1、 类型1两个基本计数原理的应用【例1】某电视台连续播放6个广告，其中有三个不同的商业广告、两个不同的CBA宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且CBA宣传广告与公益广告不能连续播放，两个CBA宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？解由题意知，这里是元素不相邻的问题，首先排列3个商业广告，有A6种结果，再在三个商业广告形成的四个空中排列三个元素；注意最后一个位置一定要有广告，共有CA18种结果，根据分步计数原理知共有618108种结果使用分类加法计数原理还是分步乘法计数原理，要根据我们完成某件事情时采取的方式而定，怎样确定是分类还是分步？“分类”表现为其中任何一类均
2、可独立完成所给事情.“分步”表现为必须把各步骤均完成，才能完成所给事情，所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件.分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步用什么方法.应用时我们分类要做到“不重不漏”，分步做到“步骤完整”.跟进训练1五个成年人和两个小孩(一男一女)排成一排照相，要求每个小孩两边都是成年人，且小女孩要和其母亲(五个成年人之一)排在一起，问：有多少种不同的排法？解第一步：从其他四位成年人中选出一人和小女孩的母亲排
3、在小女孩的两边成“成女母”的方法数为CA8种第二步：把“成女母”看成一个成年人和另外三位成年人排成一排的方法数为A24种第三步：把小男孩插入相应的位置的方法数为A3满足条件的排法数为8243576种 类型2重复元素的排列、组合问题【例2】设4名同学报名参加同一时间安排的三种课外活动方案有a种，4名同学在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的结果有b种，则(a，b)为()A(34，43)B(33，34)C(43，34)D(A，A)思路点拨遇到元素重复的问题，往往用分步乘法计数原理求解，但要搞清“主次”对象本题的前半部分题意是“人报名”，后半部分题意是“冠军归属人”A每名学生报名有3
4、种选择，4名学生报名就有34种选择，每项冠军有4种可能归属，3项冠军有43种可能结果我们常见的排列、组合问题，其中的元素通常是不可重复的，那么遇到有重复元素的排列、组合问题时，我们该如何求解呢？(1)一般地，从n个不同元素里有放回的取出m(mn)个元素(允许重复出现)，按一定顺序排成一列，那么第1、第2、第m次选取元素的方法都有n种，由分步乘法计数原理得，从n个不同元素里有放回的取出m个元素(允许重复出现)的排列数为：Nnnnnnm(m，nN*，mn).(2)“隔板法”是解决组合问题中关于若干个相同元素的分组问题的一种常用方法.这类问题就是把n(n1)个相同的元素分配到m(1mn)个不同的组，
5、使得每组中都至少有一个元素，求一共有多少种不同的分法的问题，它关注的是每组元素的个数是多少，而不是每组中元素是什么.跟进训练2乒乓球比赛用球的直径为40.00 mm，一种乒乓球筒高200 mm，现有4个乒乓球筒，则要将5个比赛用球放到4个乒乓球筒里(乒乓球筒可以空着)，共有多少种不同的放法？解200405(个)，即一个乒乓球筒中最多可装5个乒乓球法一：分类法第一类：全部放入1个乒乓球筒里，有C4种放法；第二类：放入2个乒乓球筒里，有C 424种放法；第三类：放入3个乒乓球筒里，有C 624种放法；第四类：放入4个乒乓球筒里，有4种放法所以，不同的放法种数为42424456法二：隔板法将4个乒乓
6、球筒与5个乒乓球看成9个相同元素，除去两边共形成了8个空隙，在这8个空隙中放进3个隔板即有C56种不同的放法 类型3排列与组合中元素的相邻与不相邻问题【例3】学校举行数学模块考试，最后一个考场只有6个学生，其中有4个文科生和2个理科生，要求把这6个学生排成一列，最后一个必须是理科生，且2个理科生不能相邻，则不同的安排方法有()A720种B48种C96种D192种思路点拨由于2个理科生不能相邻，故可用插空法求解D先将4个文科生全排有A种排法，再从2个理科生中任选一个放在最后，有C种排法，最后将剩下的1个理科生插空(不能与最后一个相邻)有C种排法，所以一共有ACC192种不同的排法求解排列与组合中
7、元素“相邻”和“不相邻”的问题，应遵循“先整体，后局部”的原则.(1)元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间或两端将需要不相邻的元素插入.(2)元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先将相邻的若干元素捆绑为一个大元素，然后与其他元素全排列，最后松绑，将这若干个元素内部全排列.跟进训练3用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的五位数，其中恰有一个奇数夹在两个偶数之间的五位数有多少个？解第一步：先将两个偶数排好，有A种不同的排法；第二步：两个偶数之间的奇数，可以有A种选择；第三步：将两个偶数和它们中间的奇数捆在一起，与另外两个奇数排列，有
8、A种不同的排法由分步乘法计数原理，适合题意的五位数共有AAA36个【例】(1axby)n展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243，不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为()Aa2，b1，n5Ba2，b1，n6Ca1，b2，n6Da1，b2，n5思路点拨对于(1axby)n，虽然我们没有学过三项展开式，但所谓“不含x的项”，只需令(1axby)n中a0即可，“不含y的项”也只需令b0这样三项展开式就变成了二项展开式，又可以用我们所熟悉的二项式的性质来解题了D令a0，y1，则(1)n24335；令b0，x1，则(1)n3225，则可取a1，b2，n5，选D赋值法是给代数式(
9、或方程或函数)表达式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于问题解决的目的.实际上赋值法中所体现的是从一般到特殊的转化思想，特别是在二项式定理中的应用尤为广泛.一般地，对于多项式f(x)(pxq)na0a1xa2x2anxn，f(x)的各项的系数和为f(1)；f(x)的奇数项的系数和为f(1)f(1)；f(x)的偶数项的系数和为 f(1)f(1).素养提升练设(3x1)6a6x6a5x5a4x4a3x3a2x2a1xa0，求a6a4a2a0的值解令x1，得a6a5a4a3a2a1a02664令x1，得a6a5a4a3a2a1a0(4)64 096两式相加，得2(a6a4a2a0)4 160，a6a4a2a02 080