1、第八章 立体几何第一节 空间几何体的结构特征1简单几何体(1)简单旋转体的结构特征：圆柱可以由矩形绕其任一边旋转得到；圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到；圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到；球可以由半圆或圆绕直径旋转得到(2)简单多面体的结构特征：棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形；棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点的三角形；棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形2直观图(1)画法：常用斜二测画法(2)规则：原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x轴、y轴的夹角为45(或135
2、)，z轴与x轴和y轴所在平面垂直原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半小题体验1关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是_(填序号)棱柱的侧棱长都相等；四棱锥有四个顶点；三棱台的上、下底面是相似三角形；有的棱台的侧棱长都相等解析：根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点，故说法不正确，由棱柱、棱台的结构，知说法正确答案：2.如图，正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是_ cm.解析：将直观图还原为平面图形，如图所示可知周长为
3、8 cm.答案：83(2016金陵中学检测)下列结论正确的是_(填序号)各个面都是三角形的几何体是三棱锥；以三角形的一条边所在直线为轴，旋转一周得到的几何体叫圆锥；棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥；圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，则所得的几何体就不是圆锥，故错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长，故错误；由圆锥母线的定义，知正确答案：1台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底
4、面平行且侧棱延长后必交于一点2注意斜二测画法中的“三变”与“三不变”：“三变”坐标轴的夹角改变，与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变“三不变”平行性不改变，与x，z轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变小题纠偏1下列说法正确的是_(填序号)有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台；多面体至少有3个面；各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形解析：说法错误，反例如图1；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有3个面的多面体，所以说法错误；说法错误，反例如图2，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的
5、定义，知说法正确答案：2下面关于利用斜二测画法得到直观图的叙述正确的是_(填序号)正三角形的直观图是正三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；矩形的直观图是矩形；圆的直观图是圆解析：直观图改变了原图中角的大小及图形的形状，所以都不正确，易知正确答案：3.如图所示的正方形ABCD用斜二测画法得到的直观图是一个平行四边形，平行四边形中有一条边的边长为4，则此正方形的面积是_解析：由题意，可知在直观图(图略)中，若边长为4的边与x轴平行，则原正方形的边长为4，此时正方形的面积为16；若边长为4的边与y轴平行，则原正方形的边长为8，此时正方形的面积为64.答案：16或64题组练透1用任意一个平面截一个
6、几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是_解析：截面是任意的且都是圆面，则该几何体为球体答案：球体2下列说法中正确的个数是_以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体不一定是圆锥；以直角梯形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体是圆台；圆锥、圆台的底面都是圆；分别以矩形的长和宽所在直线为旋转轴，旋转一周得到的两个圆柱是两个不同的圆柱解析：中，若以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴，得到的是由两个底面重合的圆锥组成的旋转体，故说法正确；中，必须以直角梯形的垂直于底边的腰所在直线为旋转轴才能得到圆台，若以其余三边所在直线为旋转轴，则不能得到圆台，故说法错误；显然说法正确答案：
7、33下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是_(填序号)解析：中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱经过折叠可以围成一个棱柱答案：谨记通法解决与空间几何体结构特征有关问题3个技巧(1)把握几何体的结构特征，要多观察实物，提高空间想象能力；(2)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型；(3)通过反例对结构特征进行辨析典例引领如图，ABC是水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，将其恢复成原图形解：(1)画出直角坐标系xOy，在x轴上取OAOA，即CACA；(2)在图中，过B作BDy轴，交x轴于D，在x轴上取ODOD，过点D作DBy轴，并使DB2DB；
8、(3)连结AB，BC，则ABC即为ABC原来的图形，如图所示由题悟法用斜二测画法画直观图的3个步骤(1)在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x轴或y轴平行(2)原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线(3)原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连结而画出即时应用用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴已知四边形ABCD的面积为2 cm2，则原平面图形的面积为_cm2.解析：依题意可知BAD45，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的2倍，所以原平面图形的面积为
9、8 cm2.答案：8一抓基础，多练小题做到眼疾手快1四棱柱有_条侧棱，_个顶点解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)答案：482给出下列几种说法：圆柱的底面是圆；经过圆柱的任意两条母线的截面是一个矩形；连结圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；圆柱的任意两条母线互相平行其中不正确的个数是_解析：圆柱的母线一定垂直于圆柱的两个底面，而连结圆柱上、下底面圆周上两点的线段不一定与底面垂直，所以说法不正确，显然说法正确答案：13给出下列四个命题：各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱；对角面是全等矩形的六面体一定是长方体；有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；长方体一定是正四
10、棱柱其中正确的命题个数是_解析：反例：直平行六面体底面是菱形，满足条件但不是正棱柱；底面是等腰梯形的直棱柱，满足条件但不是长方体；显然错误答案：04.(2016南通调研)水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面上的数字是_解析：由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与4相对，2与2相对，0与3相对，所以正方体的下面上的数字是2.答案：25如图，线段OA在平面xOy中，它与x轴的夹角为45，它的长为2，OA的直观图OA的长为_解析：过点A作AB
11、Ox于B，OA2，AOB45，OBAB2，线段OB的直观图OB2，AB1，OBA135.OA22212221cos 135，OA.答案： 二保高考，全练题型做到高考达标1将等边三角形绕它的一条中线旋转180，形成的几何体是_解析：因为等边三角形是一个对称图形，并且中线过其顶点，底边旋转后成为一个圆，所以形成的几何体是一个圆锥答案：圆锥2把一个圆锥截成圆台，已知圆台上下底面的半径之比为14，母线长为9；则圆锥的母线长是_解析：设该圆锥的轴截面如图所示，由平面几何知识可知，所以，所以CB3，所以BC3912.即圆锥的母线长为12.答案：123如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥不可能
12、是_(填序号)三棱锥；四棱锥；五棱锥；六棱锥解析：各个侧面都是等边三角形，故六棱锥的底面的每一条边长都相等，底面是一个六边都相等的六边形当这个六边形是正六边形时，如图可知AD2ABSASD，这时不能构成三角形；当这个六边形不是正六边形时，则AD，BE，CF三条线段中必然有一条大于或等于SASD，这时也不能构成三角形，故这个棱锥不可能是六棱锥序号中都有符合条件的棱锥，故填.答案：4下列关于投影的说法正确的是_(填序号)平行投影的投影线是互相平行的；中心投影的投影线是互相垂直的；线段上的点在中心投影下仍然在线段上；平行的直线在中心投影下不平行解析：平行投影是指投影线互相平行的投影，故是正确的；中心
13、投影的投影线一般是不垂直的；线段上的点在中心投影下可以重合于一点；平行的直线在中心投影下可以平行也可以不平行答案：5.如图所示是水平放置的ABC在直角坐标系中的直观图，其中D是AC的中点，原ACB中，ACB30，则原图形中与线段BD的长相等的线段有_条解析：先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找与线段BD长度相等的线段，把ABC还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，所以ADDCBD.答案：26设有以下四个命题：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是矩形的平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；棱台的相对侧棱延长后必交于一点其中真命题的序号是_解
14、析：命题符合平行六面体的定义，故命题是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题是错误的；命题由棱台的定义知是正确的答案：7如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA6，OC2，则原图形OABC的面积为_解析：由题意知原图形OABC是平行四边形，且OABC6，设平行四边形OABC的高为OE，则OEOC，OC2，OE4，SOABC6424.答案：248(2016南京师大附中月考)已知正三角形ABC的边长为a，那么用斜二测画法得到的ABC的平面直观图ABC的面积为_解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系
15、，再按照斜二测画法画出其直观图，如图中ABC所示易知，ABABa，OCOCa.过点C作CDAB于点D，则CDOCa.所以SABCABCDaaa2.答案：a29.(2016盐城调研)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，BB12，ABC90，E，F分别为AA1，C1B1的中点，试求沿棱柱的表面从点E到点F的最短路径解：若将A1B1C1沿A1B1折起，使得E，F在同一平面内，则此时EF .若将侧面沿B1B展成平面，则此时EF .若将A1B1C1沿A1C1折起使得E，F在同一平面内，则此时EF.经比较知沿棱柱的表面从点E到点F的最短路径为.10.如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上
16、、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值解：作出圆台的轴截面与侧面展开图，如图所示，如图1，由其轴截面中RtOPA与RtOQB相似，得，可求得OA20 cm.如图2，设BOB，由于扇形弧的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为210 cm.扇形OBB的半径为OAAB202040 cm，扇形OBB所在圆的周长为24080 cm.所以扇形弧的长度20为所在圆周长的.所以OBOB.所以在RtBOM中，BM2402302，所以BM50 cm，即所求绳长的最小值为50 cm.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知菱形ABCD的边长是4，
17、DAB60，则菱形ABCD的斜二测直观图的面积是_解析：由已知得BD4，AC4，且ACBD，所以其斜二测直观图的面积为S44sin 452.答案：22在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，过对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，得四边形BFD1E，给出下列结论：四边形BFD1E有可能为梯形；四边形BFD1E有可能为菱形；四边形BFD1E有可能垂直于平面BB1D1D；四边形BFD1E面积的最小值为.其中正确的是_(填序号)解析：四边形BFD1E为平行四边形，显然不成立，当E，F分别为AA1，CC1的中点时，成立当E，F分别为AA1，CC1的中点时，四边形BFD1E的面积最小，
18、最小值为.答案：3(2016南京调研)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4 cm2和25 cm2.(1)求圆台的高；(2)求截得此圆台的圆锥的母线长解：(1)如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形ABCD，作AMBC于点M，连结O1O.由已知可得上底半径O1A2 cm，下底半径OB5 cm，且腰长AB12 cm，AM3(cm)即圆台的高为3 cm.(2)延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l.则由SAO1SBO，可得，l20 (cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.第二节 空间几何体的表面积与体积1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥
19、圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l2空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3小题体验1(教材习题改编)圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为_，球的表面积与圆柱的侧面积之比为_答案：23112(教材习题改编)已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC，它的表面积为_解析：过S作SDBC，BCa，SDa，SSBCa2，表面积S4a2a2.答案：a23已知一个母线长为1的圆锥的侧
20、面展开图的圆心角等于240，则该圆锥的体积为_解析：圆锥的底面圆的周长为21，设底面圆的半径为r，则有2r，所以r，于是圆锥的高h，故圆锥的体积V2.答案：1易混侧面积与表面积的概念，导致计算时错用公式，漏掉底面积的计算2对几何体的结构特征把握不准，导致空间线面关系的推理、表面积与体积的求解出现错误小题纠偏1正六棱台的上、下两底面的边长分别是1 cm,2 cm，高是1 cm，则它的侧面积为_ cm2.解析：正六棱台的侧面是6个全等的等腰梯形，上底长为1 cm，下底长为2 cm，高为正六棱台的斜高又边长为1 cm的正六边形的中心到各边的距离是 cm，边长为2 cm的正六边形的中心到各边的距离是
21、cm，则梯形的高为 cm，所以正六棱台的侧面积为6(12) cm2.答案：2若一个球的体积为4，则它的表面积为_解析：设球的半径为R，则R34，R，球的表面积S4R24312.答案：123已知某圆柱的侧面展开图是边长为2a，a的矩形，则该圆柱的体积为_解析：设圆柱的母线长为l，底面圆的半径为r，则当l2a时，2ra，r，这时V圆柱2a2；当la时，2r2a，r，这时V圆柱a2.综上，该圆柱的体积为或.答案：或题组练透1(2016无锡一中检测)等边圆柱(底面直径和高相等的圆柱)的底面半径与球的半径相等，则等边圆柱的表面积与球的表面积的比值为_解析：设球的半径为R.等边圆柱的表面积S12R2R2R
22、26R2，球的表面积S24R2，所以.答案：2.(2016启东中学检测)如图，半径为2的半球内有一个内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的表面积是_解析：显然正六棱锥PABCDEF的底面的外接圆是球的一个大圆，由已知，可得大圆的半径为2.易得其内接正六边形的边长为2.又正六棱锥PABCDEF的高为2，则斜高为，所以该正六棱锥的表面积为62666.答案：663已知底面是菱形的直四棱柱的侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，求这个直四棱柱的侧面积解：如图，底面是菱形的直棱柱ABCDABCD中，两条对角线长为AC15，BD9，侧棱长为AADD5，BDD和CAA都是直角三角形，由勾股定理，得
23、AC215252200，BD2925256，可得AC10，BD2.AC，BD分别是菱形ABCD的两条对角线，AC，BD互相垂直平分，且把菱形分成四个全等的直角三角形，两条直角边的长分别为AC5和BD，由勾股定理，得AB8.该直四棱柱的侧面积S485160.谨记通法几何体的表面积2种求法(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积注意衔接部分的处理典例引领1.(2016南京一中检测)如图所示，已知一个多
24、面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个正三角形组成，则该多面体的体积是_解析：由展开图，可知该多面体是正四棱锥，底面正方形的边长为1，侧棱长也为1，该正四棱锥的高h，其体积V12.答案：2.如图，AA1，BB1为圆柱OO1的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是AA1，CB1的中点，DE平面CBB1.(1)证明：DE平面ABC；(2)求四棱锥CABB1A1与圆柱OO1的体积比解：(1)证明：连结EO，OA.E，O分别为B1C，BC的中点，EOBB1，且EOBB1.又DABB1，且DABB1，DA綊EO，四边形AOED是平行四边形，DEOA.又DE平面ABC，AO平面ABC，DE平面AB
25、C.(2)由题意知DE平面CBB1，且由(1)知DEAO，AO平面CBB1，AOBC，ACAB.BC是底面圆O的直径，得CAAB，且AA1CA，CA平面AA1B1B，即CA为四棱锥CABB1A1的高设圆柱高为h，底面半径为r，则Vr2h，Vh(r)(r)r2h.VV.由题悟法求解几何体体积的必备策略常见类型解题策略球的体积问题直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径锥体、柱体的体积问题根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解不规则几何体的体积问题常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转
26、化为规则的几何体或平面图形，易于求解即时应用如图，在四棱锥PABCD中，PAAD，ABCD，CDAD，ADCD2AB2，E，F分别为PC，CD的中点，DEEC.(1)求证：平面ABE平面BEF；(2)设PAa，若三棱锥BPED的体积V，求实数a的取值范围解：(1)证明：因为ABCD，CDAD，ADCD2AB2，F为CD的中点，所以四边形ABFD为矩形，ABBF.因为DEEC，所以DCEF.又ABCD，所以ABEF.因为BFEFF，所以AB平面BEF.又AB平面ABE，所以平面ABE平面BEF.(2)因为PDEF，ABEF，所以ABPD.又ABAD，ADPDD，所以AB平面PAD，所以ABPA.
27、又PAAD，ABADA，所以PA平面ABCD.因为SBCD222，E到平面BCD的距离h，所以VBPEDVBEDCVEBCD2，所以a.故实数a的取值范围为.命题分析与球相关的切、接问题是高考命题的热点，也是考生的难点、易失分点，命题角度多变常见的命题角度有：(1)正四面体的内切球；(2)直三棱柱的外接球；(3)正方体(长方体)的外接球；(4)四棱锥(三棱锥)的外接球题点全练角度一：正四面体的内切球1(2016苏州模拟)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则_.解析：设正四面体棱长为a，则正四面体表面积为S14a2a2，其内切球半径为正四面体高的，即raa，因此内切球表面积为
28、S24r2，则.答案：角度二：直三棱柱的外接球2已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB3，AC4，ABAC，AA112，则球O的半径为_解析：如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AMBC，OMAA16，所以球O的半径ROA .答案：角度三：正方体(长方体)的外接球3(2016扬州调研一模)已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB3，BC，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，则棱锥EABCD的体积为_解析：如图所示，BE过球心O，DE2，VE ABCD322.答案：2角度四：四棱锥(三棱锥)的外接球4(2016盐城模拟)体积为
29、的正四棱锥SABCD的底面中心为O，SO与侧面成的角的正切值为，那么过SABCD的各顶点的球的表面积为_解析：如图，取AB的中点为F，连结SF，过点O作OGSF，则OSG为SO与侧面所成的角， 且tanOSG.设AB2a，则SOa，所以4a2a，得a.延长SO交外接球于E，则EBSB，由OB2SOOE得42(2R2)，所以R2，S42216.答案：165(2016南京四校联考)在正三棱锥SABC中，M是SC的中点，且AMSB，底面边长AB2，则正三棱锥SABC的外接球的表面积为_解析：如图，由正三棱锥的性质易知SBAC，结合AMSB知SB平面SAC，所以SBSA，SBSC.又正三棱锥的三个侧面
30、是全等的三角形，所以SASC，所以正三棱锥SABC为正方体的一个角，所以正三棱锥SABC的外接球即为正方体的外接球由AB2，得SASBSC2，所以正方体的体对角线为2，所以所求外接球的半径R，所求表面积为4R212.答案：12方法归纳“切”“接”问题处理的注意事项(1)“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径一抓基础，多练小题做到眼疾手快
31、1一个球的表面积是16，那么这个球的体积为_解析：设球的半径为R，则表面积是16，即4R216，解得R2.所以体积为R3.答案：2若一个圆台的母线长l，上、下底面半径r1，r2满足2lr1r2，且侧面积为8，则母线长l_.解析：S圆台侧(r1r2)l2l28，所以l2.答案：23在三角形ABC中，AB3，BC4，ABC90，若将ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的侧面积为_解析：依题意知几何体为底面半径为3，母线长为5的圆锥，所得几何体的侧面积等于3515.答案：154棱长为a的正方体有一内切球，该球的表面积为_解析：由题意知球的直径2Ra，R.S4R24a2.答案：a25如图，正三棱
32、柱ABCA1B1C1的所有棱长都为3，D为CC1上一点，且CD2DC1，则三棱锥A1BCD的体积_解析：过A1作A1HB1C1，垂足为H.因为平面A1B1C1平面BB1C1C，所以A1H平面BB1C1C，所以VA1BCD323.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为_解析：设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r.由S(r3r)384，解得r7.答案：72若一个圆锥的侧面展开图是面积为2的半圆面，则该圆锥的体积为_解析：因为半圆面的面积为l22，所以l24，解得l2，即圆锥的母线为l2，底面圆的
33、周长2rl2，所以圆锥的底面半径r1，所以圆锥的高h，所以圆锥的体积为r2h.答案：3已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的底面边长为时，其高的值为_解析：设正六棱柱的高为h，则可得()232，解得h2.答案：24已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为6 cm，那么它的体积为_ cm3.解析：设正六棱柱的底面边长为x cm，由题意得6x672，所以x2 cm，于是其体积V226636 cm3.答案：365(2016南通调研)一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为_cm2.解析：作出轴截面图，其中圆的内
34、接矩形为正四棱柱的对角面，易求棱柱的侧棱长为，所以S表4121224(cm2)答案：246已知正三棱锥SABC，D，E分别是底面边AB，AC的中点，则四棱锥SBCED与三棱锥SABC的体积之比为_解析：设正三棱锥SABC底面ABC面积为4S.由2，所以，SADES，S四边形BCDE3S，因两个棱锥的高相同，所以VSBCEDVSABC34.答案：347已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB6，BC2，则棱锥OABCD的体积为_解析：如图，连结AC，BD交于H，连结OH.在矩形ABCD中，由AB6，BC2可得BD4，所以BH2，在RtOBH中，由OB4，所以OH2，所以四棱锥OA
35、BCD的体积V6228.答案：88(2016盐城调研)在半径为2的球面上有不同的四点A，B，C，D，若ABACAD2，则平面BCD被球所截得图形的面积为_解析：过点A向平面BCD作垂线，垂足为M，则M是BCD的外心，而外接球球心O位于直线AM上，连结BM，设BCD所在截面圆半径为r，OAOB2AB，BAO60，在RtABM中，r2sin 60，所求面积Sr23.答案：39一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切将球取出后，容器内的水深是多少？解：如图，作轴截面，设球未取出时，水面高PCh，球取出后，水面高PHx.根据题设条件可
36、得ACr，PC3r，则以AB为底面直径的圆锥容积为V圆锥AC2PC(r)23r3r3.V球r3.球取出后，水面下降到EF，水的体积为V水EH2PH(PHtan 30)2PHx3.又V水V圆锥V球，则x33r3r3，解得xr.故球取出后，容器内水深为r.10.(2016安徽六校联考)如图所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，求该多面体的体积解：法一：如图所示，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连结DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，三棱锥高为，直三棱柱柱高为1，AG ，取AD中点M，则MG，SAG
37、D1，V12.法二：如图所示，取EF的中点P，则原几何体分割为两个三棱锥和一个四棱锥，易知三棱锥PAED和三棱锥PBCF都是棱长为1的正四面体，四棱锥PABCD为棱长为1的正四棱锥V122.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1如图，平面四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为_解析：由图示可得BDAC，BC，DBC与ABC都是以BC为斜边的直角三角形，由此可得BC中点到四个点A，B，C，D的距离相等，即该三棱锥的外接球的直径为，所以该外接球的表面积S423.答案：32(201
38、5南京二模 )一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器当x6 cm时，该容器的容积为_cm3.解析：如图所示，由题意可知，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形，侧面的斜高PM5 cm，高PO4 cm，所以所求容积为V62448(cm3)答案：483.如图，在三棱锥DABC中，已知BCAD，BC2，AD6，ABBDACCD10，求三棱锥DABC的体积的最大值解：由题意知，线段ABBD与线段ACCD的长度是定值，因为棱AD与棱BC相互垂直设d为AD到BC的距离则VDA
39、BCADBCd2d，当d最大时，VDABC体积最大，ABBDACCD10，当ABBDACCD5时，d有最大值.此时V2.第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(2)公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线(3)公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面2空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系(2)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直
40、线a与b所成的角(或夹角)范围：.(3)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行(4)定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等3空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况小题体验1四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有_个解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定4个平面答案：42(教材习题改编)设P表示一个点，a，b表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是_Pa，Pa；abP，ba；ab，a，Pb，Pb；
41、b，P，PPb.答案：3(教材习题改编)给出命题若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行其中不正确的命题的个数为_答案：21异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交2直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”3平面几何中的一些结论在空间中有可能不正确小题纠偏1已知a，b是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题：若，a，则a；若a，b与所成的角相等，则ab；若，则；若a，a，则.
42、其中正确命题的序号是_解析：由，a，结合面面平行的定义可得a，所以正确；由a，b与所成角相等，可得a与b平行或相交或异面，所以不正确；由，得与平行或相交，所以不正确；由垂直于同一条直线的两个平面平行，知正确答案：2在下列四个命题中，正确命题的个数为_a，b是异面直线，则存在分别过a，b的平面，使；a，b是异面直线，则存在分别过a，b的平面，使；a，b是异面直线，若直线c，d分别与a，b都相交，则c，d也是异面直线；a，b是异面直线，则存在平面过a且与b垂直解析：因为a，b是异面直线，所以可以作出两个平面，分别过a，b，并使，所以正确；因为a，b是异面直线，所以存在两个互相垂直的平面分别过a，b
43、，所以正确；因为a，b是异面直线，若直线c，d与a，b分别都相交，则c，d相交或异面，所以不正确；因为a，b是异面直线，若a，b垂直，则存在平面过a且与b垂直，若a，b不垂直，则不存在平面过a且与b垂直不正确答案：2题组练透1(2016天一中学检测)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设A1C平面ABC1D1E，则B，E，D1三点的位置关系是_解析：连结AC，A1C1，AC1，则E为A1C与AC1的交点，四边形ACC1A1为平行四边形，故E为AC1的中点又四边形ABC1D1为平行四边形，所以B，E，D1三点共线答案：共线2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，A
44、A1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明：(1)如图，连结EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFA1B.又A1BCD1，EFCD1，E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA.CE，D1F，DA三线共点谨记通法1点线共面问题证明的2种方法(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；(2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面，再证其余点、线确定平面，最后证明平
45、面，重合2证明多线共点问题的2个步骤(1)先证其中两条直线交于一点；(2)再证交点在第三条直线上证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理2证明如“题组练透”第2题中第(2)问典例引领1已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是_解析：依据题意，b，c分别为a在，内的射影，可判断b，c相交、平行或异面均可答案：相交、平行或异面2(2016苏州中学月考)如图所示，在三棱锥ABCD中，E，F是棱AD上互异的两点，G，H是棱BC上互异的两点，给出下列说法：AB与CD互为异面直线；FH分别与DC，DB互为异面直线；EG与F
46、H互为异面直线；EG与AB互为异面直线其中说法正确的有_(填序号)解析：因为直线DC平面BCD，直线AB平面BCD，点B直线DC，所以由异面直线的判定定理，可知正确；同理，正确答案：由题悟法 即时应用1已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为_解析：法一：在空间中，若ab，ac，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以错，显然成立法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，错，正确答案：12在图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答
47、案的序号)解析：图中，直线GHMN；图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连结MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G，M，N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面所以在图中，GH与MN异面答案：一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2016扬州中学检测)下列命题中正确的是_(填序号)空间四点中有三点共线，则此四点必共面；三个平面两两相交的三条交线必共点；空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平面和平面可能只有一个交点解析：由公理及推论，可得正确，错误答案：2(2016南京外国语学校)已知，为两个不重合的平面，A，B，M，N为相异四点，a为直线，则下列推
48、理错误的是_(填序号)Aa，A，Ba，Ba；M，M，N，NMN；A，AA.解析：由公理及推论，可得推理正确因为A，A，所以A，由公理知为经过点A的一条直线而不是一个点A，所以推理错误答案：3.(2016海门中学月考)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E，F分别是棱A1A，C1C的中点若BFC60，则ED1D_.解析：取BB1的中点G，连结C1G，EG，因为E是棱A1A的中点，G是棱B1B的中点，所以A1B1綊EG.又A1B1綊C1D1，所以EG綊C1D1，所以四边形EGC1D1是平行四边形，所以D1E綊C1G.又BG綊C1F，所以四边形BGC1F是平行四边形，所以
49、C1GFB，所以D1EFB.又D1DFC，ED1D与BFC的两边方向相同，所以由等角定理，可得ED1DBFC60.答案：604.如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中既与AB共面又与CC1共面的棱有_条解析：依题意，与AB和CC1都相交的棱有BC；与AB相交且与CC1平行有棱AA1，BB1；与AB平行且与CC1相交的棱有CD，C1D1.故符合条件的有5条答案：55(2016江苏四星级高中联考)在正四棱锥VABCD中，底面正方形ABCD的边长为1，侧棱长为2，则异面直线VA与BD所成角的大小为_解析：如图，设ACBDO，连结VO，因为四棱锥VABCD是正四棱锥，所以VO平面ABCD，故BDV
50、O.又四边形ABCD是正方形，所以BDAC，又VOACO，所以BD平面VAC，所以BDVA，即异面直线VA与BD所成角的大小为.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1空间四边形的两条对角线互相垂直，顺次连结四边中点的四边形一定是_(填序号)矩形；菱形；正方形；直角梯形解析：顺次连结空间四边形四边中点的四边形是平行四边形，又因为空间四边形的两条对角线互相垂直，所以平行四边形的两邻边互相垂直，故顺次连结四边中点的四边形一定是矩形答案：2(2016金陵中学检测)若a，b是空间的两条直线且a，b，l，则a与b的位置关系为_解析：如图，b1，b2，a1，a2，且a2与b2相交，b1a1，a2与b1异面，
51、结合图形(如图所示)，可知a与b的位置关系是平行或相交或异面答案：平行或相交或异面3(2016金陵中学检测)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p是q的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)解析：若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件答案：充分不必要4给出下列四个说法，其中正确的是_(填序号)空间中两条不相交的直线一定平行；梯形可以确定一个平面；若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条也相交；空间四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.解析：在空间中不相交的两条直线可能平行，也可能异面，
52、错误；正确；错误，因为它也可能与另一条直线异面；由公理4，知正确答案：5已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面，b平面，c.若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；若ab，则必有ac；若ab，ac，则必有.其中正确的命题的个数是_解析：中若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交若c与a，b都不相交，则ca，cb，则ab，与a，b异面矛盾，故正确；中平面平面时，若bc，则b平面，此时不论a，c是否垂直，均有ab，故错误；中当ab时，则a平面，由线面平行的性质定理可得ac，故正确；中若bc，则ab，ac时，a与平面不一定垂直，此时平面与平面也
53、不一定垂直，故错误，所以正确命题的个数是2.答案：26如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的对数为_对解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面的直线有且只有3对答案：37设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：若ab，bc，则ac；若ab，bc，则ac；若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；若a平面，b平面，则a，b一定是异面直线上述命题中正确的命题是_(写出所有正确命题
54、的序号)解析：由公理4知正确；当ab，bc时，a与c可以相交、平行或异面，故错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故错；a，b，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故错答案：8.(2014淮安模拟)如图是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2的夹角为_解析：将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合故l1与l2相交，连结AD，则ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为.答案：9.(2016启东中学检测)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，ACBDP，A1C1EFQ.(
55、1)求证：D，B，F，E四点共面；(2)作出直线A1C与平面BDEF的交点R的位置解：(1)证明：法一：如图，连结DE，BF.由于CC1和BF在同一个平面内且不平行，故直线CC1与BF必相交，设交点为O，则OC1C1C.同理，直线DE与CC1也相交，设交点为O，则OC1C1C，故O与O重合由此得DEBFO，故D，B，F，E四点共面(设为)法二：连结B1D1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1BD.又E，F分别为C1D1，C1B1的中点，EFB1D1，EFBD，即D，B，F，E四点共面(设为)(2)连结PQ，A1C.由于AA1CC1，所以A1，A，C，C1四点共面(设为)又PBD，BD
56、，故P.又PAC，AC，所以P，所以P，同理可证得Q，所以PQ.又A1C，所以A1C与平面的交点就是A1C与PQ的交点，则A1C与PQ的交点就是所求的交点R.10.(2016南京一中检测)如图，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点求证：四边形B1EDF是平行四边形证明：设Q是DD1的中点，连结EQ，QC1，如图因为E是AA1的中点，Q是DD1的中点，所以EQ綊A1D1.又A1D1綊B1C1，所以EQ綊B1C1，所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E綊C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，所以QD綊C1F，所以四边形DQC1F为平行四边形，所以C1Q綊
57、DF.故B1E綊DF，所以四边形B1EDF是平行四边形三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.答案：2设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是_若AC与BD共面，则AD与BC共面；若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线；若ABAC，DBDC，则ADBC；若ABAC，DBDC，则A
58、DBC.解析：中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；中，若ABAC，DBDC，AD不一定等于BC；中，若ABAC，DBDC，可以证明ADBC.答案：3如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点，问：(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由解：(1)不是异面直线理由如下：连结MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MNA1C1.又因为A1AC1C，A1AC1C，所以A1ACC1为
59、平行四边形，所以A1C1AC，所以MNAC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线(2)是异面直线证明如下：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，所以D1，B，C，C1，与B，C，C1，D1不共面矛盾所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线第四节 直线、平面平行的判定及其性质1直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行(线线平行线面平行)la，a，l，l性质定理如果一条直线与一个平面平行
60、，经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行线线平行”)l，l，b，lb2平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)a，b，abP，a，b，性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线平行，a，b，ab小题体验1下列说法中正确的是_(填序号)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；如果直线l和平面平行，那么过平面内
61、一点和直线l平行的直线在内解析：由线面平行的性质定理知正确；由直线与平面平行的定义知正确；错误，因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面答案：2(教材习题改编)已知平面平面，直线a，有下列命题：a与内的所有直线平行；a与内无数条直线平行；a与内的任意一条直线都不垂直其中真命题的序号是_答案：3.(教材习题改编)如图所示，在四面体ABCD中，M，N分别是ACD，BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是_解析：连结AM并延长，交CD于E，连结BN，并延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点E，连结MN，由，得MNAB.因此，MN平面ABC
62、且MN平面ABD.答案：平面ABC、平面ABD1直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件2面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件3如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交小题纠偏1直线m，n均不在平面，内，给出下列命题：若mn，n，则m；若m，则m；若mn，n，则m；若m，则m.其中正确命题的个数是_解析：因为直线m，n均不在平面，内，所以若mn，n，则m，正确；若m，则m，正确；若mn，n，则m，正确；若m，则m，正确所以其中正确命题的个数是4.答案：42已知a，b表示直线，表示平面下列命题中，正确命题的个数是_若a，b，则a
63、b；若a，则a；若a，b，则ab；若a，b，则ab.解析：由a，b，得a与b平行、相交或异面，所以错误；由a，可得a与相交或平行，所以错误；由a，b，得a与b异面或平行，所以错误；易知正确答案：1题组练透1(易错题)已知直线a与直线b平行，直线a与平面平行，则直线b与的位置关系是_解析：依题意，直线a必与平面内的某直线平行，又ab，因此直线b与平面的位置关系是平行或直线b在平面内答案：平行或直线b在平面内2若平面外一条直线上有两点到该平面的距离相等，则这条直线与平面的位置关系是_解析：当两点在平面的同侧时，这条直线与平面平行；当两点在平面的异侧时，这条直线与平面相交所以这条直线与平面的位置关系
64、是平行或相交答案：平行或相交3若直线a平面，直线b平面，a，b是异面直线，则，的位置关系是_解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB平面ABCD，B1C1平面A1B1C1D1，B1C1平面BCC1B1，平面ABCD平面A1B1C1D1，平面ABCD与平面BCC1B1相交故填平行或相交答案：平行或相交谨记通法解决平行关系基本问题的3个注意点(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视，如“题组练透”第1题(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确考点二直线与平面平行的判定与性质典型母题(2016南通模拟)如图所示，
65、斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点(1)证明：AD1平面BDC1.(2)证明：BD平面AB1D1.证明(1)D1，D分别为A1C1与AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，C1D1綊DA，四边形ADC1D1为平行四边形，AD1C1D，又AD1平面BDC1，C1D平面BDC1，AD1平面BDC1.(2)连结D1D，BB1平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1平面BB1D1DD1D，BB1D1D，又D1，D分别为A1C1与AC的中点，BB1DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，BDB1D1，又BD平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，
66、BD平面AB1D1.类题通法证明直线与平面平行的3种方法(1)定义法：一般用反证法；(2)判定定理法：关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；(3)性质判定法：即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面 越变越明变式1将母题条件“D1，D分别为A1C1，AC上的中点”变为“D1，D分别为A1C1，AC上的点”在线段A1C1上确定点D1使得BC1平面AB1D1?解：如图，取D1为线段A1C1的中点，此时1，连结A1B交AB1于点O，连结OD1，由棱柱的性质知四边形A1ABB1为平行四边形，O为A1B的中点在A1BC1中，点O，D1分别为A
67、1B，A1C1的中点，OD1BC1，又OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，BC1平面AB1D1当1时，BC1平面AB1D1.破译玄机在线段上探索点的位置确定位置关系时，一般是先猜线段的中点或某一个三等分点，然后给出证明但要注意条件中给出的已知点的位置或线段的比例值的应用 变式2将母题条件“D，D1分别为AC，A1C1上的中点”变为“D，D1分别为AC，A1C1上的点且平面BC1D平面AB1D1”，试求的值解：连结A1B交AB1于点O，由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O得BC1D1O，.同理得DC1AD1，又D1C1AD，
68、四边形ADC1D1为平行四边形，D1C1AD.，1，1，即1.考点三平面与平面平行的判定与性质典例引领(2016衡水模拟)如图所示的几何体ABCDFE中，ABC，DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.(1)求几何体ABCDFE的体积；(2)证明：平面ADE平面BCF.解：(1)取BC的中点O，ED的中点G，连结AO，OF，FG，AG.AOBC，AO平面ABC，平面BCED平面ABC，AO平面BCED.同理FG平面BCED.AOFG，VABCDFE42.(2)证明：由(1)知AOFG，AOFG，四边形AOFG为平行四边形，AGOF.又
69、DEBC，DEAGG，DE平面ADE，AG平面ADE，FOBCO，FO平面BCF，BC平面BCF，平面ADE平面BCF.由题悟法判定平面与平面平行的5种方法(1)利用定义；(2)利用面面平行的判定定理；(3)利用面面平行的判定定理的推论；(4)面面平行的传递性(， )；(5)利用线面垂直的性质(l，l )即时应用(2016江苏天一中学检测)如图，平面平面，A，C，B，D，点E，F分别在线段AB与CD上，且，求证：EF平面.证明：若直线AB和CD共面，因为，所以EFACBD.因为EF平面，BD平面，所以EF平面.若AB与CD异面连结BC，并在BC上取一点G，使得.连结EG，FG，则在BAC中，E
70、GAC.又AC平面，EG平面，所以EG平面.又平面平面，EG平面，所以EG平面.同理可得GF平面.因为EGGFG，所以平面EGF平面.又EF平面EGF，所以EF平面.综合，得EF平面.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1如图，在正方体中，点E是棱DD1上一点，若BD1平面AEC，则点E的位置是_解析：取AC的中点O，连结OE，因为BD1平面AEC，根据线面平行的性质定理知BD1OE，所以E是DD1的中点答案：DD1的中点2(2016金陵中学检测)过两平行平面，外的点P作两条直线AB与CD，它们分别交于A，C两点，交于B，D两点，若PA6，AC9，PB8，则BD的长为_解析：因为两条直线AB与CD相
71、交于点P，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面，的交线分别为AC，BD，且ACBD，所以.又PA6，AC9，PB8，所以BD12.答案：123已知平面外不共线的三点A，B，C到的距离都相等，则正确的结论是_(填序号)平面ABC必平行于；平面ABC必与相交；平面ABC必不垂直于；存在ABC的一条中位线在内解析：平面外不共线且到距离都相等的三点可以在平面的同侧，也可以在平面的异侧，若A，B，C在的同侧，则平面ABC必平行于；若A，B，C在的异侧，则平面ABC必与相交且交线是ABC的一条中位线所在的直线，故均错误，正确故填.答案：4在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，
72、P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件_时，有平面D1BQ平面PAO.解析：如图所示，假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QBPA.连结DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1BPO，又D1B平面PAO，QB平面PAO，所以D1B平面PAO，QB平面PAO，又D1BQBB，所以平面D1BQ平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ平面PAO.答案：Q为CC1的中点5.(2016海门中学检测)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为_解析：如图，取AB，C1
73、D1的中点M，N，连结A1M，MC，CN，NA1，因为A1NPC1且A1NPC1，PC1MC且PC1MC，所以A1N綊MC，所以四边形A1MCN是平行四边形因为A1NPC1，A1MBP，A1NA1MA1，C1PPBP，所以平面A1MCN平面PBC1.因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形A1MCN.连结MN，过A1作A1HMN于点H，因为A1MA1N，MN2，所以A1H，所以SA1MN2.故SA1MCN2SA1MN2.答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1(2016盐城二调)已知l是一条直线，是两个不同的平面若从“l；l；”中选取两个作为条件，另一个作为结论，试写出一个你认为正确
74、的命题_(请用序号表示)解析：由两个作为条件，另一个作为结论的所有可能情形有：；.其中不正确，l还可以在平面内；不正确，l还可以在平面内，也可以平行于平面；是正确命题答案：2正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 cm，过AC作平行于对角线BD1的截面，则截面面积为_cm2.解析：如图所示，截面ACEBD1，平面BDD1平面ACEEF，其中F为AC与BD的交点，E为DD1的中点，SACE (cm2)答案：3.(2016通州高级中学检测)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F是对角线A1D，B1D1的中点，则正方体六个面中有_个面与直线EF平行解析：连结DC1，A1C1.因为F为B
75、1D1的中点，所以F为A1C1的中点，又E为A1D的中点，所以EFDC1.又EF平面DC1，DC1平面DC1，所以EF平面CC1D1D.同理可证EF平面A1ABB1.答案：24(2016阜宁中学检测)已知平面平面，且与间的距离为d，直线a与相交于点A，与相交于点B，若ABd，则直线a与所成的角为_解析：过点B作BC于点C，在直角三角形ABC中，直线a与平面所成的角为BAC.又由条件，得sinBAC，所以BAC60.答案：605过三棱柱ABC A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1 平行的直线共有_条解析：过三棱柱ABC A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记AC，BC，
76、A1C1，B1C1的中点分别为E，F，E1，F1，则直线EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共有6条答案：66，是三个平面，a，b是两条直线，有下列三个条件：，b；a，b；b，a.如果命题“a，b，且_，则ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是_(填上你认为正确的所有序号)解析：，a，bab(面面平行的性质)如图所示，在正方体中，a，b，a，b，而a，b异面，故错b，b，aab(线面平行的性质)答案：7(2016福州模拟)已知直线a，b异面，给出以下命题：一定存在平行于a的平面使b；一定存在平行于a的平面使b；一定存在平行于a的平面使b；
77、一定存在无数个平行于a的平面与b交于一定点则其中论断正确的是_(填序号)解析：对于，若存在平面使得b，则有ba，而直线a，b未必垂直，因此不正确；对于，注意到过直线a，b外一点M分别引直线a，b的平行线a1，b1，显然由直线a1，b1可确定平面，此时平面与直线a，b均平行，因此正确；对于，注意到过直线b上的一点B作直线a2与直线a平行，显然由直线b与a2可确定平面，此时平面与直线a平行，且b，因此正确；对于，在直线b上取一定点N，过点N作直线c与直线a平行，经过直线c的平面(除由直线a与c所确定的平面及直线c与b所确定的平面之外)均与直线a平行，且与直线b相交于一定点N，因此正确综上所述，正确
78、答案：8(2016云南模拟)在三棱锥S ABC中，ABC是边长为6的正三角形，SASBSC15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H，D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为_解析：取AC的中点G，连结SG，BG.易知SGAC，BGAC，故AC平面SGB，所以ACSB.因为SB平面DEFH，SB平面SAB，平面SAB平面DEFHHD，则SBHD.同理SBFE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也为AS，SC的中点，从而得HF綊AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形又ACSB，SBHD，DEAC，所以DEHD，所以四边形D
79、EFH为矩形，其面积SHFHD.答案：9.如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，ABBC，D为AC的中点，AA1AB2.(1)求证：AB1平面BC1D；(2)设BC3，求四棱锥B DAA1C1的体积解：(1)证明：连结B1C，设B1C与BC1相交于点O，连结OD，如图所示四边形BCC1B1是平行四边形，点O为B1C的中点D为AC的中点，OD为AB1C的中位线，ODAB1.OD平面BC1D，AB1平面BC1D，AB1平面BC1D.(2)AA1平面ABC，AA1平面AA1C1C，平面ABC平面AA1C1C.平面ABC平面AA1C1CAC，连结A1B，作BEAC，垂足为E，
80、则BE平面AA1C1C.ABAA12，BC3，ABBC，在RtABC中，AC，BE，四棱锥B AA1C1D的体积V(A1C1AD)AA1BE23.10(2016南京名校联考)如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，且ABEF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且ADEFAF1，AB2.(1)求证：平面AFC平面CBF；(2)在线段CF上是否存在一点M，使得OM平面DAF？并说明理由解：(1)证明：平面ABCD平面ABEF，CBAB，平面ABCD平面ABEFAB，CB平面ABEF，AF平面ABEF，AFCB，又AB为圆O的直径，AFBF，CBBFB，AF平面CBF.AF平面AFC
81、，平面AFC平面CBF.(2)取CF中点记作M，设DF的中点为N，连结AN，MN，则MN綊CD，又AO綊CD，则MN綊AO，MNAO为平行四边形，OMAN，又AN平面DAF，OM平面DAF，OM平面DAF.即存在一点M为CF的中点，使得OM平面DAF.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1.(2016天一中学检测)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足_时，有MN平面B1BDD1(写出一种情况即可)解析：取B1C1的中点R，连结FR，NR，FH，易证平面FHNR平面B1BDD
82、1，所以当M线段FH时，有MN平面FHNR，所以MN平面B1BDD1.答案：M线段FH2如图，AE平面，垂足为E，BF平面，垂足为F，l，C，D，ACl，则当BD与l_时，平面ACE平面BFD.解析：可证l平面ACE，故需l平面BFD.因为BF，l，所以BFl，故只需BDl.故填垂直答案：垂直3.如图所示，在三棱锥P ABC中，平面PAC平面ABC，PAAC，ABBC.设D，E分别为PA，AC的中点(1)求证：DE平面PBC.(2)在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由解：(1)证明：点E是AC中
83、点，点D是PA的中点，DEPC.又DE平面PBC，PC平面PBC，DE平面PBC.(2)当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行取AB的中点F，连结EF，DF.由(1)可知DE平面PBC.点E是AC中点，点F是AB的中点，EFBC.又EF平面PBC，BC平面PBC，EF平面PBC.又DEEFE，平面DEF平面PBC.平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC平行第五节 直线、平面垂直的判定及其性质1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线
84、l与平面互相垂直(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 l性质定理垂直于同一个平面，那么这两条直线平行ab2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直性质定理如果两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面l小题体验1已知直线a，b和平面，若a，b，则a与b的位置关系是_解析：由线面垂直的性质定理可知，若a，b，则ab.答案：平行2.如图所示，在三棱锥DABC中，ABBC，ADCD，
85、E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的位置关系是_解析：易知BEAC，DEAC，所以AC平面BDE.又AC平面ADC，所以平面ADC平面BDE.答案：垂直3(教材习题改编)PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连结PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_对解析：由于PD平面ABCD，故平面PAD平面ABCD，平面PDB平面ABCD，平面PDC平面ABCD，平面PDA平面PDC，平面PAC平面PDB，平面PAB平面PAD, 平面PBC平面PDC，共7对答案：71证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件2面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视3面面垂直的性质
86、定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误小题纠偏1“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的_条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件答案：必要不充分2下列说法中正确的是_(填序号)若平面和平面分别过两条互相垂直的直线，则；若平面内的一条直线垂直于平面内的两条平行直线，则；若平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则；若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.解析：中，与还可能平行或相交且不垂直，
87、所以不正确；因为由平面内的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，得，所以不正确，正确答案：3已知两个平面垂直，给出下列命题，其中正确命题的序号是_一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；过一个平面内一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面解析：因为两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线，所以不正确；因为两个平面垂直，一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，所以正确；因为两个平面垂直，一个平面内垂直于交线的已知直
88、线必垂直于另一个平面，所以不正确，正确答案：考点一直线与平面垂直的判定与性质题组练透1若一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，则能保证该直线与平面垂直的是_(填序号)三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边解析：由线面垂直的判定定理可知能判定直线与平面垂直，中梯形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直，中由于正六边形的两边不一定相交，所以无法判定直线与平面垂直答案：2(2016南京调研)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDE.(1)证明：BD平面PAC；(2)若PA1，AD2，求三棱锥E BCD的体积解：(
89、1)证明：PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.PC平面BDE，BD平面BDE，PCBD.又PAPCP，BD平面PAC.(2)如图所示，设AC与BD的交点为O，连结OE.PC平面BDE，PCOE.由(1)知，BD平面PAC，BDAC，由题设条件知，四边形ABCD为正方形由AD2，得ACBD2，OC.在RtPAC中，PC3.易知RtPACRtOEC，即，OE，CE.VEBCDSCEOBDOECEBD2.谨记通法直线和平面垂直判定的4种方法(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推论(ab，ab)；(3)利用面面平行的性质(a，a)；(4)利用面面垂直的性质当两个平面垂直时，在一个平面内垂
90、直于交线的直线垂直于另一个平面典例引领(2016连云港期末)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D为BC的中点，E为BD的中点，F在AC1上，且AC14AF.求证：(1)平面ADF平面BCC1B1；(2)EF平面ABB1A1.证明：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，而AD平面ABC，所以CC1AD.又ABAC，D为BC的中点，所以ADBC.因为BCCC1C，BC平面BCC1B1，CC1平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1，又AD平面ADF，所以平面ADF平面BCC1B1.(2)连结CF并延长交AA1于点G，连结GB.因为AC14AF，AA1CC1，所以C
91、F3FG.因为D为BC的中点，E为BD的中点，所以CE3EB，所以EFGB.又EF平面ABB1A1，GB平面ABB1A1，所以EF平面ABB1A1.由题悟法面面垂直判定的2种方法与1个转化(1)2种方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)(2)1个转化：在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直即时应用(2016长春一调)如图所示，E是以AB为直径的半圆弧上异于A，B的点，矩形ABCD所在平面垂直于该半圆所在的平面(1)求证：EAEC.(2)设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F.求证：EFAB.证明：(1)E是半圆上异
92、于A，B的点，AEEB.又平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，CBAB，CB平面ABE.又AE平面ABE，CBAE.BCBEB，AE平面CBE.又EC平面CBE，AEEC.(2)CDAB，AB平面ABE，CD平面ABE.又平面CDE平面ABEEF，CDEF.又CDAB，EFAB.命题分析空间线、面的平行与垂直的综合考查一直是高考必考热点常见的命题角度有：(1)证明多面体中的平行与垂直关系；(2)探索性问题中的平行与垂直问题；(3)折叠问题中的平行与垂直问题题点全练角度一：证明多面体中的平行与垂直关系1(2015江苏高考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCC
93、C1，设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1.证明：(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1B1C.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1C
94、C，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.角度二：探索性问题中的平行与垂直关系2(2016苏北四市调研)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC2AB2，且BC1A1C.(1)求证：平面ABC1平面A1ACC1.(2)设D是A1C1的中点，在线段BB1上是否存在点E，使DE平面ABC1？若存在，求三棱锥E ABC1的体积；若不存在，请说明理由解：(1)证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，有A1A平面ABC，A1AAC.又A1AAC，A1CAC1.又BC1A1C，AC1BC1C1，AC1，BC1平面ABC1，A1C平面ABC1.A1C平面A1ACC1，
95、平面ABC1平面A1ACC1.(2)存在E为BB1的中点取A1A的中点F，连结EF，FD.则EFAB，DFAC1，EFDFF，ABAC1A，平面EFD平面ABC1.ED平面EFD，ED平面ABC1.VE ABC1V112.角度三：折叠问题中的平行与垂直关系3如图所示，在矩形ABCD中，AB3，BC4，E，F分别在线段BC，AD上，EFAB，将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF平面ECDF.(1)求证：NC平面MFD；(2)若EC3，求证：NDFC；(3)求四面体NEFD体积的最大值解：(1)证明：平行四边形MNEF和EFDC都是矩形，MNEF，EFCD，MNEFC
96、D，MNCD.四边形MNCD是平行四边形NCMD.NC平面MFD，MD平面MFD，NC平面MFD.(2)证明：连结ED，交FC于点O.平面MNEF平面ECDF，且NEEF，平面MNEF平面ECDFEF，NE平面MNEF，NE平面ECDF.FC平面ECDF，FCNE.ECCD，四边形ECDF为正方形，FCED.又EDNEE，ED，NE平面NED，FC平面NED.ND平面NED，NDFC.(3)设NEx，则FDEC4x，其中0x4，由(2)得NE平面FEC，四面体NEFD的体积为VNFEDSEFDNEx(4x)VNFED22，当且仅当x4x，即x2时，四面体NFED的体积最大，最大为2.方法归纳平
97、行与垂直的综合应用问题处理的2个策略(1)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点(2)折叠问题中的平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含着的垂直关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1在梯形ABCD中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线CD与平面内的直线的位置关系只能是_解析：因为ABCD，AB平面，CD平面，所以CD平面，所以CD与平面内的直线可能平行，也可能异面答案：平行或异面2.如图，在RtABC中，ABC90，P为ABC所在平面外一点，PA平面ABC，则四面体P ABC中
98、共有直角三角形个数为_解析：由PA平面ABC可得PAC，PAB是直角三角形，且PABC.又ABC90，所以ABC是直角三角形，且BC平面PAB，所以BCPB，即PBC为直角三角形，故四面体P ABC中共有4个直角三角形答案：43设a，b为不重合的两条直线，为不重合的两个平面，给出下列命题：若a且b，则ab；若a且a，则；若，则一定存在平面，使得，；若，则一定存在直线l，使得l，l.上面命题中，所有真命题的序号是_解析：中a与b可能相交或异面，故不正确垂直于同一直线的两平面平行，正确中存在，使得与，都垂直中只需直线l且l就可以答案：4.如图，PAO所在平面，AB是O的直径，C是O上一点，AEPC
99、，AFPB，给出下列结论：AEBC；EFPB；AFBC；AE平面PBC，其中真命题的序号是_解析：AE平面PAC，BCAC，BCPAAEBC，故正确，AEPC，AEBC，PB平面PBCAEPB，AFPB，EF平面AEFEFPB，故正确，若AFBCAF平面PBC，则AFAE与已知矛盾，故错误，由可知正确答案：5如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD3 cm，则直线AA1到平面BB1D1D的距离为_ cm.解析：连结AC交BD于点O，则AOBD.因为BB1平面ABCD，AO平面ABCD，所以BB1AO.又BB1BDB，所以AO平面BB1D1D.又AA1BB1，AA1平面BB1D1D，B
100、B1平面BB1D1D，所以AA1平面BB1D1D，所以线段AO的长就是直线AA1到平面BB1D1D的距离因为ABAD3 cm，ABAD，AOBD，所以AO，即直线AA1到平面BB1D1D的距离为.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1如图，边长为2的正方形ABCD在平面上的射影为四边形EFCD，且AB到平面的距离为，则AD与平面所成的角为_解析：易知ADE为AD与平面所成的角在RtAED中，AE，AD2，所以sinADE，所以ADE30.答案：302如图，BC是RtBAC的斜边，过A作ABC所在平面的垂线AP，连结PB，PC，过A作ADBC于点D，连结PD，那么图中直角三角形的个数是_解析：由
101、线面垂直的判定与性质，可知直角三角形有ABC，ADC，ADB，PAB，PAD，PAC，PDB，PDC，共8个答案：83.(2016启东中学检测)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是DD1的中点，则下列结论正确的是_(填序号)线段A1M与B1C所在直线为异面直线；对角线BD1平面AB1C；平面AMC平面AB1C；直线A1M平面AB1C.解析：由异面直线的定义，可知正确；易证明BD1AB1，BD1AC，所以BD1平面AB1C，所以正确；连结BD交AC于点O，连结OM，可以证明OMBD1，所以OM平面AB1C，进而可得平面AMC平面AB1C，所以正确；由题意，得直线A1M与平面AB1C相交
102、，所以不正确答案：4如图，已知三棱锥PABC的所有棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中正确的是_(填序号)BC平面PDF；DF平面PAE；平面PDF平面ABC；平面PAE平面ABC.解析：由BCDF，得BC平面PDF，故正确；由BCAE，BCPE，得BC平面PAE，所以DF平面PAE，平面PAE平面ABC，故都正确易知不正确答案：5(2016上饶质检)已知m，n是两条不相同的直线，是两个不重合的平面，现有以下说法：若，n，m，则mn；若m，m，n，则n；若mn，m，n，则；若m，n，则mn；若，m，n，则mn.其中正确说法的序号为_解析：对于，注意到分别位于两个平
103、行平面内的两条直线未必平行，可能是异面直线，因此不正确；对于，由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得知，平行；由定理“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面”得知，n，因此正确；对于，由定理“由空间一点向一个二面角的两个半平面分别引垂线，则这两条垂线所成的角与该二面角相等或互补”得知，正确；对于，分别平行两个垂直平面的两条直线未必垂直，因此不正确；对于，m与n有可能平行，因此不正确综上所述，其中正确的说法有.答案：6(2016常州期末)给出下列四个命题：“直线a直线b”的必要不充分条件是“a平行于b所在的平面”；“直线l平面”的充要条件是“l垂直于平面内的无数条直线”；
104、“平面平面”是“内有无数条直线平行于平面”的充分不必要条件；“平面平面”的充分条件是“有一条与平行的直线l垂直于”上述命题中，所有真命题的序号为_解析：是既不充分也不必要条件；是充分不必要条件，即“直线l平面”可得“l垂直于平面内的无数条直线”，反之不成立；正确答案：7.如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连结AC，BD，则ACBD，PA底面ABCD，PABD.又PAACA，BD平面PAC，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD.而PC平面P
105、CD，平面MBD平面PCD.答案：DMPC(或BMPC)8.如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱长为2，ACBC1，ACB90，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1平面C1DF，则线段B1F的长为_解析：设B1Fx，因为AB1平面C1DF，DF平面C1DF，所以AB1DF.由已知可以得A1B1，设RtAA1B1斜边AB1上的高为h，则DEh.又2h，所以h，DE.在RtDB1E中，B1E .由面积相等得 x，得x.即线段B1F的长为.答案：9.如图，几何体EFABCD中，CDEF为边长为2的正方形，ABCD为直角梯形，ABCD，ADDC，AD2，AB4
106、，ADF90.(1)求证：ACFB；(2)求几何体EF ABCD的体积解：(1)证明：由题意得，ADDC，ADDF，且 DCDFD，AD平面CDEF，ADFC.四边形CDEF为正方形，DCFC，DCADD，FC平面ABCD，FCAC.又四边形ABCD为直角梯形，ABCD，ADDC，AD2，AB4，AC2，BC2，则有AC2BC2AB2，ACBC，又BCFCC，AC平面FCB，ACFB.(2)连结EC，过B作CD的垂线，垂足为N，易知BN平面CDEF，且BN2.VEF ABCDVE ABCDVB EFCS梯形ABCDDESEFCBN，几何体EF ABCD的体积为.10(2015陕西高考)如图1，
107、在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBCADa，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置，得到四棱锥A1BCDE.(1)证明：CD平面A1OC；(2)当平面A1BE平面BCDE时，四棱锥A1BCDE的体积为36，求a的值解：(1)证明：在图1中，因为ABBCADa，E是AD的中点，BAD，所以BEAC.即在图2中，BEA1O，BEOC，又A1OOCO，所以BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)可得A1OBE，所以A1O平面BCDE.即A1O是四棱锥A1BC
108、DE的高由图1知，A1OABa，平行四边形BCDE的面积SBCABa2，从而四棱锥A1BCDE的体积为VSA1Oa2aa3.由a336，得a6.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016兰州质检)如图，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是_(写出所有正确说法的序号)不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN平面DEC；不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MNAE；不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MNAB；在折起过程中，一定存在某个位置，使ECAD.解析：由已知，在未折叠的原梯形
109、中，ABDE，BEAD，所以四边形ABED为平行四边形，所以BEAD，折叠后如图所示过点M作MPDE，交AE于点P，连结NP.因为M，N分别是AD，BE的中点，所以点P为AE的中点，故NPEC.又MPNPP，DECEE，所以平面MNP平面DEC，故MN平面DEC，正确；由已知，AEED，AEEC，所以AEMP，AENP，又MPNPP，所以AE平面MNP，又MN平面MNP，所以MNAE，正确；假设MNAB，则MN与AB确定平面MNBA，从而BE平面MNBA，AD平面MNBA，与BE和AD是异面直线矛盾，错误；当ECED时，ECAD.因为ECEA，ECED，EAEDE，所以EC平面AED，AD平面
110、AED，所以ECAD，正确答案：2.如图所示，已知长方体ABCD A1B1C1D1，点O1为B1D1的中点(1)求证：AB1平面A1O1D.(2)若ABAA1，在线段BB1上是否存在点E使得A1CAE？若存在，求出；若不存在，说明理由解： (1)证明：如图(1)所示，连结AD1交A1D于点G，G为AD1的中点连结O1G.在AB1D1中，O1为B1D1的中点，O1GAB1.O1G平面A1O1D，且AB1平面A1O1D，AB1平面A1O1D.(2)若在线段BB1上存在点E使得A1CAE，连结A1B交AE于点M，如图(2)所示BC平面ABB1A1，AE平面ABB1A1，BCAE.又A1CBCC，且A
111、1C，BC平面A1BC，AE平面A1BC.A1B平面A1BC，AEA1B.在AMB和ABE中，BAMABM90，BAMBEA90，ABMBEA.RtABERtA1AB，.ABAA1，BEABBB1，即在线段BB1上存在点E使得A1CAE，此时.命题点一空间几何体的表面积与体积难度：中命题指数：1.(2015山东高考改编)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为_解析：绕等腰直角三角形的斜边所在的直线旋转一周形成的曲面围成的几何体为两个底面重合，等体积的圆锥，如图所示每一个圆锥的底面半径和高都为，故所求几何体的体积V22.答案：2
112、(2015江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_解析：设新的底面半径为r，由题意得524228r24r28，r27，r.答案：3(2014江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且，则的值是_解析：设甲、乙两个圆柱的底面半径分别是r1，r2，母线长分别是l1，l2.则由可得.又两个圆柱的侧面积相等，即2r1l12r2l2，则，所以.答案：4.(2015安徽高考)如图，三棱锥PABC中，PA平面AB
113、C，PA1，AB1，AC2，BAC60.(1)求三棱锥PABC的体积；(2)证明：在线段PC上存在点M，使得ACBM，并求的值解：(1)由题设AB1，AC2，BAC60，可得SABCABACsin 60.由PA平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高又PA1，所以三棱锥PABC的体积VSABCPA.(2)证明：在平面ABC内，过点B作BNAC，垂足为N.在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连结BM.由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC.由于BNMNN，故AC平面MBN.又BM平面MBN，所以ACBM.在RtBAN中，ANABcosBAC，从而NCACAN.由MNPA，得.命题点二
114、组合体的“切”“接”问题难度： 中命题指数：1(2015全国卷改编)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥O ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为_解析：如图，设球的半径为R，AOB90，SAOBR2.VOABCVC AOB，而AOB面积为定值，当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大，为R2R36，R6，球O的表面积为4R2462144.答案：1442(2014陕西高考改编)已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_解析：因为该正四棱柱的外接球的半径是
115、四棱柱体对角线的一半，所以半径r1，所以V球13.答案：3(2013全国卷)已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_解析：过O作底面ABCD的垂线段OE，连结EA，则E为正方形ABCD的中心由题意可知()2OE，所以OE，故球的半径ROA，则球的表面积S4R224.答案：24命题点三直线、平面平行与垂直的判定与性质难度： 中命题指数：1(2015四川高考)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；(3)证明：直线
116、DF平面BEG.解：(1)点F，G，H的位置如图所示(2)平面BEG平面ACH.证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BCFG，BCFG.又FGEH，FGEH，所以BCEH，BCEH，于是四边形BCHE为平行四边形，所以BECH.又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH.同理BG平面ACH.又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.(3)证明：连接FH，与EG交于点O，连接BD.因为ABCDEFGH为正方体，所以DH平面EFGH.因为EG平面EFGH，所以DHEG.又EGFH，DHFHH，所以EG平面BFHD.又DF平面BFHD，所以DFEG.同理DFBG.又EGBGG，所以D
117、F平面BEG.2(2015全国卷)如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积解：(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.又BDBEB，故AC平面BED.因为AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在RtAEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体积V三棱锥EAC
118、DACGDBEx3，故x2.从而可得AEECED.所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥EACD的侧面积为32.3.(2015北京高考)如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积解：(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB.又因为VB平面MOC，OM平面MOC，所以VB平面MOC.(2)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平
119、面VAB.又OC平面MOC，所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1.所以等边三角形VAB的面积SVAB.又因为OC平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于OCSVAB.又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为.4(2014四川高考)在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形(1)若ACBC，证明：直线BC平面ACC1A1；(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE平面A1MC？请证明你的结论解：(1)证明：因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩
120、形，所以AA1AB，AA1AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC，所以AA1BC.又由已知，ACBC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC平面ACC1A1.(2)取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点由已知，O为AC1的中点连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1的中位线，所以，MD綊AC，OE綊AC，因此MD綊OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DEMO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.
