1、第2课时分段函数根据我国地理学家的估算，我国的水资源总量约为27 000亿(m3)，而可利用的水资源不足总量的1%，现我国属于水资源贫困的国家，为了加强公民的节水意识，某城市制定每户月用水收费(含用水费和污水处理费)标准：用水量不超过10 m3部分超过10 m3部分水费(元/m3)2.273.40污水处理费(元/m3)0.300.80问题(1)如果小明家上个月用水量为8.9 m3，这个月用水量为12 m3，他家两个月分别应该交多少水费？(2)每月用水量x(m3)与应交水费y(元)之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？这个解析式有什么特点？知识点分段函数1分段函数如果函数yf(x)，xA，根据
2、自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数2分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象理解分段函数应关注4点(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系；(2)分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数自变量的取值范围；(3)分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分开
3、写成几个集合的形式；(4)分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集 1f(x)|x1|的图象是()解析：选Bf(x)|x1|当x1时，f(1)0，可排除A、C.又x1时，f(1)2，排除D.故选B.2若函数f(x)则f(f(f(2 021)_解析：f(2 021)0，f(f(2 021)f(0)，f(f(f(2 021)f()21.答案：213函数y的定义域为_，值域为_答案：(，0)(0，)2(0，)分段函数的定义域、值域例1(1)已知函数f(x)，则其定义域为()ARB(0，)C(，0) D(，0)(0，)(2)函数f(x)的定义域为_，值域为_解析(1)要使f(x)有意
4、义，需x0，故定义域为(，0)(0，)(2)由已知定义域为x|0x10x|1x0x|1x1，即(1，1)又0x1时，0x211，1x0时，1x210，x0时，f(x)0，故值域为(1，0)0(0，1)(1，1)答案(1)D(2)(1，1)(1，1)1分段函数定义域、值域的求法(1)分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；(2)分段函数的值域是各段函数值域的并集2绝对值函数的定义域、值域通常要转化为分段函数来解决 跟踪训练函数f(x)的值域是()AR B0，)C0，3 D0，23解析：选D当x0，1时，f(x)2x20，2，所以函数f(x)的值域为0，22，30，23.分段函数求值问题例2已知函
5、数f(x)(1)求f(f(f(2)的值；(2)若f(a)，求a.解(1)21时，f(a)1，a21；当1a1时，f(a)a21，a1，1；当a1(舍去)综上，a2或a.1求分段函数的函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间；(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值2已知函数值求字母取值的步骤(1)先对字母的取值范围分类讨论；(2)代入到不同的解析式中；(3)通过解方程求出字母的值；(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内 跟踪训练1已知函数f(x)设f(0)a，则f(a)()A2B1C. D0解析：选Aaf(0)0311，f(a)f(
6、1)2(1)2，故选A.2设f(x)若f(a)f(a1)，则f()A2 B4C6 D8解析：选C当0a1，则f(a)，f(a1)2(a11)2a，f(a)f(a1)，2a，解得a.ff(4)2(41)6.当a1时，a12，f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a，则2(a1)2a，无解综上，f6.分段函数的图象及应用例3(链接教科书第54页例3)已知函数f(x)1(2x2)(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出函数的图象；(3)写出该函数的值域解(1)当0x2时，f(x)11，当2x0时，f(x)11x.f(x)(2)函数f(x)的图象如图所示：(3)由(2)知，f(x)在(2，2
7、上的值域为1，3)母题探究(变条件)若本例条件变为“已知函数f(x)|x|2”，如何求解？解：(1)f(x)|x|2(2)函数的图象如图所示：(3)由图可知，f(x)的值域为2，)分段函数图象的画法(1)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象；(2)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏 跟踪训练1设xR，定义符号函数sgn x则函数f(x)|x|sgn x的图象大致是()解析：选C函数f(x)
8、|x|sgn x故函数f(x)|x|sgn x的图象为yx所在的直线，故选C.2(多选)已知f(x)则不等式xf(x)x2的解可以是()A1 B2C1 D3解析：选AC当x0时，原不等式可化为xx2，x1，0x1；当x0时，原不等式可化为x2，x0.综上，不等式的解集为(，1故可选A、C.分段函数的应用问题例4(链接教科书第56页练习5题)某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块
9、场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12x30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12x30)，试求f(x)与g(x)的解析式；(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？解(1)由题意f(x)6x，x12，30，g(x)(2)12x20时，6x90，解得：x15，即当12x15时，f(x)g(x)，当x15时，f(x)g(x)，当15g(x)当20g(x)，故当12x15时，选A俱乐部合算，当x15时，两家俱乐部一样合算，当15x30时，选B俱乐部合算分段函数的实际应用(1)当目标在不同
10、区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画；(2)分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间，对每一个区间进行分类讨论，从而写出相应的函数解析式 跟踪训练小王家在县城A地，现在主城B地上学，周六小王的父母早上8时从家出发，驾车3 h到达主城B地，由于交通等原因，小王父母的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系为s(t)5t(t13)，到达主城B地后，小王父母把车停在B地，在学校陪小王玩到16时，然后开车从B地以60 km/h的速度沿原路返回(1)求这天小王父母的车所走路程y(单位：km
11、)与离家时间t(单位：h)的函数解析式；(2)在距离小王家60 km处有一加油站，求这天小王父母的车途经加油站的时间解：(1)依题意得当0t3时，s(t)5t(t13)s(3)53(313)150.即小王家距B地150 km.小王父母的车在B地逗留时间为16835(h)，当3t8时，y150.小王父母从B地回家所花时间为2.5(h)，当8t10.5时，y15060(t8)60t330.故y(2)当0t3时，令5t(t13)60，得t213t120，解得t1或t12(舍去)，当t1时，小王父母的车经过加油站的时间为9时；当8t10.5时，令60t330150260，解得t9.5，当t9.5时，小
12、王父母的车经过加油站的时间为17时30分这天小王父母的车途经加油站的时间为9时和17时30分1一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图示可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是()解析：选B根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A、D，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C，故选B.2若函数f(x)则f的值为()A. BC. D18解析：选Af(2)22224，ff1，故选A.3(多选)下列给出的函数是分段函数的是()Af(x)Bf(x)Cf(x)Df(x)解析：选AD对于B，取x2，得f(2)3或4，对于C，取x1，f(1)5或1，所以B、C都不合题意，故选A、D.4已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是_解析：由题图可知，f(x)的图象是由两条线段组成的当1x0时，设f(x)axb，将(1，0)，(0，1)代入解析式，得解得当0x1时，设f(x)kx，将(1，1)代入，得k1.所以f(x)的解析式为f(x)答案：f(x)