1、一、选择题1已知双曲线1(a0，b0)的焦点到渐近线的距离为，且离心率为2，则该双曲线的实轴的长为()A1BC2D2解析：选C.由题意知双曲线的焦点(c，0)到渐近线bxay0的距离为b，即c2a23，又e2，所以a1，该双曲线的实轴的长为2a2.2若抛物线y24x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则OFP的面积为()AB1CD2解析：选B.设P(x0，y0)，依题意可得|PF|x012，解得x01，故y41，解得y02，不妨取P(1，2)，则OFP的面积为121.3(2019高考全国卷)双曲线C：1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点若|PO|PF|，则PFO的面积为
2、()ABC2D3解析：选A.不妨设点P在第一象限，根据题意可知c26，所以|OF|.又tanPOF，所以等腰三角形POF的高h，所以SPFO.4(2019昆明模拟)已知F1，F2为椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BF1与C的另一个交点为A，若BAF2为等腰三角形，则()ABCD3解析：选A.如图，不妨设点B在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|2a，由题意知|AB|AF2|，所以|BF1|BF2|a，|AF1|，|AF2|.所以.故选A.5(2019湖南湘东六校联考)已知椭圆：1(ab0)的长轴长是短轴长的2倍，过右焦点F且
3、斜率为k(k0)的直线与相交于A，B两点若3，则k()A1B2CD解析：选D.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为3，所以y13y2.因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以a2b，设bt，则a2t，故ct，所以1.设直线AB的方程为xsyt，代入上述椭圆方程，得(s24)y22styt20，所以y1y2，y1y2，即2y2，3y，得s2，k，故选D.6(多选)设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点若ABD90，且ABF的面积为9，则()AABF是等边三角形B|BF|3C点F到准线的距离为3D抛物线C的方程为y26x解
4、析：选ACD.因为以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点，ABD90，由抛物线的定义可得|AB|AF|BF|，所以ABF是等边三角形，所以FBD30.因为ABF的面积为|BF|29，所以|BF|6.又点F到准线的距离为|BF|sin 303p，则该抛物线的方程为y26x.二、填空题7已知P(1，)是双曲线C：1(a0，b0)渐近线上的点，则双曲线C的离心率是_解析：双曲线C的一条渐近线的方程为yx，P(1，)是双曲线C渐近线上的点，则，所以离心率e2.答案：28(2019高考全国卷)设F1，F2为椭圆C：1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限若MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为_解析
5、：不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c4.因为MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84.设M(x，y)，则得所以M的坐标为(3，)答案：(3，)9(2019湖南师大附中月考改编)抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_，抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为_解析：抛物线的焦点坐标为，准线方程为y，准线方程与双曲线方程联立可得1，解得x .因为ABF为等边三角形，所以|AB|p，即2p，解得p6.则抛物线焦点坐标为(0，3)，双曲线渐近线方程为yx，则抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为.答
6、案：6三、解答题10(2019高考天津卷)设椭圆1(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上，若|ON|OF|(O为原点)，且OPMN，求直线PB的斜率解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4，又a2b2c2，可得a，b2，c1.所以，椭圆的方程为1.(2)由题意，设P(xp，yp)(xp0)，M(xM，0)设直线PB的斜率为k(k0)，又B(0，2)，则直线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立整理得(45k2)x220kx0，可得xp，代入ykx2得
7、yp，进而直线OP的斜率为.在ykx2中，令y0，得xM.由题意得N(0，1)，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得1，化简得k2，从而k.所以，直线PB的斜率为或.11已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOMkON，求原点O到直线l的距离的取值范围解：(1)由题知e，2b2，又a2b2c2，所以b1，a2，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立得(4k21)x28kmx4m240，依题意，(8km)24(4k21)(4m24)0，化简得m24k21，
8、x1x2，x1x2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2，若kOMkON，则，即4y1y25x1x2，所以4k2x1x24km(x1x2)4m25x1x2，所以(4k25)4km()4m20，即(4k25)(m21)8k2m2m2(4k21)0，化简得m2k2，由得0m2，k2，因为原点O到直线l的距离d，所以d21，又k2，所以0d2，所以原点O到直线l的距离的取值范围是.12(2019成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1MF2N，直线F1M的斜率为2，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求3k12k2的值解：(1)由题意，得2b4，.又a2c2b2，所以a3，b2，c1.所以椭圆C的标准方程为1.(2)由(1)可知A(3，0)，B(3，0)，F1(1，0)据题意，直线F1M的方程为y2(x1)记直线F1M与椭圆C的另一个交点为M.设M(x1，y1)(y10)，M(x2，y2)因为F1MF2N，所以根据对称性，得N(x2，y2)联立，消去y，得14x227x90.由题意知x1x2，所以x1，x2，k1，k2，所以3k12k2320，即3k12k2的值为0.