1、25.1平面几何中的向量方法1会用向量方法解决平面几何问题2掌握和体会用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”1由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及_表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题2用向量方法解决平面几何问题的三步曲：第一步，建立平面几何与向量的联系，用_表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为_问题；第二步，通过_运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把_“翻译”成几何关系平面几何中的向量方法有：(1)证明线段相等，转化为证明向量的长度相等；求线段的长，转化为求向量的模(2
2、)证明线段、直线平行，转化为证明向量平行(3)证明线段、直线垂直，转化为证明向量垂直(4)几何中与角相关的问题，转化为向量的夹角问题(5)对于有关长方形、正方形、直角三角形等平面几何问题，通常以相互垂直的两边所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，通过向量的坐标运算解决平面几何问题【做一做】 在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点用向量法证明DEBC，DEBC.答案：1数量积2向量向量向量运算结果【做一做】 证明：如图所示，设a，b.在ABC中，ba.又，则在ADE中，(ba)，所以.所以DEBC，DEBC.1用向量处理问题时，选择平面向量基底的基本原则剖析：平面内任意不共线的两个向量就
3、可作为一组基底，因此在图形中选择不共线的两个向量即可但是在具体的解题过程中，通常不会随便取不共线的两个向量选择适当的基向量，会减少计算量选择适当的基向量的基本原则是：(1)不共线；(2)基向量的长度最好是确定的；(3)基向量的夹角最好是明确的(直角最合适)；(4)尽量使基向量和所涉及到的向量共线或构成三角形或构成平行四边形2用向量的坐标处理问题时，建立平面直角坐标系的基本原则剖析：选择坐标轴和原点不当会增加解题的运算量，也会带来不必要的麻烦需明确平面直角坐标系是如何构成的以及选择坐标轴的基本原则具有公共原点的两条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，因此在已知图形中，只要选择互相垂直的两条直线为
4、坐标轴就能建立直角坐标系，但是又不能随便选择坐标轴，选择的基本原则是：(1)尽量用已知图形中两互相垂直的向量所在直线为坐标轴；(2)尽量选择已知图形中某一特殊点为原点；(3)位于坐标轴上的已知点越多越好题型一 平行问题【例1】 如图，已知AC，BD是梯形ABCD的对角线，E，F分别是BD，AC的中点求证：EFBC.分析：要证明EFBC，只要证出m即可反思：向量法证明平面几何中ABCD的步骤：选择一组向量基底；用基底表示和；确定中的值，即有；归纳总结题型二 垂直问题【例2】 ABC中，ABAC，D为BC的中点，用向量方法证明ADBC.分析：转化为证明.反思：向量法证明平面几何中ABCD的步骤：选
5、择一组基底；用基底表示和；计算的值为0；归纳结论题型三 长度问题【例3】 如图所示，已知ABCD中，AB3，AD1，DAB，求对角线AC和BD的长反思：向量法求平面内A，B两点间的距离的步骤：选取一组基底a，b；用基底a，b表示，即xayb；利用|求得|；归纳结论题型四 易错辨析【例4】 已知点A(0,1)，B(1,0)，C(1,2)，D(2，1)，问AB与CD平行吗？错解：(1，1)，(3，3)，又1(3)(1)30，即ABCD.错因分析：此题混淆了向量的平行与线段(直线)的平行平行向量是方向相同或相反的向量，所以A，B，C，D四点共线时，与仍为平行向量，但此时直线AB与CD不平行反思：当时
6、，直线AB与直线CD可能平行，还可能重合，当且仅当，且A，B，C，D中任三点不共线时，直线AB直线CD.答案：【例1】 证明：设a，b，则ba.，b.E为BD的中点，(ba)F是AC的中点，连接BF(如图)，()()()(ba)(ba)(ba)b.又E，F，B，C四点不共线，即EFBC.【例2】 证明：如图所示，设a，b，则|a|b|，ba.D是BC的中点，()(ab)(ab)(ba)(|b|2|a|2)0.ADBC.【例3】 解：设a，b，a与b的夹角为，则|a|3，|b|1，.ab|a|b|cos .又ab，ab，|，|.AC，DB.【例4】 正解：证明：(1，1)，(3，3)，1(3)(
7、1)30，.又(1,1)，(1，1)，而1(1)110，A，B，C，D四点共线，AB与CD不平行1ABC中，且与的夹角为120，则ABC是()A直角三角形B钝角三角形C等边三角形D斜三角形2在ABC中，C90，(k,1)，(2,3)，则k的值是()A5 B5 C. D3在ABC中，若()()0，则ABC为()A正三角形 B直角三角形C等腰三角形 D形状无法确定4点O是ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的()A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高线的交点5ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，且，则为()A1 B. C1 D答案：1C2A由题意，得(2,3)(k,1)(2k,2)C90，.0.2(2k)320.k5.3C()()0，0，. CACB，ABC为等腰三角形4D由，得0，()0，即0.同理可证，.OBCA，OACB，OCAB，即点O是ABC的三条高线的交点5. A设BC的中点是D，如图所示，则，则，所以O和D重合，所以BC是圆O的直径，所以BAC90.又，则1，2，所以ABC60，所以121.