点睛】本题考查向量的模,考查向量的线性运算,考查数量积表示垂直关系,考查运算能力12.一段1米长的绳子，将其截为3段，问这三段可以组成三角形的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析
8、】分别设绳子三段长为,均需满足大于0小于1,列不等式组可得出可行域为,再由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列出不等式组,可行域为,则面积比即为概率【详解】由题,设绳子三段长为,则,则可行域为,由三角形三边性质可得,则可行域为,其中分别为的中点,故选：A【点睛】本题考查面积型几何概型,考查二元一次不等式组得可行域,考查数形结合的思想二、填空题（每题5分，共20分）13.已知向量夹角为，且，则_【答案】【解析】试题分析：的夹角，.考点：向量的运算.【思路点晴】平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的
9、平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决列出方程组求解未知数.【此处有视频，请去附件查看】14.向边长为的正方形内随机投粒豆子，其中粒豆子落在到正方形的顶点的距离不大于的区域内（图中阴影区域），由此可估计的近似值为_.（保留四位有效数字）【答案】3.149【解析】【分析】根据已知条件求出满足条件的正方形的面积，及到顶点的距离不大于1的区域（图中阴影区域）的面积比值等于频率即可求出答案【详解】依题意得，正方形的面积，阴影部分的面积，故落在到正方形的顶点的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）
10、的概率，随机投10000粒豆子，其中1968粒豆子落在到正方形的顶点的距离不大于1的区域内（图中阴影区域）的频率为：，即有：，解得：，故答案为3.149【点睛】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件的基本事件对应的“几何度量” （A），再求出总的基本事件对应的“几何度量” ，最后根据求解利用频率约等于概率，即可求解。15.现从80瓶水中抽取6瓶进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将80瓶水编号，可以编为00,01,02,，79，在随机数表中任选一个数，例如选出第6行第5列的数7（
11、下面摘取了附表1的第6行至第10行）。16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13
12、42 99 66 02 79 5457 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28规定从选定的数7开始向右读， 依次得到的样本为_【答案】77,39,49,54,43,17【解析】【分析】利用随机数表的性质，对选取的数一一判断即可.【详解】找到第6行第5列的数开始向右读，第一个符合条件的是77，第2个数是94它大于79故舍去，所以第二个数是39，第三个数是49，第四个数是54，第五个数是43，第六个数是54它与第四个数重复，故舍去，再下一个数是82比79大,故舍去，所以第六个数是17故答案为：7
13、7,39,49,54,43,17【点睛】本题考查了随机数表的使用，注意取到的数不要重复，不要超出规定的号码，属于基础题.16.设是定义在上的奇函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据奇函数的定义求出函数的解析式，可得，可将对任意的均成立转化为对任意的恒成立，即可求解.【详解】由题意得：当时，所以是上的增函数且为奇函数，的解析式为.由题意得成立，从而原不等式等价于对任意的均成立，即对任意的恒成立对恒成立.【点睛】本题主要考查利用奇函数求解析式的方法.解答本题的关键是利用转化思想，将对任意的均成立转化为对任意的恒成立.三、解答题17.记数列的前项和为
14、，已知点在函数的图像上.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.【答案】（）；（）.【解析】【分析】(1)本题首先可根据点在函数的图像上得出，然后根据与的关系即可求得数列的通项公式；(2)首先可根据数列的通项公式得出，然后根据裂项相消法求和即可得出结果。【详解】(1)由题意知.当时，；当时，适合上式.所以.(2).则。【点睛】本题考查根据数列的前项和为求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，与满足以及，考查计算能力，是中档题。18.某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50，60），60，70），70，80），80，90），90，100（1）求图中的
15、值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分，众数，中位数；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（）与数学成绩相应分数段的人数（）之比如下表所示，求数学成绩在50，90）之外的人数分数段50，60）60，70）70，80）80，90）1：12：13：44：5 【答案】（1）0.005；（2）平均分为73，众数为65，中位数为 ；（3）10【解析】【分析】（1）根据频率之和为1，直接列式计算即可；（2）平均数等于每组的中间值乘以该组频率，再求和；众数指频率最大的一组的中间值；中位数两端的小长方形面积之和均为0.5；（3）根据题意分别求出，的人数，即可得出结果.【详解
16、】（1）由频率分布直方图可得：,（2）平均分为众数为65分. 中位数为 （3）数学成绩在的人数为，在的人数为，在的人数为，在的人数为，在的人数为， 所以数学成绩在之外的人数为100-5-20-40-25=10.【点睛】本题主要考查样本估计总体，由题中频率分布直方图，结合平均数、中位数等概念，即可求解，属于基础题型.19.设。（1）求的单调增区间；（2）在锐角中，角的对边分别为，若，求面积的最大值。【答案】（1）的单调递增区间是（2）【解析】【分析】利用二倍角公式、两角和差余弦公式和辅助角公式可化简函数为；（1）令，解出的范围即为所求的单调递增区间；（2）利用为锐角和可求得；利用余弦定理和基本不
17、等式可求得，代入三角形面积公式即可求得面积的最大值.【详解】（1）令，解得：的单调递增区间为：（2） ，即由余弦定理得：（当且仅当时取等号）（当且仅当时取等号）即面积的最大值为：【点睛】本题考查三角函数与解三角形知识的综合应用，涉及到利用三角恒等变换公式对三角函数进行化简、正弦型函数单调区间的求解、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求解三角形面积的最值等知识，属于常考题型.20.如图，在三棱柱中，、分别是、的中点.（）证明：平面；（）若这个三棱柱的底面是等边三角形，侧面都是正方形，求二面角的余弦值.【答案】（）见解析； （）【解析】【分析】（）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边
18、形，可得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；（）取、的中点、，连接、，证明出平面以及，然后以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值.【详解】（）证明：取的中点为，连接、.、分别为、的中点，且，为的中点，且. 且，四边形为平行四边形，.平面，平面，平面；（）解：设的中点为，连接，为等边三角形 ， 侧面都是正方形 ，、平面且，平面，平面，平面. 取中点为，连接，则.以为原点，以、分别为、轴建立空间直角坐标系，如图.设，则、，设平面的法向量为，则，令，得，取平面的法向量为.则，结合图形可知，二面角为锐角，其余
19、弦值为.【点睛】本题考查直线与平面平行判定，考查二面角的求解，证明直线与平面平行，常用以下三种方法：利用中位线平行证明线线平行；证明四边形为平行四边形，利用对边平行得出线线平行；证明面面平行，由面面平行得出线面平行.21.如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点，过点的直线,分别与圆交于,两点（）若,，求的面积；（）若直线过点，证明：为定值，并求此定值【答案】（I）；（II）证明见解析，【解析】试题分析：（I）由题意，得出直线的方程为，直线的方程为，由中位线定理，得，由此可求解的面积；（II）当直线斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程，利用根与系数的关系、韦达定理，即可化简得出为定值；当斜
20、率不存在时，直线的方程为，代入圆的方程可得：，即可得到为定值试题解析：（）由题知，所以，为圆的直径，的方程为，直线的方程为，所以圆心到直线的距离，所以，由中位线定理知，；（）设、，当直线斜率存在时，设直线的方程为，代入圆的方程中有：，整理得：，则有，；当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入圆的方程可得：，；综合可得：为定值，此定值为考点：直线与圆锥曲线的综合问题【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的求法、定值的确定与计算、直线与椭圆的位置关系的综合应用，此类问题的解答中，把直线的方程代入圆锥曲线的方程，得到一元二次方程，利用判别式、根据系数的关系、韦达定理的合理运用是解答的关键，着重考查了分
21、类讨论思想和分析问题和解答问题的能力，综合性强、运算量大，属于中档试题22.设，是函数的图象上任意两点，若为，的中点，且的横坐标为（1）求；（2）若，求；（3）已知数列的通项公式（，），数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求的取值范围【答案】（1）2；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）根据中点坐标公式可知，所以，整理即可求得的值；（2）由第（1）问可知当时，为定值，观察可知共项，根据倒序相加法可知，和均为定值2，共个2，所以和为，即得到的值；（3）由可知，为等差数列乘等比数列，所以求数列的前n项和采用错位相减法，然后代入整理得到恒成立，所以只需，因此根据数列的单调性求出的最大值即可本题以函数为背景，旨在考查数列的相关知识，考查倒序相加求和，错位相减求和，同时还考查不等式恒成立问题综合性较强，考查学生对知识总体的把握能力试题解析：（1）由已知点M为线段AB中点， 则：（2）由（1），当时，有故（3）由已知：不等式即也即，即恒成立故只需令当时，当时，当时，故；故，解得：考点：（1）中点坐标公式；（2）倒序相加求和；（3）错位相减求和；（4）不等式恒成立