1、32全集与补集学习目标1.了解全集的意义和它的记法理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集(重、难点)；2.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题(重、难点)知识点一全集(1)定义：在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集(2)记法：全集通常记作U【预习评价】(正确的打“”，错误的打“”)(1)全集一定是实数集R.()(2)全集一定包含所有元素()提示(1)全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.(2)全集并不是一个
2、包罗万象的集合，而仅仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，问题不同，全集也不尽相同答案(1)(2)知识点二补集文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作UA符号语言UAx|xU，且xA图形语言【预习评价】1若BUA，则()AAB BBA CAU DAB解析由补集的定义知AU答案C2已知UR，集合Ax|x2，则UA()Ax|2x2 Bx|x2或x2Cx|2x2 Dx|x2或x2解析Ax|x2，则UAx|2x2，故选C.答案C知识点三补集的性质(1)A(UA)U；(2)A(UA)；(3)UU，UU，U(UA)A；(4)(UA)(UB)U(AB
3、)；(5)(UA)(UB)U(AB)【预习评价】1设集合A1,2，那么相对于集合M0,1,2,3和N1,2,3，MA和NA相等吗？由此说说你对全集与补集的认识提示MA0,3，NA3，MANA由此可见补集是一个相对的概念，研究补集必须在全集的条件下研究，而全集因研究问题不同而异，同一个集合相对于不同的全集，其补集也就不同2根据补集的性质U(UA)A如何求集合A?提示可以先求UA，然后再求UA的补集即集合A题型一简单的补集运算【例1】(1)设全集U1,2,3,4,5，集合A1,2，则UA等于()A1,2 B3,4,5C1,2,3,4,5 D(2)若全集UR，集合Ax|x1，则UA_解析(1)U1,
4、2,3,4,5，A1,2，UA3,4,5(2)由补集的定义，结合数轴可得UAx|x1答案(1)B(2)x|x1规律方法(1)根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解(2)解题时要注意使用补集的几个性质：UU，UU，A(UA)U【训练1】已知全集Ux|x3，集合Ax|34答案x|x3，或x4题型二集合交、并、补的综合运算【例2】(1)设全集UMN1,2,3,4,5，M(UN)2,4，则N()A1,2,3 B1,3,5C1,4,5 D2,3,4(2)已知全集Ux|x4，集合Ax|2x3，Bx|3x2，求AB，(UA)B，A(UB)(1)
5、解析画出Venn图，阴影部分为M(UN)2,4，所以N1,3,5答案B(2)解利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出UA及UB，再求解则UAx|x2，或3x4，UBx|x3，或2x4所以ABx|2x2；(UA)Bx|x2，或3x4；A(UB)x|2x3规律方法1.求解与不等式有关的集合问题的方法解决与不等式有关的集合问题时，画数轴(这也是集合的图形语言的常用表示方式)可以使问题变得形象直观，要注意求解时端点的值是否能取到2求解集合混合运算问题的一般顺序解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再计算其他部分，如本例2求(UA)B时，可先求出UA，再求并集【训练2】(1)设U1,2,
6、3,4,5,6,7,8，A3,4,5，B4,7,8，求UA，UB，(UA)(UB)，(UA)(UB)(2)设全集为R，Ax|3x7，Bx|2x10，求R(AB)及(RA)B解(1)UA1,2,6,7,8，UB1,2,3,5,6，(UA)(UB)1,2,6，(UA)(UB)1,2,3,5,6,7,8(2)全集R和集合A，B在数轴上表示如下：由图知ABx|2x10，所以R(AB)x|x2或x10，所以RAx|x3或x7，所以(RA)Bx|2x3或7x10.互动探究题型三与补集相关的参数值的求解【探究1】设全集U2,3，a22a3，A|2a1|,2，UA5，求实数a的值解UA5，5U，且5Aa22a
7、35，解得a2，或a4当a2时，|2a1|35，此时A3,2，U2,3,5符合题意当a4时，|2a1|9，此时A9,2，U2,3,5，AU，故a4舍去综上知a2【探究2】设集合Ax|xm0，Bx|2x4，全集UR，且(UA)B，求实数m的取值范围解由已知Ax|xm，得UAx|xm，因为Bx|2x4，(UA)B，如图，所以m2，即m2，所以实数m的取值范围是x|m2【探究3】设全集UR，Mx|3ax2a5，Px|2x1，若M(UP)，求实数a的取值范围解UPx|x1，因为M(UP)，所以分M，M两种情况讨论(1)M时，应有3a2a5，所以a5(2)M时，如图可得：或所以a或a5，综上可知，实数a
8、的取值范围为【探究4】设全集UR，集合Ax|5x4，集合Bx|x1，集合Cx|xm0，求实数m的取值范围，使其满足下列两个条件：C(AB)，C(UA)(UB)解因为Ax|5x4，Bx|x1，所以ABx|1x4又UAx|x5或x4，UBx|6x1，所以(UA)(UB)x|6x5而Cx|x5，综上，实数m的取值范围是m|m4规律方法由集合的补集求解参数的方法(1)有限集：由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解(2)无限集：与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解课堂达标1全集U0,1,3,5,6,8，集合A1,5,8，
9、B2，则集合(UA)B()A0,2,3,6 B0,3,6 C2,1,5,8 D解析UA0,3,6，所以(UA)B0,2,3,6答案A2设全集Ux|x0，集合P1，则UP等于()Ax|0x1 Bx|x1Cx|x1 Dx|x1解析因为Ux|x0，P1，所以UPx|x0且x1x|0x1答案A3已知Ux|x0，Ax|2x6，则UA_解析如图，分别在数轴上表示两集合，则由补集的定义可知，UAx|0x2，或x6答案x|0x2，或x64已知全集UR，集合Ax|1x4，Bx|0x5，则A(UB)_解析因为UBx|x0或x5，故A(UB)x|1x4x|x0或x5x|1x0答案x|1x05已知全集U2,3，a22
10、a3，A2，|a7|，UA5，求实数a的值解法一由|a7|3，得a4或a10，当a4时，a22a35，当a10时，a22a377U，所以a4法二由A(UA)U知所以a4课堂小结1补集定义的理解(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集比如，当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想(3)从符号角度来看，若xU，AU，则xA和xUA二者必居其一求两个集合的并集与交集时，先化简集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直观观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用
11、描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示2与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形3不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集基础过关1已知全集UR，集合Ax|12x19，则UA等于()Ax|x4Bx|x0或x4Cx|x0或x4Dx|x0或x4解析因为UR，Ax|0x4，所以UAx|x0或x4答案D2 已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，集合A2,3,5,6，集合B1,3,4,6,7，则集合A3(UB)等于()A2,5 B3,6C2,5,6 D2,3,5,6,8解
12、析由题意知UB2,5,8，则A(UB)2,5，选A答案A3已知全集UZ，集合A0,1，B1,0,1,2，则图中阴影部分所表示的集合为()A1,2 B1,0C0,1 D1,2解析图中阴影部分表示的集合为(UA)B，因为A0,1，B1,0,1,2，所以(UA)B1,2答案A4已知全集U1,0,1,2,3，集合Mx|x为不大于3的自然数，则UM_解析M0,1,2,3，UM1答案15已知集合Ax|2x3，Bx|x1，则A(RB)_解析因为Bx|x1，则RBx|x1，所以A(RB)x|2x3x|x1x|1x3答案x|1x36已知全集U2,0,3a2，P2，a2a2，且UP1，求实数a的值解UP1，1U，
13、且1P,0P解得a2经检验，a2符合题意，故实数a的值为27已知全集UR，Ax|3x1|3，B，求U(AB)解由|3x1|3，则33x13，得x所以Ax|x由得x2所以B，AB，所以U(AB)能力提升8设全集是实数集R，Mx|2x2，Nx|x1，则(RM)N等于()Ax|x2 Bx|2x1Cx|x1 Dx|2x1解析由题意可知RMx|x2，故(RM)Nx|x2答案A9设全集U是实数集R，Mx|x2，Nx|1x3如图所示，则阴影部分所表示的集合为()Ax|2x3 Dx|2x2解析阴影部分所表示的集合为U(MN)(UM)(UN)x|2x2x|x3x|2x1故选A答案A10设U1,2,3,4,5,6
14、,7,8,9，(UA)B3,7，(UB)A2,8，(UA)(UB)1,5,6，则集合A_，B_解析(UA)(UB)U(AB)1,5,6，所以AB2,3,4,7,8,9，又(UA)B3,7，(UB)A2,8，所以AB4,9，所以A2,4,8,9，B3,4,7,9答案2,4,8,93,4,7,911已知集合Ax|4x2，集合Bx|xa0，若全集UR，且A(UB)，则实数a的取值范围为_解析UBx|x2答案a|a212设全集Ux|3x3，Mx|1x1UNx|0x2，求N，M(UN)，(UM)N.解将全集U，集合UN，M分别表示到数轴上，Nx|3x0或2x3，M(UN)x|0x1，UMx|3x1或1x3(UM)Nx|3x1或2x313. (选做题)已知A=x|1x3,B=x|mx1+3m.(1)当m=1时，求AB；(2)若B(RA)，求实数m的取值范围.解(1)m=1,B=x|1x4，AB=x|-1x3.当B=时，即m1+3m,得m-，满足B(RA)，当B时，要使B(RA)成立，则或解得m3.综上可知，实数m的取值范围是m|m3，或m-.
