1、第2讲三角恒等变换与解三角形做真题题型一三角恒等变换1(2019高考全国卷)已知，2sin 2cos 21，则sin ()ABCD解析：选B.由2sin 2cos 21，得4sin cos 12 sin21，即2sin cos 1sin2.因为，所以cos ，所以2sin 1sin2 ，解得sin ，故选B.2(2018高考全国卷)若sin ，则cos 2()ABCD 解析：选B.cos 212sin212.3(2016高考全国卷)若cos，则sin 2()ABCD解析：选D.因为coscoscos sin sin (sin cos )，所以sin cos ，所以1sin 2，所以sin 2，
2、故选D.题型二三角形中的边角计算问题1(2018高考全国卷)在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB()A4BCD2解析：选A.因为cos ，所以cos C2cos2121.于是，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C521225132，所以AB4.故选A.2(2016高考山东卷)ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，则A()ABCD解析：选C.由余弦定理得a2b2c22bccos A2b22b2cos A，所以2b2(1sin A)2b2(1cos A)，所以sin Acos A，即tan A1，又0A，所以A.3(20
3、19高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；(2)若ab2c，求sin C.解：(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60).由于0C120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.题型三
4、与三角形面积有关的问题1(2018高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C()ABCD 解析：选C.根据题意及三角形的面积公式知absin C，所以sin Ccos C，所以在ABC中，C.2(2019高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_解析：法一：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以ABC的面积Sacsin B42sin 6.法二：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(
5、2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以A，所以ABC的面积S266.答案：63(2019高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin bsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解：(1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A.因为sin A0，所以sinsin B.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，故sin，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC1
6、20，所以30C90，故a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.山东省学习指导意见1三角恒等变换(1)会利用向量推导出两角差的余弦公式，并能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系(2)能运用上述公式进行简单的恒等变换2解三角形(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题(2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题三角恒等变换与求值考法全练1(2019高考全国卷)tan 255()A2B2C2D2解析：选D.由正切函数的周期性可
7、知，tan 255tan(18075)tan 75tan(3045)2，故选D.2(一题多解)(2019福建五校第二次联考)已知cos，则sin 2()ABCD解析：选C.法一：因为cos，所以sin 2sincos 22cos2121.故选C.法二：令，则，cos ，所以sin 2sin 2sincos 22cos2121.故选C.法三：因为cos，所以(cos sin )，所以cos sin ，平方得1sin 2，得sin 2.故选C.3已知，tan 2，则cos_解析：因为，tan 2，所以sin ，cos ，所以coscos cossin sin.答案：4(2019贵州黔东南一模改编)
8、已知sin 3cos ，则tan 2_，tan_解析：因为(sin 3cos )2sin26sin cos 9cos210(sin2cos2)，所以9sin26sin cos cos20，则(3tan 1)20，即tan ，所以tan 2，tan2.答案：2三角恒等变换要遵循的“三看”原则一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分；二看“函数名称”，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等，从而确定使用的公式；三看“结构特征”，了解变式或化简的方向 三角形的基本量的计算典型例题命题角度一求解三角形中的角 (1)(2019江西七校第一次联考)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
9、已知ba(cos Csin C)，a2，c，则角C()ABCD(2)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcos Cbsin Ca.求角B的大小；若BC边上的高等于a，求cos A的值【解】(1)选D.由ba，得sin Bsin A.因为sin Bsinsin(AC)，所以sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin Asin C(sin C0)，即cos Asin A，所以tan A.因为0A，所以A.由正弦定理，得sin C.因为0C，所以C.故选D.(2)由bcos Cbsin Ca，得sin Bcos Csin Bsin Csin A.因为ABC
10、，所以sin Bcos Csin Bsin Csin(BC)，即sin Bcos Csin Bsin Csin Bcos Ccos Bsin C，因为sin C0，所以sin Bcos B.因为B(0，)，所以B.设BC边上的高为AD，则ADa.因为B，所以BDADa，所以CDa，所以ACa，ABa.由余弦定理得cos A.利用正、余弦定理求三角形角的方法(1)已知两边及其夹角，先由余弦定理求第三边，再由正弦定理求角(2)已知三边，直接由余弦定理求角(3)已知两边及其中一边的对角，先由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和求第三角技能利用正、余弦定理求角时的两个失分点：(1)已知两边及其中一
11、边的对角求其他角时，有一解、两解的情况，容易把握不准而出错；(2)在变形时，直接两边约去公因式，没有移项后提公因式，产生漏解 命题角度二求解三角形中的边与面积 如图所示，在ABC中，点D为BC边上一点，且BD1，E为AC的中点，AE，cos B，ADB.(1)求AD的长；(2)求ADE的面积【解】(1)在ABD中，因为cos B，B(0，)，所以sin B，所以sinBADsin(BADB).由正弦定理知，得AD2.(2)由(1)知AD2，依题意得AC2AE3，在ACD中，由余弦定理得AC2AD2DC22ADDCcosADC，即94DC222DCcos，所以DC22DC50，解得DC1(负值舍
12、去)，所以SACDADDCsinADC2(1)，从而SADESACD.利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，如该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性而三角形的面积主要是利用两边与其夹角的正弦值求解技能三角形的面积主要是利用Sabsin C求解，有时可以直接利用余弦定理求出ab的整体值再求面积，而不必分别求出a，b的值 对点训练1(一题多解)(2019广州市综合检测一)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知ccos B(3ab)cos C.(1)求sin C的值；(2)若c2，ba2，求ABC的面积解：(1)法一：因为ccos
13、 B(3ab)cos C，所以由正弦定理得sin Ccos B(3sin Asin B)cos C，即sin Ccos Bsin Bcos C3sin Acos C，所以sin(BC)3sin Acos C，由于ABC，所以sin(BC)sin(A)sin A，则sin A3sin Acos C.因为0A，所以sin A0，cos C.因为0C，所以sin C.法二：因为ccos B(3ab)cos C，所以由余弦定理得c(3ab)，化简得a2b2c2ab，所以cos C.因为0C，所以sin C.(2)法一：由余弦定理c2a2b22abcos C，及c2，cos C，得a2b2ab24，即(
14、ab)2ab24.因为ba2，所以ab15.所以ABC的面积Sabsin C155.法二：由余弦定理c2a2b22abcos C，及c2，cos C，得a2b2ab24.又ba2，所以a3，b5.所以ABC的面积Sabsin C155.2(2019郑州市第一次质量预测)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为S，且满足sin B.(1)求sin Asin C；(2)若4cos Acos C3，b，求ABC的周长解：(1)由三角形的面积公式可得Sbcsin A，又sin B，所以2bcsin Asin Bb2，即2csin Asin Bb，由正弦定理可得2sin Csin
15、 Asin Bsin B，因为sin B0，所以sin Asin C.(2)因为4cos Acos C3，所以cos Acos C，所以cos Acos Csin Asin C，即cos(AC)，所以cos B，因为0B，所以sin B，因为4，所以sin Asin C，所以ac8，因为b2a2c22accos B(ac)22ac2accos B，所以(ac)2151227，所以ac3.所以ABC的周长为abc3.解三角形的综合问题典型例题命题角度一以平面几何为载体的解三角形问题 (2019洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD中，ABC为锐角，ADBD，AC平分BAD，BC2，BD
16、3，BCD的面积S.(1)求CD；(2)求ABC.【解】(1)在BCD中，SBDBCsinCBD，因为BC2，BD3，所以sinCBD.因为ABC为锐角，所以CBD30.在BCD中，由余弦定理得CD2BC2BD22BCBDcosCBD(2)2(3)222(3)9，所以CD3.(2)在BCD中，由正弦定理得，即，解得sinBDC.因为BCBD，所以BDC为锐角，所以cosBDC.在ACD中，由正弦定理得，即.在ABC中，由正弦定理得，即.因为AC平分BAD，所以CADBAC.由得，解得sinABC.因为ABC为锐角，所以ABC45.解决以平面几何为载体的问题，主要注意以下几方面：一是充分利用平面
17、几何图形的性质；二是出现多个三角形时，从条件较多的三角形突破求解；三是四边形问题要转化到三角形中去求解；四是通过三角形中的不等关系(如大边对大角，最大角一定大于等于)确定角或边的范围 命题角度二三角形中的最值或范围问题 (1)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为1，且，则ABC面积的最大值为_(2)已知ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2b2c2)(acos Bbcos A)abc，则c_若ab2，则c的取值范围为_【解析】(1)因为，所以(2cb)，由正弦定理得sin Bsin Acos B(2sin Csin B)sin Bcos A，又sin
18、 B0，所以sin Acos B(2sin Csin B)cos A，所以sin Acos Bsin Bcos A2sin Ccos A，即sin(AB)2sin Ccos A，即sin C2sin Ccos A，又sin C0，所以cos A，sin A.设外接圆的半径为r，则r1，由余弦定理得bcb2c2a2b2c2(2rsin A)2b2c232bc3(当且仅当bc时，等号成立)，所以bc3，所以SABCbcsin Abc.所以ABC面积的最大值为.(2)由sin Acos Bsin Bcos Asin(AB)sin C及正弦定理，可知acos Bbcos Ac，则由(a2b2c2)(a
19、cos Bbcos A)abc，得a2b2c2ab，由余弦定理可得cos C，则C，BA，由正弦定理，得，又ab2，所以2，即c，因为A，所以A，sin，则c1，2)【答案】(1)(2)1，2)解三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围 对点训练1.(2019重庆市七校联合考试)如图，在平面四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，DE.CB2，BE1，BCED.(1)求sinAED的值；(2)若ABCD，求CD的长解：(1)在BEC中，由余弦定理得，CE，又，所以s
20、inBCE，因为BCED，所以sinAEDsinBCE.(2)因为ABCD，所以CDEAED，所以sinCDEsinAED，在CDE中，所以CD7.2(2019福建五校第二次联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acos C(2bc)cos A.(1)求角A的大小；(2)若a2，求ABC面积的最大值解：(1)由正弦定理可得，sin Acos C2sin Bcos Asin Ccos A，从而sin(AC)2sin Bcos A，即sinB2sin BcosA.又B为三角形的内角，所以sin B0，于是cos A，又A为三角形的内角，所以A.(2)由余弦定理a2b2c22bcc
21、os A，得4b2c22bc2bcbc，所以bc4(2)，所以SABCbcsin A2，故ABC面积的最大值为2.A组夯基保分专练一、选择题1已知sin()，则cos 2的值为()ABCD解析：选C.因为sin()，所以cos()0，可得cos()，所以sin sin()sin()cos cos()sin ，cos 212sin21，故选C.2(2019高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin Absin B4csin C，cos A，则()A6B5C4D3解析：选A.由题意及正弦定理得，b2a24c2，所以由余弦定理得，cos A，得6.故选A.3在ABC中，内
22、角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2a，bsin Basin Aasin C，则sin B为()ABCD解析：选A.由bsin Basin Aasin C，且c2a，得ba，因为cos B，所以sin B .4(一题多解)在ABC中，已知AB，AC，tanBAC3，则BC边上的高等于()A1BCD2解析：选A.法一：因为tanBAC3，所以sinBAC，cosBAC.由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC5229，所以BC3，所以SABCABACsinBAC，所以BC边上的高h1，故选A.法二：因为tanBAC3，所以cosBACB，则sin Asin BB在锐角三角形A
23、BC中，不等式sin Acos B恒成立C在ABC中，若acos Abcos B0，则ABC必是等腰直角三角形D在ABC中，若B60，b2ac，则ABC必是等边三角形解析：选ABD.对于A，在ABC中，由正弦定理可得，所以sin Asin BabAB，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B，且AB，则AB0，所以sin Asincos B，故B正确；对于C，在ABC中，由acos Abcos B，利用正弦定理可得sin 2Asin 2B，得到2A2B或2A2B，故AB或AB，即ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在ABC中，若B60，b2ac，由余弦定理可得，b2a2c2
24、2accos B，所以aca2c2ac，即(ac)20，解得ac.又B60，所以ABC必是等边三角形，故D正确故选ABD.二、填空题7(2019济南联考改编)若tan(2)2，tan 3，则tan()_，tan _解析：因为tan(2)2，tan 3，所以tan()tan(2)1.tan tan().答案：18已知a，b，c是ABC中角A，B，C的对边，a4，b(4，6)，sin 2Asin C，则c的取值范围为_解析：由，得，所以c8cos A，因为16b2c22bccos A，所以16b264cos2A16bcos2A，又b4，所以cos2A，所以c264cos2A64164b.因为b(4
25、，6)，所以32c240，所以4c0，所以cos B.因为B(0，)，所以B.(2)由tan C，C(0，)，得sin C，cos C，所以sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C.由正弦定理，得a6，所以ABC的面积为absin C626.11(2019武汉模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A2B，cos B.(1)求sin C的值；(2)若角A的平分线AD的长为，求b的值解：(1)由cos B及0B，得sin B，又A2B，所以sin Asin 2B2sin Bcos B2，cos Acos 2B2cos2B1.故sin Csin(AB)sin
26、Acos Bcos Asin B.(2)由题意得，ADCBBACBAC(如图)，所以sinADC.在ADC中，即，AC，故b.12(2019高考天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2a，3csin B4asin C.(1)求cos B的值；(2)求sin的值解：(1)在ABC中，由正弦定理，得bsin Ccsin B，又由3csin B4asin C，得3bsin C4asin C，即3b4a.又因为bc2a，得到ba，ca.由余弦定理可得cos B.(2)由(1)可得sin B，从而sin 2B2sin Bcos B，cos 2Bcos2Bsin2B，故sin
27、sin 2Bcoscos 2Bsin .B组大题增分专练1(2019江西七校第一次联考)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a(sin Asin B)(cb)(sin Csin B)(1)求角C；(2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长解：(1)由a(sin Asin B)(cb)(sin Csin B)及正弦定理，得a(ab)(cb)(cb)，即a2b2c2ab.所以cos C，又C(0，)，所以C.(2)由(1)知a2b2c2ab，所以(ab)23abc27，又Sabsin Cab，所以ab6，所以(ab)273ab25，ab5.所以ABC的周长为abc5.2(一题多解)(
28、2019福州模拟)如图，在ABC中，M是边BC的中点，cosBAM，cosAMC.(1)求B的大小；(2)若AM，求AMC的面积解：(1)由cosBAM，得sinBAM，由cosAMC，得sinAMC.又AMCBAMB，所以cosBcos(AMCBAM)cosAMCcosBAMsinAMCsinBAM，又B(0，)，所以B.(2)法一：由(1)知B，在ABM中，由正弦定理，得BM.因为M是边BC的中点，所以MC.故SAMCAMMCsinAMC.法二：由(1)知B，在ABM中，由正弦定理，得BM.因为M是边BC的中点，所以SAMCSABM，所以SAMCSABMAMBMsinBMA.3(2019昆
29、明市质量检测)ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2(cacos B)b.(1)求角A；(2)若a2，求ABC面积的取值范围解：(1)由2(cacos B)b及正弦定理得2(sin Csin Acos B)sin B，所以2sin(AB)2sin Acos Bsin B，即2cos Asin Bsin B，因为sin B0，所以cos A，又0A，所以A.(2)因为a2，由正弦定理得b4sin B，c4sin C，所以SABCbcsin Abc，所以SABC4sin Bsin C，因为C(AB)B，所以sin Csin，所以SABC4sin Bsin4sin B，即SABC2s
30、in Bcos B2sin2Bsin 2Bcos 2B2sin.因为0B，所以2B，所以sin1，所以0SABC2.即ABC面积的取值范围为(0，24已知在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，AB边上的高hc.(1)若ABC为锐角三角形，且cos A，求角C的正弦值；(2)若C，M，求M的值解：(1)作CDAB，垂足为D，因为ABC为锐角三角形，且cos A，所以sin A，tan A，所以AD，BDABAD，所以BC，由正弦定理得sinACB.(2)因为SABCccabsinACBab，所以c2ab，又a2b2c22abcosACBab，所以a2b2abc2，所以a2b2c2abc2abab2ab，所以M2.