1、福建省福清西山学校高中部2020-2021学年高二数学上学期期中试题第I卷（选择题）一、单选题1经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()Am1 Bm1 C1m1Dm1或m12与直线垂直于点的直线的一般方程是 （ ）ABCD3椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率是（ ）ABCD4若圆与圆的公共弦长为，则圆的半径为（ ）ABCD5已知过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点为其右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）ABCD6已知双曲线的左焦点为，圆的圆心在轴正半轴，半径为，若圆与双曲线的两条渐近线相切且直线与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）ABC
2、D7已知双曲线的右焦点为，点在的一条渐近线上，为坐标原点，若是等边三角形，则的面积为（ ）ABCD8阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为，则椭圆的面积公式为.若椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的的标准方程为（ ）A或B或C或D或二、多选题9下列说法正确的是（ ）A方程表示一条直线B到x轴的距离为2的点的轨迹方程为C方程表示四个点D是的必要不充分条件10在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则（ ）A的方程为B的离心率为C的渐近线与圆相切D满足的直线仅有1条11已
3、知点是直线上一定点，点，是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（ ）ABCD12已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有（ ）A渐近线方程为B渐近线方程为CD第II卷（非选择题）三、填空题13已知等腰三角形的底边所在直线过点，两腰所在的直线为与，则底边所在的直线方程是_.14已知圆，点，若在直线上（为坐标原点），存在异于的定点，使得对于圆上的任意一点，都有为同一常数.则点的坐标是_.15如图，F1、F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是_16
4、已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点为双曲线上一点，则双曲线的渐近线方程为_；若双曲线的实轴长为4，则的面积为_.四、解答题17已知直线的方程为.（1）求过点，且与直线垂直的直线方程；（2）求过与的交点，且倾斜角是直线的一半的直线的方程.18已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上（1）求圆的方程；（2）若圆与圆:相交于、两点，求两圆的公共弦的长.19已知椭圆的离心率为，短轴长为（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.20已知双曲线：（，）的离心率为，虚轴长为4.（1）求双曲线的标准方程；（2）直线：与双曲线相交于，两点，为坐标原点
5、，的面积是，求直线的方程.21已知二次曲线的方程：（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；（2）对于点，是否存在曲线交直线于、两点，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）已知与直线有公共点，求其中实轴最长的双曲线方程22已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线交椭圆于、两点，线段的中点为，直线是线段的垂直平分线，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标福清西山学校高中部2020-2021学年11月份期中高二数学参考答案1C2A3A4D5D6C7D8A9CD10AC11AD12BC13或141516 【详解】双曲线的离心率为 ，所以，所
6、以双曲线的渐近线方程为： ，由题意知：，所以，设点在右支上，则，在中，由余弦定理得： ，即，将两边同时平方得：，由得：，所以，所以的面积为，故答案为：；17（1）；（2）.解：由题意设直线为，则，得，所以直线方程为，（2）由，得，所以，设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，因为，所以，即，解得或，因为，所以，所以，所以，所以直线的方程为，即18（1）；（2）.【详解】（1）经过点与点的直线的方程为：，即，由题意可得，圆心在直线上，联立，解得圆心坐标为，故圆的半径为，则圆的方程为.（2）圆的方程为，即，圆:，两式作差可得两圆公共弦所在的直线方程为：，圆的圆心到直线的距离，两圆的公共弦的长为19(1
7、) (2) 解析：（1），2b=4，所以a=4，b=2，c=，椭圆标准方程为（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，则，分别代入椭圆的方程，两式相减得，所以，所以，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，即20（1）；（2）或解：（1）由题可得 ，解得，故双曲线的标准方程为；（2）由得，由得 ，设， ，则 ， O点到直线l的距离 ， ， 或 或 故所求直线方程为：或21（1）k4时，方程表示椭圆，4k9时，方程表示双曲线（2）k=4（3）双曲线方程为详解：（1）当且仅当即 k4时，方程表示椭圆； 当且仅当（9k）（4k）0，即4k9时，方程表示双曲线 （2）联立得：（132k）x2+2（9k）x+（
8、9k）（k3）=0有两个实根=4（9k）2（k4）（k6）0k4或6k9设：A（x1，y1），B（x2，y2），由，得到，得到 k=4，所以k不存在（3）4k9时，方程表示双曲线由与直线有公共点得0，可得6k9双曲线实轴a2=9k3，所以最长时k=6，此时双曲线方程为22（1）；（2）直线过定点，详见解析.【详解】（1）抛物线的焦点为，则.椭圆的离心率，则.故椭圆的标准方程为.（2）方法一：显然点在椭圆内部，故，且直线的斜率不为.当直线的斜率存在且不为时，易知，设直线的方程为，代入椭圆方程并化简得.设，则，解得.因为直线是线段的垂直平分线，故直线，即.令，此时，于是直线过定点.当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点.综上所述，直线过定点.方法二：显然点在椭圆内部，故，且直线的斜率不为.当直线的斜率存在且不为时，设，则有，两式相减得.由线段的中点为，则，故直线的斜率.因为直线是线段的垂直平分线，故直线，即.令，此时，于是直线过定点.当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点.综上所述，直线过定点.