1、空间中的垂直关系(1)直线与平面垂直自主学习 学习目标1掌握直线与平面垂直的定义2掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理及性质定理，并能灵活应用定理证明有关问题 自学导引1如果直线l与平面内的_，我们就说直线l与平面互相垂直，记作_，直线l叫做_，平面叫做_，它们的唯一公共点叫做_垂线上任一点到垂足之间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到这个平面的距离2直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内的两条_直线垂直，则这条直线与这个平面_3如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么_4直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_5垂直于同一条直线的两个平
2、面_对点讲练知识点一线面垂直的判定例1如图所示，直角ABC所在平面外一点S，且SASBSC，点D为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD面SAC.点评(1)线面垂直的判定定理是判定线面垂直的最常用思路(2)线面垂直的定义，给出了线面垂直的必备条件，即直线垂直于平面内的所有直线，是直线垂直平面的必要条件作为直线与平面垂直的判定并不实用变式训练1如图所示，已知空间四边形ABCD的边BCAC，ADBD，引BECD，E为垂足，作AHBE于点H.求证：AH平面BCD.知识点二证明线线垂直例2如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直
3、于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AESB，AGSD.点评本题的证明过程很具有代表性，即证明线线垂直，可先证线面垂直，而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直，在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，由于线线垂直是相互的，应充分考虑线和线各自所在平面的特征，以顺利实现证明需要的转化变式训练2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点求证：CFAE.知识点三直线与平面垂直的性质定理的应用例3已知，如图所示，直线a，直线b，且ABa，ABb，平面c.求证：ABc.点评判断线线、线面的平行或垂直关系，一般依赖
4、于判定定理和性质定理，有时候也可以放到特征几何体(如正方体，长方体，正棱柱等)中，判断它们的位置关系变式训练3如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，EFAC，EFA1D，求证：EFBD1.1直线与平面垂直的判定方法：(1)定义，(2)判定定理由直线和平面垂直的判定定理知，把线线垂直关系转化为线面垂直关系在判定定理中，注意“两条”和“相交直线”的重要性判定线面垂直关键在平面内找出两条相交直线和已知直线垂直(3)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面这个命题也可作为线面垂直的一个判定方法证明时常用的转化关系：线线垂直线面垂直2直线与平面垂直的性质定理是平行关系与
5、垂直关系的完美结合，利用垂直关系可判断平行，反过来由平行关系也可判定垂直，即两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面. 课时作业一、选择题1下列命题中正确的个数是()如果直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；如果直线l与平面内的一条直线垂直，则l；如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线；如果直线l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直A0B1C2D32空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A垂直且相交 B相交但不一定垂直C垂直但不相交 D不垂直也不相交3如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体
6、中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A12 B24 C36 D484如果直线l与平面不垂直，那么在平面内()A不存在与l垂直的直线B存在一条与l垂直的直线C存在无数条与l垂直的直线D任意一条直线都与l垂直5若m、n表示直线，表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为()n； mn；mn; n.A1 B2 C3 D4题号12345答案二、填空题6点P为ABC所在面外一点，若PAPBPC，且PO面ABC，则O为ABC的_心7已知P是ABC所在平面外的一点，点P与AB、AC、BC的距离相等，且点P在ABC上的射影O在ABC内，则O一定是ABC的_心8在直三棱柱A
7、BCA1B1C1中，BCCC1，当底面A1B1C1满足条件_时，有AB1BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)三、解答题9.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PAAD.(1)求证：CDPD；(2)求证：EF平面PCD.10.如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，E是VC的中点，D是VA上的点，若DE平面VBC，试确定D点的位置【答案解析】自学导引1任意一条直线都垂直l平面的垂线直线l的垂面垂足2相交垂直3另一条也垂直于这个平面4平行5平行对点讲练例1证
8、明(1)SASC，D为AC的中点，SDAC，在RtABC中，则ADDCBD.又SASB，ADSBDS.SDBD.又ACBDD，SD面ABC.(2)BABC，D为AC中点，BDAC.又由(1)知SDBD.SDACD，BD平面SAC.变式训练1证明取AB中点F，连接CF、DF，ACBC，CFAB.又ADBD，DFAB，又CFDFF，AB平面CDF，ABCD.又BECD，且ABBEB，直线CD平面ABE.CDAH.而AHBE，CDBEE，AH平面BCD.例2证明因为SA平面ABCD，所以SABC.又BCAB，SAABA，所以BC平面SAB，又AE平面SAB，所以BCAE.因为SC平面AEFG，所以S
9、CAE.又BCSCC，所以AE平面SBC，所以AESB.同理可证AGSD.变式训练2证明在平面B1BCC1中，E、F分别是B1C1、B1B的中点，BB1ECBF，B1BEBCF，BCFEBC90，CFBE，又AB平面B1BCC1，CF平面B1BCC1，ABCF，ABBEB，CF平面EAB.CFAE.例3证明过点B引直线aa，a与b确定的平面设为，因为aa，ABa，所以ABa，又ABb，abB，所以AB.因为b，c，所以bc.因为a，c，所以ac.又aa，所以ac.由可得c，又AB，所以ABc.变式训练3证明连接AB1，B1C，B1D1，BD.B1B平面ABCD，AC平面ABCD，ACB1B.又
10、ACBD，BDBB1B，AC平面BDD1B1.又BD1平面BDD1B1ACBD1，同理可证B1CBD1.B1CACC，BD1平面AB1C.EFA1D，A1DB1C，EFB1C.又EFAC且ACB1CC，EF平面AB1C，又BD1平面AB1C，EFBD1.课时作业1B2.C3C正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对”，12条棱长共对应着24个“正交线面对”；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对”，12条面对角线对应着12个“正交线面对”，共有36个4C5.C6外7内解析如图所示，过点P作PDAB，PEAC，PFBC，分别交AB、AC、BC于点D、E、F.O是点P在平面ABC内的射影，连接O
11、D、OE、OF.因为点P到AB、AC、BC的距离相等，且PO平面ABC，所以PDPEPF，POPOPO，PODPOEPOF90，所以ODOEOF.因为POAB，PDAB且PDPOP.所以AB平面POD，所以ABOD.同理可以证得OFBC，OEAC.又因为ODOEOF，所以点O到三角形三边的距离相等，故O为三角形ABC的内心8A1C1B190解析如图所示，连接B1C，由BCCC1，可得BC1B1C，因此，要证AB1BC1，则只要证明BC1平面AB1C，即只要证ACBC1即可，由直三棱柱可知，只要证ACBC即可因为A1C1AC，B1C1BC，故只要证A1C1B1C1即可(或者能推出A1C1B1C1
12、的条件，如A1C1B190等)9证明(1)PA底面ABCD，CDPA.又矩形ABCD中，CDAD，且ADPAA，CD平面PAD，CDPD.(2)取PD的中点G，连接AG，FG.又G、F分别是PD，PC的中点，GFCD，又AECD，GFAE，四边形AEFG是平行四边形，AGEF.PAAD，G是PD的中点，AGPD，EFPD，CD平面PAD，AG平面PAD.CDAG.EFCD.PDCDD，EF平面PCD.10解AB是底面圆的直径，C是圆上一动点，ACBC.又VC底面ABC，AC平面ABC，VCAC.又BCVCC，AC平面VBC.又DE平面VBC，直线DEAC，又E在平面VAC内，E为VC的中点，D点为VA的中点