1、名校精华重组数学试题（8）第I卷（选择题 共60分）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1设全集U是实数集R，Mx|x24，Nx|x3或x1都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）Ax|2x1 Bx|2x2 Cx|1x2 Dx|x22在ABC中,“A30”是“sinA”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3如图,在四边形ABCD中,则的值（ ）A2 B C4 D4对于任意的直线与平面，在平面内必有直线，使与（ ）A平行 B相交 C垂直 D互为异面直线5点P在曲线上移动，设点P
2、处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）A0， B0，）,)C,) D(,6已知正方体的外接球的体积是,则这个正方体的棱长是（ ）A B C D7将7个人（含甲乙）分成三个组,一组3人,另两组各2人,不同的分组数为a,甲乙分在同一组的概率为P,则aP的值分别为（ ）Aa105,P Ba105,PCa210,P Da210,P8已知(a2),(xR),则p,q的大小关系为（ ） Apq Bpq Cpq Dpq9当0x时,函数的最小值为（ ）A2 B C4 D10在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，M为AD中点，O为侧面AA1B1B的中心，P为侧棱CC1上任意一点，那么异面直线OP与BM所成的角
3、是（ A ）。 A90 B60 C45 D3011设函数 ，若，则的取值范围是（ ） A（，1） B（，） C（，）（0，） D（，）（1，）12已知=（ ）A2008 B2008 C2010 D2010第II卷（非选择题 共90分）第13题图Oyx二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13已知函数的图象如图所示，则 14已知变量满足约束条件若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为_15从集合中，随机选出4个数组成子集，使得这4个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的概率为_16把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如
4、图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列，若，则_三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17 （本小题满分12分）ABC中，（I）求C的大小；（）设角A，B，C的对边依次为，若，且ABC是锐角三角形，求的取值范围18（本小题满分12分）一名高二学生盼望进入某名牌大学学习，不放弃能考入该大学的任何一次机会。已知该大学通过以下任何一种方式都可被录取：2010年2月国家数学奥赛集训队考试通过（集训队从2009年10月省数学竞赛壹等奖获得者中选拔，通过考试进入集训队则能被该大学提前录取）； 2010年3月自主招生考试通过并且2010
5、年6月高考分数达重点线； 2010年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线）。该名考生竞赛获省一等奖自主招生考试通过高考达重点线高考达该校分数线等事件的概率如下表：事件省数学竞获一等奖自主招生考试通过高考达重点线高考达该校分数线概率05070806如果数学竞赛获省一等奖，该学生估计自己进入国家集训队的概率是04。（1）求该学生参加自主招生考试的概率；（2）（理）求该学生参加考试次数的分布列与数学期望；（3）求该学生被该大学录取的概率。19（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC，P为A1C1的中点，AB=BC=kPA。 （I）当k=1时，求证PAB1C；
6、 （II）当k为何值时，直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为，并求此时二面角APCB的余弦值。20（本小题满分12分）已知等差数列为递增数列，且是方程的两根，数列的前项和； （1）求数列和的通项公式； （2）若，为数列的前n项和，证明：21（本小题满分12分）已知函数 （1）若上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程； （2）若函数上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a。22（本小题满分14分）已知椭圆的左右焦点分别为，点是轴上方椭圆上的一点，且, , () 求椭圆的方程和点的坐标；（）判断以为直径的圆与以椭圆的长轴为直径的圆的位置关系；（）若点是椭圆：上的任意一点
7、，是椭圆的一个焦点，探究以为直径的圆与以椭圆的长轴为直径的圆的位置关系参考答案第I卷（选择题 共60分）一选择题1答案：A 解析：图中阴影部分表示N(UM)，M|x24x|x2或x2UMx|2x2，N(UM)2x12答案：B 解析:举反例,如A30,设A160,则sinAsin20sin30,则“A30”不是“sinA”的充分条件;如果sinA,则A(30,150),即有A303答案：C 解析：解方程组,得,又,与共线且方向相同又,=22+0+0=44答案：C 解析：对于任意的直线与平面，若在平面内，则存在直线m；若不在平面内，且，则平面内任意一条直线都垂直于，若不在平面内，且于不垂直，则它的
8、射影在平面内为一条直线，在平面内必有直线垂直于它的射影，则与垂直，综上所述，选C5答案：B 解析:y3x2-1,故导函数的值域为-1，+)切线的斜率的取值范围为-1,+）设倾斜角为,则tan-10,),0,),)6答案:D 解析:根据球的体积是,可得球的半径为2而球的直径4就是正方体的对角线长,从而正方体的棱长为7答案：A 解析：将7个人分成三组按要求有105种分法,将甲乙两人分在同一组有两种情况：在三人一组,这时有种情况;在两人一组,这时有种情况8答案:A 解析：2+2=4,当且仅当a=3时，取得等号；而由于x2-2-2,故,当且仅当x=0时，取得等号，故pq9答案:C 解析:0x,tanx
9、0当时,f(x)min=4故选C10答案：A 解析：运用平行和垂直的有关知识。11答案：D 解：（图解法）在同一直角坐标系中，作出函数的图象和直线，它们相交于（1，1）和（1，1）两点，由，得或12答案：A 解析： 数列有251项，故选A。第II卷（非选择题 共90分）二、填空题13答案： 解析：由图象可得最小正周期为所以，注意到与关于对称，故14答案：(1，+) 解析：已知变量满足约束条件 在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD，其中A(3，1)，目标函数（其中）中的z表示斜率为a的直线系中的截距的大小，若仅在点处取得最大值，则斜率应小于，即，所以的取值范围为(1，+)。15答案： 解析
10、：，概率为16答案：1028 解析：图乙中第行有个数，第行最后的一个数为，前行共有个数，由知出现在第45行，第45行第一个数为1937，第个数为2011，所以三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17解：（1）依题意：，即，又， ， ，（2）由三角形是锐角三角形可得，即。由正弦定理得 ， ， ， ， 即。18解：（1）；（2），分布列为234P020503（3）设自主招生通过且高考达重点线录取自主招生未通过且高考达该校录取的事件分别为CD，则，故该学生被该大学录取的概率为：。19（方法一） （I）连接B1P，因为在直三棱柱ABCA1B1C1中，P为A1C
11、1的中点，AB=BC，所以B1P面A1C。所以B1PAP。又因为当k=1时，AB=BC=PA=PC，APPC。AP平面B1PC，PAB1C。 （II）取线段AC中点M，线段BC中点N，连接MNMC1NC1，则MN/AB，AB平面B1C，MN平面B1C，是直线PA与平面BB1C1C所成的角，设AB=a，即时，直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为此时，过点M作MH，垂足为H，连接BH，由三垂线定理得BHPC，所以是二面角APCB的平面角。设AB=2，则BC=2，PA=-4，在直角三角形中AA1P中，连接MP，在直角三角形中由，又由，在直角三角形中BMH中，解得，在直角三角形BMH中所以二面
12、角APCB的余弦值是（方法二）以点B为坐标原点，分别以直线BABCBB1为x轴y轴建立空间直角坐标系Oxyz， （I）设AB=2，则AB=BC=PA=2根据题意得：所以 （II）设AB=2，则，根据题意：A（2，0，0），C（0，2，0）又因为所以，所以由题意得即即时，直线PA与平面BB1C1C所成的角的正弦值为的法向量设平面BPC的一个法向量为由，得，所以此时二面角APCB的余弦值是20解：（）由 题意得公差2分所以4分由6分得 所以8分 （）由（）得21解：（1）设切线的斜率为k则 2分又 5分即 6分 （2）即对任意的 8分而等号成立，所以所以满足条件的a值为1 12分22解: ()在椭圆上 , 1分, 2分, 所以椭圆的方程是： 4分， 5分（）线段的中点 以为圆心为直径的圆的方程为 圆的半径 8分，以椭圆的长轴为直径的圆的半径，两圆圆心分别是和的中点，两圆心间的距离，所以两圆内切14分
