1、互动课堂疏导引导1.周期性(1)周期函数:一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.(2)正弦函数的周期从正弦线的变化规律可以看出,正弦函数是周期函数,2k(kZ且k0)是它的周期,最小正周期是2.正弦函数的周期也可由诱导公式sin(x+2k)=sinx(kZ)得到.由sin(x+2k)=sinx(kZ)可知当自变量x的值每增加或减少2的整数倍时,正弦函数值重复出现,即正弦函数具有周期性,且周期为2k(kZ),最小正周期为2.类似地,可以探索余弦函数的周期为2k,最小正
2、周期为2.2.奇偶性(1)正弦函数y=sinx(xR)是奇函数,由诱导公式 sin(-x)=-sinx可知上述结论成立.反映在图象上,正弦曲线关于原点O对称.正弦曲线是中心对称图形,其所有对称中心为(k,0);正弦曲线也是轴对称图形,其所有对称轴方程为x=k+,kZ.(2)余弦函数的奇偶性与对称性奇偶性:由诱导公式知cos(-x)=cosx,可知余弦函数是偶函数,它的图象关于y轴对称.对称性:余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标是(k+,0)(kZ);余弦曲线是轴对称图形,其所有的对称轴方程是x=k(kZ).3.单调性(1)正弦函数的单调性在正弦函数的一个周期中,由正弦曲线可以看出,当
3、x由-增加到时,sinx由-1增加到1;当x由增大到时,sinx由1减小到-1,情况如下表:x-0sinx-1010-1由正弦函数的周期性可知: 正弦函数y=sinx在每一个闭区间-+2k, +2k(kZ)上,都从-1增大到1,是增函数;在每一个闭区间+2k, +2k(kZ)上,都从1减小到-1,是减函数.(2)余弦函数的单调性 通过观察余弦函数的图象,可得余弦函数的单调性.余弦函数在每一个闭区间2k,(2k+1)(kZ)上都是减函数,它的值由1减小到-1;在每一个闭区间(2k+1),2(k+1)(kZ)上都是增函数,它的值由-1增大到1.4.最值 从正弦函数、余弦函数的图象可以看出,它们的值
4、域都为-1,1.对正弦函数来说,当x=2k+ (kZ)时,取得最大值1;当x=2k- (kZ)时,取得最小值-1.对余弦函数来说,当x=2k(kZ)时,取得最大值1;当x=2k+(kZ)时,取得最小值-1.活学巧用1.求下列函数的周期:(1)y=sinx;(2)y=2sin(-).解析:(1)如果令m=x,则sinx=sinm是周期函数且周期为2.sin(x+2)=sinx,即sin (x+4)=sinx.y=sinx的周期是4.(2)2sin(-+2)=2sin(-),即2sin(x+6)-=2sin(-),2sin(-)的周期是6.答案:(1)4;(2)6.2.若函数f(x)是奇函数,当x
5、0时,f(x)=x2-sinx,当x0时,求f(x)的解析式.解析:设x0,则-x0.x0时,f(x)=x2-sinx,f(-x)=x2-sin(-x)=x2+sinx.又f(x)为奇函数,f(-x)=-f(x).-f(x)=x2+sinx.f(x)=-x2-sinx.答案:f(x)=-x2-sinx(x0).3.写出函数y=sin(2x+)图象的对称轴方程及对称中心坐标.解析:令2x+=k+ (kZ)得x=+(kZ),令2x+=k(kZ)得x=- (kZ).函数y=sin(2x+)图象的对称轴方程为x=+ (kZ),对称中心坐标为(-,0)(kZ).答案:对称轴方程x=+ (kZ),对称中心
6、(-,0)(kZ).4.求y=cos(-x)的单调递增区间.解析:函数y=cos(-x)=cos(x-),y=cos(-x)的单调递增区间就是y=cos(x-)的单调递增区间,由下式确定:2k-x-2k,kZ.2k-x2k+,kZ,即函数y=cos(-x)的单调递增区间是2k-,2k+,kZ.5.若sinx=a-1有意义,则a的取值范围是_.解析:|sinx|1,|a-1|1.-1a-11.0a2.答案:0a26.y=4cos2x,xR有最值吗?若有,请写出最大值、最小值的x的集合.解析:函数y=4cos2x取最大值的集合为x|2x=2k,kZ,即x|x=k,kZ.同理,函数y=4cos2x取最小值的集合为x|x=k+,kZ.