1、第12讲空间直线、平面的位置关系 考情分析在选择、填空题中，空间线面位置关系的考查，主要以线线、线面位置关系的判断、异面直线所成的角、点到平面距离的计算为主，难度中等偏下，近年，对点到平面距离的计算的考查有所增多，难度有所提升热点题型分析热点1空间线面位置关系的判断1.空间中直线、平面之间的位置关系空间线面位置关系2.线面平行的判定及其性质定理线面平行判定定理：a，b，aba；线面平行性质定理：a，a，bab；面面平行判定定理：a，b，a，b，abP；面面平行性质及线面平行定义：a，a；面面平行性质定理：，a，bab.3.线面垂直的判定及其性质定理线面垂直判定定理：a，b，abP，la，lbl
2、；线面垂直性质：a，lla；面面垂直判定定理：a，a；面面垂直性质定理：，l，a，ala；线面垂直性质定理：a，bab.1.已知直线m，l，平面，且m，l，给出下列命题：若，则ml；若，则ml；若ml，则；若ml，则.其中正确的命题是()A. B C D答案A解析对于，若，m，则m，又l，所以ml，故正确，排除B；对于，若ml，m，则l，又l，所以.故正确故选A.2.(2019华南师大附中高三一模)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是线段BC上的动点，F是线段CD1上的动点，且E，F不重合，则直线AB1与直线EF的位置关系是()A.相交且垂直 B共面C.平行 D异面且垂直答案D解析根据题意
3、作图，如图，连接A1B交AB1于M，易证AB1平面A1BCD1.在E，F运动过程中，EF平面A1BCD1，因此AB1EF.而EF恒不过点M，因此AB1与EF是异面垂直的，故选D.3.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有()AAG平面EFH BAH平面EFHC.HF平面AEF DHG平面AEF答案B解析根据折叠前、后AHHE，AHHF不变，得AH平面EFH，B正确；过A只有一条直线与平面EFH垂直，A不正确；AGEF，EFGH，AGGHG，EF
4、平面HAG，又EF平面AEF，平面HAGAEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，C不正确；由条件证不出HG平面AEF，D不正确故选B.命题真假性的判断，是立体几何位置关系题型的经典形式这种考查方式直接检验对定理的掌握程度，常出现的错误是按照给出的条件结论作图分析，不能全面考虑空间中的各种线面位置关系要解答好这类题目，可以从下面三点考虑：(1)必须牢固掌握定理的内容，条件的个数，结论是什么(2)要学会在文字、符号、图形三种语言之间熟练转换将题目中所给出的已知条件，转化为图形进行分析；同时，借助空间几何模型(如从长方体，四面体等)，观察线面位置关系，再结合有关定理进行判断如第2题利
5、用正方体中线面进行分析，有利于从多角度考查符合条件的前提下，可以有何种结论(3)当从正面入手较难时，也可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断.热点2线线、线面角和距离的计算1异面直线成角：如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角(夹角)如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作ab，其范围是：.2.线面成角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角规定：直线垂直于平面，它们所成的角是直角；直线与平面平行或在平面内，它们所成的角是零度角因此，线
6、与面所成角的范围是：.注意：线面成角是斜线与平面内直线所成的所有角中的最小角3.点面距：空间中点到面的垂线段长常利用三棱锥体积转换的方法，进行点到面距离的计算1.(2019永州模拟)三棱锥ABCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案D解析如图，连接DN，取DN的中点O，连接MO，BO，M是AD的中点，MOAN，BMO(或其补角)是异面直线BM与AN所成的角设三棱锥ABCD的所有棱长为2，则ANBMDN，则MOANNODN，则BO.在BMO中，由余弦定理得cosBMO，异面直线BM与AN所成角的余弦值为.2.(201
7、9湖北八校一联)已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的各棱长均为2，A1AD60，BAD90，平面A1ADD1平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为()A. B. C. D.答案C解析如图，斜四棱柱ABCDA1B1C1D1，延长AD，过D1作D1EAD的延长线于E，连接BE，BD，BD1，因为平面A1ADD1平面ABCD，平面A1ADD1平面ABCDAD，所以D1E平面ABCD，即BE为BD1在平面ABCD内的射影，所以D1BE为直线BD1与平面ABCD所成的角，因为D1E2sin60，BE，所以tanD1BE.故选C.3.(2019牡丹江模拟)已知三棱锥PABC的外接球O
8、，PC为球O的直径，且PC2，PAPB，AB1，那么顶点P到平面ABC的距离为_答案解析如图，PC是球O的直径，PAC和PBC都是直角，由PC2，PAPB，可得ACBCAB1.点O为PC的中点，BOAO1，故三棱锥OABC为正三棱锥，则点O到平面ABC的距离d.顶点P到平面ABC的距离为2d.选择、填空题中，考查角度问题，常常涉及各类角的基本定义和性质，而错误常出现在不能准确找出线线、线面所成的角因此，准确找出线线、线面角，并牢记它们的范围是解决此类问题的关键对于距离问题，三棱锥体积转化是一个重要方法做题时还可以根据已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求解.真题自检感悟1.(2017全国卷)
9、如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是()答案A解析A项，作如图所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QDAB.QD平面MNQQ，QD与平面MNQ相交，直线AB与平面MNQ相交B项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.C项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDMQ，ABMQ.又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ.D项，作如图所示的辅助线，则ABCD，CDNQ，ABNQ.又AB平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.故选A.2.
10、(2018全国卷)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()A.8 B6 C8 D8答案C解析在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接BC1，根据线面角的定义可知AC1B30，因为AB2，tan30，所以BC12，从而求得CC12，所以该长方体的体积为V2228.故选C.3.(2018全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A. B. C. D.答案C解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，CDAB，所以异面直线AE与CD所成的角为EAB，设正方体的棱长为2a，则
11、由E为棱CC1的中点，可得CEa，所以BEa，则tanEAB.故选C.4.(2019全国卷)设，为两个平面，则的充要条件是()A.内有无数条直线与平行B.内有两条相交直线与平行C.，平行于同一条直线D.，垂直于同一平面答案B解析若，则内有无数条直线与平行，反之则不成立；若，平行于同一条直线，则与可以平行也可以相交；若，垂直于同一个平面，则与可以平行也可以相交，故A，C，D中条件均不是的充要条件根据平面与平面平行的判定定理知，若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则两平面平行，反之也成立因此B中条件是的充要条件故选B.5(2019全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，
12、平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A.BMEN，且直线BM，EN是相交直线B.BMEN，且直线BM，EN是相交直线C.BMEN，且直线BM，EN是异面直线D.BMEN，且直线BM，EN是异面直线答案B解析如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB.ECD是正三角形，EFCD.平面ECD平面ABCD，EF平面ABCD.EFFN.不妨设AB2，则FN1，EF，EN2.EMMD，DGGF，MGEF且MGEF，MG平面ABCD，MGBG.MGEF，BG ，BM.BMEN.连接BD，BE，点N是正方形ABCD的中心，点N在BD上，且BNDN，BM，EN是DBE的中线，
13、BM，EN必相交故选B.6.(2019北京高考)已知l，m是平面外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；m；l.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_.答案若m且l，则lm成立(或若lm，l，则m)解析已知l，m是平面外的两条不同直线，由lm与m，不能推出l，因为l可以与平行，也可以相交不垂直；由lm与l能推出m；由m与l可以推出lm.故正确的命题是或.7.(2019全国卷)已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为_答案解析如图，过点P作PO平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离再过O
14、作OEAC于E，OFBC于F，连接PC，PE，PF，则PEAC，PFBC.又PEPF，所以OEOF，所以CO为ACB的平分线，即ACO45.在RtPEC中，PC2，PE，所以CE1，所以OE1，所以PO .专题作业一、选择题1.设l表示直线，表示平面给出四个结论：如果l，则内有无数条直线与l平行；如果l，则内任意的直线与l平行；如果，则内任意的直线与平行；如果，对于内的一条确定的直线a，在内仅有唯一的直线与a平行以上四个结论中，正确结论的个数为()A.0 B1 C2 D3答案C解析若l，则平面内的直线与l平行或异面，故正确，错误；再由面面平行的性质知正确；对于，在内有无数条直线与a平行，错误故
15、选C.2.(2019荆州模拟)对于空间中的两条直线m，n和一个平面，下列命题中的真命题是()A.若m，n，则mn B.若m，n，则mnC.若m，n，则mn D.若m，n，则mn答案D解析对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确.3(2019青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为()A. B.C. D.答案D解析如图，连接BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异
16、面直线A1B与AD1所成的角连接A1C1，由AB1，AA12，易得A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.故选D.4.(2019宿迁模拟)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，则点C到平面BDD1B1的距离为()A.1 B. C2 D2答案B解析如图，连接AC，DB交于点O，在正方体ABCDA1B1C1D1中，DBAC，BB1AC，BB1DBB，AC平面BDD1B1.点C到平面BDD1B1的距离为CO，又AB2，COAC.故选B.5.在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB4，点D在棱BB1上，若BD3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为
17、()A. B. C. D.答案D解析如右图，取A1C1和AC的中点E，F，连接EF，取EF上一点P使得PFBD3，连接DP，BF，AP.因为ABCA1B1C1为正三棱柱，所以AA1面ABC，ABC是等边三角形所以AA1BF，BFAC，因此BF面AA1C1C.知EFAA1又EFAA1，所以BDPF，又BDPF，所以四边形BDPF是平行四边形，故DPBF.所以DP面AA1C1C，即AP是AD在面AA1C1C内的射影，所以DAP是AD与面AA1C1C所成角又因为AB4，所以DPBF2，AD5，则AP，所以tanDAP.故选D.6.(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点
18、，则()A.A1EDC1 BA1EBDC.A1EBC1 DA1EAC答案C解析如图，连接AE，A1E，D1E，B1C，BC1，A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，B，D错误；A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故C正确；(证明：由条件易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错误故选C.7.在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则()A.MNC1D1 BMNBC1
19、C.MN平面ACD1 DMN平面ACC1答案D解析对于选项A，因为M，N分别是BC1，CD1的中点，所以点N平面CDD1C1，点M平面CDD1C1，所以直线MN是平面CDD1C1的斜线，又因为直线C1D1在平面CDD1C1内，故直线MN与直线C1D1不可能平行，故选项A错误；对于选项B，正方体中易知NBNC1，因为点M是BC1的中点，所以直线MN 与直线BC1不垂直，故选项B错误；对于选项C，假设MN平面ACD1，可得MNCD1.因为N是CD1的中点，所以MCMD1，这与MCMD1矛盾故假设不成立所以选项C错误；对于选项D，分别取B1C1，C1D1的中点P，Q，连接PM，QN，PQ.因为点M是
20、BC1的中点，所以PMCC1且PMCC1.同理QNCC1且QNCC1.所以PMQN且PMQN，所以四边形PQNM为平行四边形，所以PQMN.在正方体中，CC1PQ，PQAC，因为ACCC1C，AC平面ACC1，CC1平面ACC1，所以PQ平面ACC1.因为PQMN，所以MN平面ACC1.故选D.8.(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案C解析将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD.由题意知ABC120，AB2，
21、BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos603，所以BD，所以B1D1.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角，所以cos.故选C.9.(2019永州模拟)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则点A1到平面AB1D1的距离是()A. B. C. D.答案A解析在AB1D1中，AB1AD1，B1D1，AB1D1的边B1D1上的高为.SAB1D1.设点A1到平面AB1D1的距离为h，则VA1AB1D1h.又VA1AB1D1VAA1B1D1SA1B1D1AA1112，.解得h.故选A.10如图，正方体ABCD
22、A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上点Q是棱CD的中点，动点P在棱AD上，若EF1，DPx，AEy(x，y大于零)，则三棱锥PEFQ的体积()A.与x，y都有关 B与x，y都无关C.与x有关，与y无关 D与y有关，与x无关答案C解析三棱锥PEFQ的体积与点P到平面EFQ的距离和EFQ的面积有关，因为平面EFQ与平面CDA1B1是同一个平面，所以点P到平面EFQ的距离是P到平面CDA1B1的距离，且该距离就是P到线段DA1的距离，此距离只与x有关因为EF1，点Q到EF的距离为线段B1C的长度，为定值综上可知，三棱锥PEFQ的体积只与x有关.11. (2019石家庄一模)如图，四棱
23、锥PABCD的底面是边长为2的正方形，PA平面ABCD，且PA4，M是PB上的一个动点(不与P，B重合)，过点M作平面平面PAD，截棱锥所得图形的面积为y，若平面与平面PAD之间的距离为x，则函数yf(x)的图象是()答案C解析过点M作MNAB，交AB于点N，则MN平面ABCD，过点N作NQAD，交CD于点Q，过点Q作QHPD，交PC于点H，连接MH，则平面MNQH是所作的平面，由题意得，解得MN42x，由.即，解得QH(2x)，过点H作HENQ，在RtHEQ中，EQ2x，NE2(2x)x，MHx.yf(x)x24(0x2)函数yf(x)的图象如图故选C.二、填空题12如图所示，AB是O的直径
24、，PA垂直于O所在的平面，C是圆上一点，且ABC30，PAAB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为_答案2解析因为PA平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以PCA即为PC与平面ABC所成的角在RtPAC中，ACABPA，所以tanPCA2.13如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知BCA90，BAC60，AC4，E为AA1的中点，点F为BE的中点，点H在线段CA1上，且A1H3HC，则线段FH的长为_答案解析由题意，知AB8，过点F作FDAB交AA1于点D，连接DH，则D为AE中点，FDAB4，又3，所以DHAC，FDH60，DHAC3，由余弦定理，得FH.14.如图
25、，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长为_答案解析设B1Fx，因为AB1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF，由已知可得A1B1，设RtAA1B1斜边AB1上的高为h，则DEh.又2h，所以h，DE.在RtDB1E中，B1E.由面积相等，得x，解得x.即线段B1F的长为.15如图，圆柱O1O2的底面圆半径为1，AB是一条母线，BD是O1的直径，C是上底面圆周上一点，CBD30，若A，C两点间的距离为，则圆柱O1O2的高为_，异面直线AC与BD所成角的余
26、弦值为_答案2解析连接CD，则BCD90，因为圆柱O1O2的底面圆半径为1，所以BD2.因为CBD30，所以CD1，BC，易知ABBC，所以AC，所以AB2，故圆柱O1O2的高为2.连接AO2并延长，设AO2的延长线与下底面圆周交于点E，连接CE，则AE2，CAE即为异面直线AC与BD所成的角又CE，所以cosCAE.16.(2019惠州模拟)已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB2，SASBSC2，则三棱锥SABC的外接球的球心到平面ABC的距离是_答案解析三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SASBSC2，S在底面ABC内的射影为AB的中点，设AB的中点为H，连接SH，CH，SH平面ABC，SH上任意一点到A，B，C的距离相等，易知SH，CH1，在RtSHC中，HSC30.在平面SHC内作SC的垂直平分线MO，交SH于点O，交SC于点M，则O为三棱锥SABC的外接球的球心SC2，SM1，又OSM30，SO，OH，球心O到平面ABC的距离为.
