1、2016-2017学年湖南省长沙市周南中学高三（下）第八次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=1，2，3，4，B=x|y=，则AB=（）A1，2B1，2，3C4，5D3，4，52复数的虚部等于（）A1BiC1Di3某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m与销售额y（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：y3040p5070m24568经测算，年广告支出m与年销售额y满足线性回归方程=6.5m+17.5，则p的值为（）A45B50C55D604下列说法正确的是（
2、）A“若a1，则a21”的否命题是“若a1，则a21”B“x2”是“”的充要条件C“若tan，则”是真命题Dx0（，0），使得34成立5欧阳修煤炭翁中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为1.5cm圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（）ABCD6按图所示的程序框图运算：若输出k=2，则输入x的取值范围是（）A（20，25B（30，32C（28，57D（30，577设四边形ABCD为平行四边形，|=6，|=4，若点M、N满足，
3、则=（）A20B15C9D68若0ab1，c1，则（）AacbcBabcbacClogablogbaDlogaclogbc9已知函数f（x）=sinx+cosx（0），在区间（，）上单调递增，则的取值范围为（）A（0，1B1，2）C，2）D（2，+）10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD11设A、B分别为双曲线C：=1（a0，b0）的左、右顶点，P是双曲线C上异于A、B的任一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则取得最小值时，双曲线C的离心率为（）A2BCD12已知函数，若关于x的方程f2（x）（m+1）f（x）+m=0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（
4、）A（0，e）B（1，e）C（e，2e）D（e，+）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值是 14设ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知a=5，b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C的大小是 15已知P为圆C：（x2）2+（y2）2=1上任一点，Q为直线l：x+y+2=0上任一点，O为原点，则的最小值为 16函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定（A，B）=叫做曲线y=f（x）在点A，B之间的“平方弯曲度”，设曲线y=ex
5、+x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=1，则（A，B）的最大值为 三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知各项为正的数列an的前n项和为Sn，数列an满足Sn=（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足bn=，它的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n，都有Tn118经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品以X（单位：t，100X150）表示下一个销售
6、季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润（）将T表示为X的函数；（）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率19如图，菱形ABCD的边长为4，BAD=60，ACBD=O将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥BACD，点M是棱BC的中点，DM=2（I）求证：OD平面ABC；（）求直线MD与平面ABD所成角的正弦20如图，曲线由曲线C1： +=1（ab0）和曲线C2：=1（a0，b0，y0）组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，已知F2（2，0）F4（6，0）（1）求曲线C1和C2的方程（2）如图，作直
7、线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A，B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上（3）若直线l1过点F4交曲线C1于点C，D，求CDF1面积的最大值21已知函数f（x）=exax2（e是自然对数的底数aR）（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）若k为整数，a=1，且当x0时， f（x）1恒成立，其中f（x）为f（x）的导函数，求k的最大值请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上选修4-4：坐标系与参数方程22以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
8、已知点M的直角坐标为（1，0），若直线l的极坐标方程为cos（+）1=0，曲线C的参数方程是（t为参数）（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求+选修4-5不等式选讲23已知关于x的不等式|x3|+|xm|2m的解集为R（）求m的最大值；（）已知a0，b0，c0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c的值2016-2017学年湖南省长沙市周南中学高三（下）第八次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=1，2，3，4，B
9、=x|y=，则AB=（）A1，2B1，2，3C4，5D3，4，5【考点】1E：交集及其运算【分析】由解析式求出函数的定义域B，由交集的运算求出AB【解答】解：由3x0得x3，则B=x|y=x|x3，又集合A=1，2，3，4，则AB=1，2，3，故选：B2复数的虚部等于（）A1BiC1Di【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： =，则复数的虚部等于1故选：C3某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m与销售额y（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：y3040p5070m24568经测算，年广告支出m与年销售额
10、y满足线性回归方程=6.5m+17.5，则p的值为（）A45B50C55D60【考点】BK：线性回归方程【分析】求出，代入回归方程计算，从而得出p的值【解答】解： =5，=6.55+17.5=50，=50，解得p=60故选：D4下列说法正确的是（）A“若a1，则a21”的否命题是“若a1，则a21”B“x2”是“”的充要条件C“若tan，则”是真命题Dx0（，0），使得34成立【考点】2K：命题的真假判断与应用【分析】A，“若a1，则a21”的否命题是“若a1，则a21”；B，由“x2”可以得到“”，由“”不能推出”x2”C，若tan，则，则；D，当x0（，0）时，34；【解答】解：对于A，“
11、若a1，则a21”的否命题是“若a1，则a21”，故错；对于B，由“x2”可以得到“”，由“”不能推出”x2”，故错；对于C，若tan，则，则，故正确；对于D，当x0（，0）时，34，故错；故选：C5欧阳修煤炭翁中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为1.5cm圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（）ABCD【考点】CF：几何概型【分析】由题意分别求圆和正方形的面积，由几何概型的概率公式可得【解答】解：由题意可得铜钱的面积S=
12、（）2=，边长为0.5cm的正方形孔的面积S=0.52=，所求概率P=故选：A6按图所示的程序框图运算：若输出k=2，则输入x的取值范围是（）A（20，25B（30，32C（28，57D（30，57【考点】EF：程序框图【分析】根据框图的流程计算k=1时输出x值与k=2时输出x的值，利用k=1时不满足条件x115，k=2时满足条件x11，求得x的范围【解答】解：由程序框图知：第一次循环x=2x+1，k=1；第二次循环x=2（2x+1）+1，k=2，当输出k=2时，应满足，得28x57故选：C7设四边形ABCD为平行四边形，|=6，|=4，若点M、N满足，则=（）A20B15C9D6【考点】9R
13、：平面向量数量积的运算【分析】根据图形得出=+=，=， =（）=2，结合向量结合向量的数量积求解即可【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，根据图形可得： =+=，=，=，=（）=2，2=22，=22，|=6，|=4，=22=123=9故选：C8若0ab1，c1，则（）AacbcBabcbacClogablogbaDlogaclogbc【考点】4B：指数函数的单调性与特殊点【分析】根据不等式的基本性质和指数函数和对数函数的性质即可判断【解答】解：0ab1，c1，acbc，abcbac，logablogba，logaclogbc，故选：B9已知函数f（x）=sinx+cosx（0）
14、，在区间（，）上单调递增，则的取值范围为（）A（0，1B1，2）C，2）D（2，+）【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式为函数f（x）=2sin（x+），在区间（，）上单调递增，即可且，kZ，根据0，可得的取值范围【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx（0），化简可得：f（x）=2sin（x+），在区间（，）上单调递增，且，kZ，解得： kZ，0，当k=0时，可得01，故选A10某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）ABCD【考点】L!：由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，底面是腰长为2的
15、等腰直角三角形，高为2，即可求出该四棱锥的体积【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，底面是腰长为2的等腰直角三角形，高为2，所以它的体积V=，故选A11设A、B分别为双曲线C：=1（a0，b0）的左、右顶点，P是双曲线C上异于A、B的任一点，设直线AP，BP的斜率分别为m，n，则取得最小值时，双曲线C的离心率为（）A2BCD【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】由题意求得直线AP及PB斜率，根据对数的运算性质即可求得ln|m|+ln|n|=ln丨mn丨=ln，构造函数，求导，根据函数的单调性即可求得t=1时，h（t）取最小值， =1，利用双曲线的离心率公式即可求得答案【解答】解：由A
16、（a，0），B（a，0），设P（x0，y0），则=1，y02=b2（），则m=，n=，则mn=，ln|m|+ln|n|=ln丨mn丨=ln，则=+ln=+2ln，设=t，t0，则h（t）=+2lnt，t0，h（t）=，t1时，h（t）递增；0t1，h（t）递减则t=1时，h（t）取最小值，=1时则双曲线的离心率e=，故选：C12已知函数，若关于x的方程f2（x）（m+1）f（x）+m=0恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A（0，e）B（1，e）C（e，2e）D（e，+）【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】判断f（x）的单调性，作出f（x）的函数图象，根据方程可得f（x
17、）=1或f（x）=m，根据图象可知f（x）=m有三解，从而得出m的范围【解答】解：当x1时，f（x）=，f（x）=，f（x）在（1，e）上单调递减，在（e，+）上单调递增，当x=e时，f（x）取得极小值f（e）=e，同理可得f（x）在（0，1）上单调递增，作出f（x）的函数图象如图所示：由f2（x）（m+1）f（x）+m=0得f（x）=1或f（x）=m，由图象可知f（x）=1只有1解，f（x）=m有三个解，me故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13若变量x，y满足约束条件，则z=x+y的最小值是2【考点】7C：简单线性规划【分析】由约束条件作出
18、可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合定点最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（1，1），化目标函数z=x+y为y=x+z，由图可知，当直线y=x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为11=2故答案为：214设ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知a=5，b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C的大小是【考点】HP：正弦定理【分析】由正弦定理化简已知等式可得3a=5b，进而可求b，c的值，利用余弦定理可求cosC的值，结合范围C（0，），即可得解C的值【解答】解：3sinA=5sinB，由
19、正弦定理可得：3a=5b，又a=5，b+c=2a，b=3，c=7，cosC=，又C（0，），C=故答案为：15已知P为圆C：（x2）2+（y2）2=1上任一点，Q为直线l：x+y+2=0上任一点，O为原点，则的最小值为【考点】J9：直线与圆的位置关系【分析】圆心C（2，2）到直线l的距离d=3，O到直线l的距离h=，当C、P、O、Q共线，且OQl时，取最小值【解答】解：P为圆C：（x2）2+（y2）2=1上任一点，Q为直线l：x+y+2=0上任一点，O为原点，圆心C（2，2）到直线l的距离d=3，O到直线l的距离h=，如图，当C、P、O、Q共线，且OQl时，|OQ|=，|OP|=3=2，此时取
20、最小值为|2|=故答案为：16函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定（A，B）=叫做曲线y=f（x）在点A，B之间的“平方弯曲度”，设曲线y=ex+x上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=1，则（A，B）的最大值为【考点】3O：函数的图象【分析】根据定义得出（A，B）的解析式，利用基本不等式求出最大值【解答】解：kAkB=（e+1）（e+1）=ee=e（e1），|AB|2=（x1x2）2+（y1y2）2=（x1x2）2+（ee）+（x1x2）2=1+e（e1）+12=e（e1）2+2e（e1）+2，（A，B）=，
21、当且仅当e（e1）=即x2=ln时取等号故答案为：三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知各项为正的数列an的前n项和为Sn，数列an满足Sn=（1）求数列an的通项公式；（2）设数列bn满足bn=，它的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n，都有Tn1【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式【分析】（1）由，得a1=1，当n2时，an=SnSn1=，从而，由数列an各项为正，得anan1=1，从而数列an是以a1=1为首项，公差为1的等差数列，由此能求出an（2）bn=，由此利用裂项求和法能证明对任意正整数，都有Tn1【解答】解：（1）各项为正的
22、数列an的前n项和为Sn，数列an满足Sn=，解得a1=1，或a1=0（舍），当n2时，an=SnSn1=，=，数列an的各项为正，an+an10，anan1=1，数列an是以a1=1为首项，公差为1的等差数列，an=1+（n1）1=n（2）证明：数列bn满足bn=，由（nN*）得：Tn=（）+（）+（）=11对任意正整数，都有Tn118经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品以X（单位：t，100X150）表示下一个销售季
23、度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润（）将T表示为X的函数；（）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率【考点】B8：频率分布直方图【分析】（I）由题意先分段写出，当X100，130）时，当X130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120X150再由直方图知需求量X120，150的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值【解答】解：（I）由题意得，当X100，130）时，T=500X300=800X39000，当X130，15
24、0时，T=500130=65000，T=（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120X150由直方图知需求量X120，150的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.719如图，菱形ABCD的边长为4，BAD=60，ACBD=O将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥BACD，点M是棱BC的中点，DM=2（I）求证：OD平面ABC；（）求直线MD与平面ABD所成角的正弦【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定【分析】（）只需证明ODAC，DOOM，即可证得OD面ABC（）设M到平面ABD的距离为h，直线MD与平面ABD
25、所成的角为由VMADB=VDABM求出h，即sin即可【解答】解：（）证明：ABCD是菱形，AD=DC，ODAC ADC中，AD=DC=4，ADC=120，OD=2，又M是DC中点，OD2+OM2=MD2，DOOMOM，AC面ABC，OMAC=0，OD面ABC （）ABM中，AB=4，BM=2，ABM=120sABM=2由（）得OD面ABCVMADB=VDABM=设M到平面ABD的距离为h，直线MD与平面ABD所成的角为，A到DB的距离d=VMADB=，即sin=直线MD与平面ABD所成角的正弦为20如图，曲线由曲线C1： +=1（ab0）和曲线C2：=1（a0，b0，y0）组成，其中点F1，
26、F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，已知F2（2，0）F4（6，0）（1）求曲线C1和C2的方程（2）如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A，B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上（3）若直线l1过点F4交曲线C1于点C，D，求CDF1面积的最大值【考点】KC：双曲线的简单性质【分析】（1）由F2（2，0），F4（6，0），可得，解得a，b的值；（2）曲线C2的渐近线为y=x，如图，设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），设直线l：y=（xm），与椭圆方程联立化为2x22mx+（m2a2）=0，利用0，根与
27、系数的关系、中点坐标公式，只要证明y0=x0即可（3）设直线l1的方程为x=ny+6（n0）与椭圆方程联立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出【解答】解：（1）F2（2，0），F4（6，0），则曲线的方程为+=1（y0）和=1（y0）；（2）证明：曲线C2的渐近线为y=x，如图，设直线l：y=（xm）则2x22mx+（m2a2）=0，=（2m）242（m2a2）=8a24m20ama，又由数形结合知ma，ama，设点A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）则x1+x2=m，x1x2=，x0=m，y0
28、=（x0m）=，y0=x0，即弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线y=x上 （3）由（1）知，曲线C1为+=1（y0），点F4（6，0）设直线l1的方程为x=ny+6（n0）由（4n2+5）y2+48ny+64=0，=（48n）2464（4n2+5）0n21，设C（x3，y3），D（x4，y4），由韦达定理：y3+y4=，y3y4=，|y3y4|=16S=|F1F4|y3y4|=816=64令t=0，n2=t2+1，S=64=64，t0，4t+12，当且仅当t=即n=时等号成立n=时，CDF1面积的最大值为21已知函数f（x）=exax2（e是自然对数的底数aR）（1）求函数f（x）的单调
29、递增区间；（2）若k为整数，a=1，且当x0时， f（x）1恒成立，其中f（x）为f（x）的导函数，求k的最大值【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）求出导数，讨论a0，a0，求出函数的增区间；（2）运用参数分离可得k+x，令g（x）=+x（x0），求出导数，求单调区间，运用零点存在定理，求得零点，即可得到k的最大值【解答】解：（1）f（x）=exa若a0，则f（x）0恒成立，所以f（x）在区间（，+）上单调递增，若a0，当x（lna，+）时，f（x）0，f（x）在（lna，+）上单调递增综上，当a0时，f（x）的增区间为（，+）；当a0时
30、，f（x）的增区间为（lna，+）；（2）由于a=1，所以f（x）1（kx）（ex1）x+1，当x0时，ex10，故（kx）（ex1）x+1k+x，令g（x）=+x（x0），则g（x）=+1=函数h（x）=exx2在（0，+）上单调递增，而h（1）0，h（2）0，所以h（x）在（0，+）上存在唯一的零点，即g（x）在（0，+）上存在唯一的零点，设此零点为a，则a（1，2）当x（0，a）时，g（x）0；当x（a，+）时，g（x）0；所以，g（x）在（0，+）上的最小值为g（a）由g（a）=0可得ea=a+2，所以，g（a）=a+1（2，3）由于式等价于kg（a）故整数k的最大值为2请考生在第（2
31、2）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上选修4-4：坐标系与参数方程22以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的直角坐标为（1，0），若直线l的极坐标方程为cos（+）1=0，曲线C的参数方程是（t为参数）（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求+【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程【分析】（）直线l的极坐标方程化为cossin1=0，由x=cos，y=sin，能求出直线l的普通方程；曲线C的参数方程消去参数能求出
32、曲线C的普通方程（）点M的直角坐标为（1，0），点M在直线l上，求出直线l的参数方程，得到，由此利用韦达定理能求出的值【解答】解：（）因为，所以cossin1=0由x=cos，y=sin，得xy1=0因为消去t得y2=4x，所以直线l和曲线C的普通方程分别为xy1=0和y2=4x（）点M的直角坐标为（1，0），点M在直线l上，设直线l的参数方程：（t为参数），A，B对应的参数为t1，t2，=1选修4-5不等式选讲23已知关于x的不等式|x3|+|xm|2m的解集为R（）求m的最大值；（）已知a0，b0，c0，且a+b+c=m，求4a2+9b2+c2的最小值及此时a，b，c的值【考点】R5：绝对值不等式的解法；3H：函数的最值及其几何意义【分析】（）利用|x3|+|xm|（x3）（xm）|=|m3|，对x与m的范围讨论即可（）构造柯西不等式即可得到结论【解答】解：（）|x3|+|xm|（x3）（xm）|=|m3|当3xm，或mx3时取等号，令|m3|2m，m32m，或m32m解得：m3，或m1m的最大值为1；（）由（）a+b+c=1由柯西不等式：（ +1）（ 4a2+9b2+c2）（a+b+c）2=1，4a2+9b2+c2，等号当且仅当4a=9b=c，且a+b+c=1时成立即当且仅当a=，b=，c=时，4a2+9b2+c2的最小值为2017年7月28日