1、课时规范练30等比数列基础巩固组1.(2020河南开封定位考试)等比数列an的前n项和为Sn,若a3+4S2=0,则公比q=()A.-1B.1C.-2D.22.(2020东北师大附中、重庆一中、吉大附中、长春十一中等高三联合考试)等比数列an各项均为正数,若a1=1,an+2+2an+1=8an,则an的前6项和为()A.1 365B.63C.6332D.136510243.(多选)设等比数列an的前n项和为Sn,且满足a6=8a3,则()A.数列an的公比为2B.数列an的公比为8C.S6S3=8D.S6S3=94.(2020全国2,理6)数列an中,a1=2,am+n=aman.若ak+1
2、+ak+2+ak+10=215-25,则k=()A.2B.3C.4D.55.(2020福建龙岩高三教学质量检查)由实数构成的等比数列an的前n项和为Sn,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则S6=()A.62B.124C.126D.1546.(多选)设等比数列an的公比为q,则下列结论正确的是()A.数列anan+1是公比为q2的等比数列B.数列an+an+1是公比为q的等比数列C.数列an-an+1是公比为q的等比数列D.数列1an是公比为1q的等比数列7.(2020浙大附中模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且an+1=pSn+q(nN*,p-1),则“a1=q”是“an为等比数
3、列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.设等比数列an的前n项和为Sn,若S6S3=3,则S9S6=.9.已知an是递减的等比数列,且a2=2,a1+a3=5,则an的通项公式为;a1a2+a2a3+anan+1(nN*)=.10.(2018全国3,理17)等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和,若Sm=63,求m.11.在数列an的前n项和Sn=12n2+52n;函数f(x)=sin x-23cos 22x+3的正零点从小到大构成数列xn,an=xn+83;an2-an-an-12-an-1=
4、0(n2,nN*),an0,且a1=b2这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的M存在,求出M的最小值;若M不存在,说明理由.问题:数列bn是首项为1的等比数列,bn0,b2+b3=12,且,设数列1anlog3bn+1的前n项和为Tn,是否存在MN*,使得对任意的nN*,Tn1,a7a81,a7-1a8-10.则下列结论正确的是()A.0q1C.Sn的最大值为S9D.Tn的最大值为T713.(2020辽宁大连第二十四中学模拟)九章算术中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何?”题意是
5、:“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进一尺,以后每天加倍;小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.”如果墙足够厚,Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和,则Sn=尺.14.设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=2Sn-Sn+1+3,记bn=log2a2n-1+log2a2n,则bn=.创新应用组15.(多选)(2020山东青岛高三模拟)在悠久灿烂的中国古代文化中,数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.张丘建算经是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一,大约创作于公元五世纪.书中有如下问题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈,问日益几何?”.其大意为:
6、“有一女子擅长织布,织布的速度一天比一天快,从第二天起,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织5尺,一个月共织了九匹三丈,问从第二天起,每天比前一天多织多少尺布?”.已知1匹=4丈,1丈=10尺,若这一个月有30天,记该女子这一个月中的第n天所织布的尺数为an,bn=2an,对于数列an,bn,下列选项中正确的为()A.b10=8b5B.bn是等比数列C.a1b30=105D.a3+a5+a7a2+a4+a6=20919316.(2020浙江十校联考)已知数列an满足a1=35,an+1=3an2an+1,nN*.(1)求证:数列1an-1为等比数列.(2)是否存在互不相等的正整数m,s,t,
7、使m,s,t成等差数列,且am-1,as-1,at-1成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的m,s,t;如果不存在,请说明理由.参考答案课时规范练30等比数列1.C因为a3+4S2=0,所以a1q2+4a1+4a1q=0.因为a10,所以q2+4q+4=0,所以q=-2.故选C.2.B等比数列an各项均为正数,且an+2+2an+1=8an,anq2+2anq=8an,即q2+2q=8,可得q=2或q=-4(舍去),S6=a1(1-q6)1-q=63.故选B.3.AD因为等比数列an的前n项和为Sn,且满足a6=8a3,所以a6a3=q3=8,解得q=2,所以S6S3=1-q61-q3=1+
8、q3=9.故选AD.4.B设该女子第一天织布x尺,则x(1-25)1-2=5,得x=531,所以前n天所织布的总尺数为531(2n-1).由531(2n-1)30,得2n187,则n的最小值为8.故选B.5.C由题意知2a3=a2-4+a4,设an的公比为q,则2a1q2=a1q-4+a1q3,a1=2,解得q=2,则S6=2(1-26)1-2=126.故选C.6.AD对于A,由anan+1an-1an=q2(n2)知,数列anan+1是公比为q2的等比数列,故A正确;对于B,当q=-1时,数列an+an+1的项中有0,不是等比数列,故B错误;对于C,当q=1时,数列an-an+1的项中有0,
9、不是等比数列,故C错误;对于D,1an+11an=anan+1=1q,所以数列1an是公比为1q的等比数列,故D正确.故选AD.7.C因为an+1=pSn+q,所以当n2时,an=pSn-1+q,两式相减得an+1-an=pan,即当n2时,an+1an=1+p.当n=1时,a2=pa1+q.所以当a1=q时,a2a1=1+p,满足上式,故数列an为等比数列,所以满足充分性;当an为等比数列时,有a2=pa1+q=(1+p)a1,解得a1=q,所以满足必要性.故选C.8.73(方法1)由等比数列的性质可知S3,S6-S3,S9-S6仍成等比数列,由已知得S6=3S3,S6-S3S3=S9-S6
10、S6-S3,即S9-S6=4S3,S9=7S3,S9S6=73.(方法2)因为an为等比数列,由S6S3=3,设S6=3k,S3=k(k0),所以S3,S6-S3,S9-S6为等比数列,即k,2k,S9-S6成等比数列,所以S9-S6=4k,解得S9=7k,所以S9S6=7k3k=73.9.an=412n-13231-14n由a2=2,a1+a3=5,an是递减的等比数列,得a1=4,a3=1,所以q=12,an=412n-1,则a1a2+a2a3+anan+1是首项为8,公比为14的等比数列的前n项和.故a1a2+a2a3+anan+1=8+2+12+814n-1=81-(14)n1-14=
11、3231-14n.10.解(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-2)n3.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.11.解设数列bn的公比为q(q0),因为数列bn是首项为1的等比数列,且bn0,b2+b3=12,所以q2+q-12=0,解得q=3(q=-4不合题意,舍去),所以bn=3n-1.若选,由Sn=12n2+52n,可得Sn-1
12、=12(n-1)2+52(n-1)(n2),两式相减可得an=n+2(n2),又因为a1=S1=3也符合上式,所以an=n+2,所以1anlog3bn+1=1(n+2)n=121n-1n+2,则Tn=121-13+12-14+13-15+1n-1n+2=34-121n+1+1n+2.因为1n+1+1n+20,所以Tn0,所以an-an-1-1=0,即an-an-1=1,所以数列an是公差为1的等差数列.又因为a1=b2,则a1=3,所以an=n+2.同上,则存在M满足题意,并且M的最小值为1.12.ADa11,a7a81,可知q0,又a7-1a8-11,a81,0q1,故A正确;a7a9=a8
13、21,0q1,a8105,故C错误;a4=a1+3d=5+31629=19329,a5=a1+4d=5+41629=20929,a3+a5+a7a2+a4+a6=3a53a4=a5a4=209193,故D正确.故选BD.16.(1)证明因为an+1=3an2an+1,所以1an+1=13an+23,所以1an+1-1=131an-1.因为a1=35,则1a1-1=23.所以数列1an-1是首项为23,公比为13的等比数列.(2)解不存在.理由如下,由(1)知,1an-1=2313n-1=23n,所以an=3n3n+2.假设存在互不相等的正整数m,s,t满足条件,则有m+t=2s,(as-1)2=(am-1)(at-1).由an=3n3n+2与(as-1)2=(am-1)(at-1),得3s3s+2-12=3m3m+2-13t3t+2-1.即3m+t+23m+23t=32s+43s.因为m+t=2s,所以3m+3t=23s.因为3m+3t23m+t=23s,当且仅当m=t时等号成立,这与m,s,t互不相等矛盾.所以不存在互不相等的正整数m,s,t满足条件.