1、单元质检卷四三角函数、解三角形(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020北京延庆一模,5)下列函数中最小正周期为的函数是()A.y=sin xB.y=cos12xC.y=tan 2xD.y=|sin x|2.若f(x)=3cos(2x+)的图像关于点43,0中心对称,则|的最小值为()A.6B.4C.3D.23.(2020湖南郴州二模,文6)某画家对蒙娜丽莎的缩小影像作品进行了粗略测绘,将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧,在嘴角A,C处作圆弧的切线,两条切线交于B点,测得如下数据:AB=6
2、cm,BC=6 cm,AC=10.392 cm其中320.866.根据测量得到的结果推算,将蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于()A.3B.4C.2D.234.(2020天津和平一模,6)已知函数f(x)=sin 2x-2sin2x+1,给出下列四个结论,其中正确的结论是()A.函数f(x)的最小正周期是2B.函数f(x)在区间8,58上单调递减C.函数f(x)的图像关于x=16对称D.函数f(x)的图像可由函数y=2sin 2x的图像向左平移4个单位长度得到5.(2019全国3,文5)函数f(x)=2sin x-sin 2x在0,2的零点个数为()A.2B.3C.4D.56.
3、(2020湖南郴州二模,文9)函数y=f(x)在区间-2,2上的大致图像如图所示,则f(x)可能是()A.f(x)=ln|sin x|B.f(x)=ln(cos x)C.f(x)=-sin|tan x|D.f(x)=-tan|cos x|7.(2020北京密云一模,8)函数f(x)=sin(x+)(0,|)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递增区间为()A.-54+k,-14+k,kZB.-54+2k,-14+2k,kZC.-54+k,-14+k,kZD.-54+2k,-14+2k,kZ8.(2020河北5月模拟,理10)已知x0是函数f(x)=2sin xcos x+23sin2x-3,x
4、-4,4的极小值点,则f(x0)+f(2x0)的值为()A.0B.-3C.-2-3D.-2+3二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.(2020山东济宁5月模拟,11)已知函数f(x)=cos2x-3-2sinx+4cosx+4(xR),现给出下列四个命题,其中正确的是()A.函数f(x)的最小正周期为2B.函数f(x)的最大值为1C.函数f(x)在-4,4上单调递增D.将函数f(x)的图像向左平移12个单位长度,得到的函数解析式为g(x)=sin 2x10.在ABC中,下列命题正确的有(
5、)A.若A=30,b=4,a=5,则ABC有两解B.若0tan Atan B0)的图像向右平移3个单位长度得到函数y=g(x)的图像,且f(x)与g(x)的图像关于点3,0对称,那么的最小值为.16.(2020新高考全国1,15)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示.O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心,A是圆弧AB与直线AG的切点,B是圆弧AB与直线BC的切点,四边形DEFG为矩形,BCDG,垂足为C,tanODC=35,BHDG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线DE和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为cm2.四、解答题:本题共6小
6、题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f(x)=cos2x+3sin(-x)cos(+x)-12.(1)求函数f(x)在区间0,上的单调递减区间;(2)在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知f(A)=-1,a=2,bsin C=asin A,求ABC的面积.18.(12分)(2020山东济宁6月模拟,17)如图,在四边形ABCD中,ABAD,DC=2.在下面给出的三个条件中任选一个,补充在上面的问题中,并加以解答.3AB=4BC,sinACB=23;tanBAC+6=3;2BCcosACB=2AC-3AB.(1)求DAC的大小;(2)
7、求ADC面积的最大值.19.(12分)(2020山东淄博4月模拟,18)已知点A,B分别在射线CM,CN(不含端点C)上运动,MCN=23,在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c依次成等差数列,且公差为2,求c的值;(2)若c=3,ABC=,试用表示ABC的周长,并求周长的最大值.20.(12分)(2020山东济南一模,18)如图,平面四边形ABCD,点B,C,D均在半径为533的圆上,且BCD=3.(1)求BD的长度;(2)若AD=3,ADB=2ABD,求ABD的面积.21.(12分)如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道
8、(RtFHE,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好,设计要求管道的接口H是AB的中点,EF分别落在线段BC,AD上,已知AB=20米,AD=103米,记BHE=.(1)试将污水净化管道的长度L表示为的函数,并写出定义域;(2)当取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度.22.(12分)(2020湖南师大附中一模,理17)已知ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin(A+B-C)=csin(B+C).(1)求角C的值;(2)若2a+b=6,且ABC的面积为3,求ABC的周长.参考答案单元质检卷四三角函数、解三角形1.DA选项的最小正周期为T=21=2;
9、B选项的最小正周期为T=212=4;C选项的最小正周期为T=2;D选项,由其图像可知最小正周期为.故选D.2.A由于函数f(x)=3cos(2x+)的图像关于点43,0中心对称,所以f43=0,即243+=k+2,=k-136(kZ).所以|min=6.3.A依题意AB=BC=6,设ABC=2,则sin=5.1966=0.86632,则3,223.设蒙娜丽莎中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为,又A,C都是圆弧对应圆的切点,设圆的圆心为O,则OAAB,OCBC,AOC=,所以+2=,则3,故选A.4.B函数f(x)=sin2x-2sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin2x+4,T=2
10、2=,故A不正确;由2+2k2x+432+2k,kZ,解得8+kx58+k,kZ,令k=0,则8x58,故函数f(x)在区间8,58上单调递减,故B正确;x=16时,y=2sin216+42,故C不正确;由函数y=2sin2x的图像向左平移4个单位长度得到函数f(x)=2sin2x+2,所以D不正确.故选B.5.B由f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx(1-cosx)=0,得sinx=0或cosx=1.x0,2,x=0或x=或x=2.故f(x)在区间0,2上的零点个数是3.故选B.6.B当x=0时,sin0=0,ln|sin0|无意义,故排除A;又cos
11、0=1,则f(0)=-tan|cos0|=-tan10,故排除D;对于C,当x0,2时,|tanx|(0,+),所以f(x)=-sin|tanx|不单调,故排除C.故选B.7.D由图像知T2=54-14=1,所以T=2,=22=,又图像过点34,-1,所以-1=sin34+,且|,故=34,所以f(x)=sinx+34,令2k-2x+342k+2,kZ,解得2k-54x2k-14,kZ,则f(x)的单调递增区间为-54+2k,-14+2k,kZ,故选D.8.Cf(x)=2sinxcosx+23sin2x-3=sin2x-3cos2x=2sin2x-3,x0为极小值点,f(x0)=-2,即sin
12、2x0-3=-1,2x0-3=-2+2k,kZ,即x0=-12+k,kZ.x0-4,4,x0=-12,f(2x0)=f-6=2sin-3-3=-3,f(x0)+f(2x0)=-2-3,故选C.9.BDf(x)=cos2x-3-sin2x+2=32sin2x-12cos2x=sin2x-6,所以函数f(x)的最小正周期为,最大值为1,故A不正确,B正确;当x-4,4时,2x-6-23,3,函数y=sin2x-6在此区间不单调,故C错误;当将函数f(x)的图像向左平移12单位长度,得到的函数解析式为g(x)=fx+12=sin2x,故D正确.故选BD.10.BCD因为A=30,b=4,a=5,所以
13、由正弦定理得sinB=bsinAa=25,ba,所以角B只有一个解,故A错误;0tanAtanB1,即0sinAsinBcosAcosB0,即cos(A+B)0,所以A+B2.则ABC一定是钝角三角形,故B正确;因为cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1,所以cos(A-B)=cos(B-C)=cos(C-A)=1,所以A=B=C=60,故C正确;因为a-b=ccosB-ccosA,所以sinA-sinB=sinCcosB-sinCcosA,所以sinA-sinCcosB=sinB-sinCcosA.又因为sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,sinB=
14、sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以sinBcosC=sinAcosC,所以sinA=sinB或cosC=0,所以A=B或C=2,所以ABC是等腰三角形或直角三角形,故D正确.故选BCD.11.ACD由题意,得x=f()=cos,y=g()=sin,由正弦、余弦函数的奇偶性,知选项A正确;由正弦、余弦函数的单调性,知选项B错误;f()+g()1,即sin+cos1,由正弦、余弦函数在第一象限的三角函数值,知选项C正确;函数t=2f()+g(2)=2cos+sin2,0,2,则t=-2sin+2cos2=-2sin+2(1-2sin2)=-2(2sin-1)(sin+1),
15、令t0,则-1sin12;令t0,则12sin1,故函数t在-1,12内单调递增,在12,1内单调递减,当sin=12,cos=32时,函数t取得最大值,为232+21232=332,故D正确.故选ACD.12.ABDf2=sincos2+cossin2=sin0+cos1=cos1,故A正确;f(x+2)=sincos(x+2)+cossin(x+2)=sincosx+cossinx=f(x),f(x)的一个周期是2,故B正确;当x0,2时,0sinx1,0cosx22+12,故D正确.13.-45cos2+2=-sin2=-2sincos=-2sincossin2+cos2=-2tanta
16、n2+1=-44+1=-45.14.612函数f(x)=2cos(2x+)(-)的图像向右平移3个单位后得到y=2cos2x-3+,由于-,所以当=6时,与函数y=2sin2x图像重合,所以f(x)=2cos2x+6.令2k2x+62k+(kZ),解得k-12xk+512,由于函数f(x)在区间-a,a上单调递减,所以k-12-axak+512(kZ),当k=0时,a512,a12,所以a的最大值为12.15.6由题意,得g(x)=sinx-3(0),由f(x)与g(x)的图像关于点3,0对称,得g(x)=-f23-x,即sinx-3=sinx-23(0)恒成立,所以x-3=2k+x-23或x
17、-3=2k+-x+23(0)恒成立,即3=2k或2x=2k+(0)恒成立,因为2x=2k+不恒成立,所以3=2k,kZ,所以正数的最小值为6.16.52+4作OMCG交CG于点M,APOH交OH于点P,AQCG交CG于点Q,图略.设OM=3x,则DM=5x,OP=MQ=7-5x,AP=7-2-3x=5-3x,tanAOP=APOP=5-3x7-5x.又AOP=HAP,tanHAP=QGAQ=12-77-2=1=tanAOP,5-3x7-5x=1,解得x=1.AOP=4,AP=2,OA=22,S阴=S扇AOB+SAOH-1212=12-4(22)2+122222-12=3+4-2=52+4.17
18、.解(1)f(x)=cos2x-3sinxcosx-12=1+cos2x2-32sin2x-12=-sin2x-6,令2k-22x-62k+2,kZ,得k-6xk+3,kZ,x0,函数f(x)在0,上的单调递减区间为0,3和56,.(2)由(1)知f(x)=-sin2x-6,f(A)=-sin2A-6=-1,ABC为锐角三角形,0A2,-62A-64,c=7.(2)在ABC中,由正弦定理可得ACsinABC=BCsinBAC=ABsinACB,ACsin=BCsin3-=3sin23,即AC=2sin,BC=2sin3-.ABC的周长f()=|AC|+|BC|+|AB|=2sin+2sin3-
19、+3=212sin+32cos+3=2sin+3+3.又0,3,3+323,当+3=2,即=6时,f()取得最大值2+3.20.解(1)由题意可知,BCD的外接圆半径为533,由正弦定理BDsinBCD=2R=5332,解得BD=5.(2)(方法1)在ABD中,设ABD=,为锐角,则ADB=2,因为ABsin2=ADsin,所以AB2sincos=3sin,所以AB=6cos.因为AD2=AB2+BD2-2ABBDcos,即9=36cos2+25-60cos2,所以cos=63.则AB=6cos=26,sin=33,所以SABD=12ABBDsin=52.(方法2)在ABD中,因为ADB=2A
20、BD,所以sinADB=sin2ABD=2sinABDcosABD,所以AB=2ADcosABD=2ADAB2+BD2-AD22ABBD,因为BD=5,AD=3,所以AB=26,所以cosABD=63,则sinABD=33,所以SABD=12ABBDsinABD=52.21.解(1)由题意可得EH=10cos,FH=10sin,EF=EH2+FH2=10sincos,由于BE=10tan103,AF=10tan103,所以33tan3,故6,3,所以L=10cos+10sin+10sincos=10sin+cos+1sincos,6,3.(2)设sin+cos=t,则sincos=t2-12,
21、由于6,3,所以t=2sin+43+12,2,L=10sin+cos+1sincos=20(t+1)t2-1=20t-1.由于L=20t-1在区间3+12,2上单调递减,故当t=3+12,即=6或=3时,L取得最大值为20(3+1)米.22.解(1)因为asin(A+B-C)=csin(B+C),由正弦定理得sinAsin(-2C)=sinCsin(-A)=sinCsinA,因为sinA0,所以sin(-2C)=sinC,即sin2C=2sinCcosC=sinC.因为sinC0,所以cosC=12.因为0C,所以C=3.(2)由SABC=12absinC=3,可得ab=4.因为2a+b=6,所以2a+4a=6,解得a=1或2.当a=1时,b=4,c2=a2+b2-2abcosC=13,c=13,所以周长为5+13.当a=2时,b=2,c2=a2+b2-2abcosC=4,c=2,所以周长为6.综上,ABC的周长为6或5+13.