1、勾股定理的逆定理一、选择题(每小题4分,共12分)1.如图,每个小正方形的边长为1,A,B,C是小正方形的顶点,则ABC的度数为()A.90B.60C.45D.302.如图所示,在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成直角三角形三边的线段是()A.CD,EF,GHB.AB,EF,GHC.AB,CD,GHD.AB,CD,EF3.将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形()A.仍是直角三角形B.可能是锐角三角形C.可能是钝角三角形D.不可能是直角三角形二、填空题(每小题4分,共12分)4.把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那
2、么a2+b2=c2”的逆命题改写成“如果,那么”的形式:.5.观察以下几组勾股数,并寻找规律:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;请你写出有以上规律的第组勾股数:.6.若a,b,c是直角三角形的三条边长,斜边c上的高的长是h,给出下列结论:以a2,b2,c2的长为边的三条线段能组成一个三角形;以,的长为边的三条线段能组成一个三角形;以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能组成直角三角形;以,的长为边的三条线段能组成直角三角形.其中所有正确结论的序号为.三、解答题(共26分)7.(8分)如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13
3、nmile的A,B两个基地前去拦截,六分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120nmile,乙巡逻艇每小时航行50nmile,航向为北偏西40,问:甲巡逻艇的航向是多少?8.(8分)如图,每个小正方形的边长均为1.求四边形ABCD的面积和周长(精确到0.1).【拓展延伸】9.(10分)王伟准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈,用于饲养家兔.已知第一条边长为am,由于受地势限制,第二条边长只能是第一条边长的2倍多2m.(1)请用a表示第三条边长.(2)问第一条边长可以为7m吗?为什么?请说明理由,并求出a的取值范围.(3)能否使得围成的小圈是直角三角形形状,且各边长均为
4、整数?若能,说出你的围法;若不能,请说明理由.答案解析1.【解析】选C.根据勾股定理可以得到:AC=BC=,AB=.()2+()2=()2,AC2+BC2=AB2.ABC是等腰直角三角形.ABC=45.2.【解析】选B.AB2=22+22=8,CD2=42+22=20,EF2=12+22=5,GH2=32+22=13,所以AB2+EF2=GH2.3.【解析】选A.设直角三角形的三边分别为a,b,c,且满足a2+b2=c2,扩大相同倍数后各边分别为na,nb,nc,因为(na)2+(nb)2=n2(a2+b2)=n2c2=(nc)2,所以扩大同样的倍数后得到的三角形仍是直角三角形.4.【解析】逆
5、命题为:三角形三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,这个三角形是直角三角形,逆命题改写成“如果,那么”的形式:如果三角形三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.答案:如果三角形三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形5.【解析】从上边可以发现第一个数是奇数,且逐步递增2,故第5组第一个数是11,又发现第二、第三个数相差为1,故设第二个数为x,则第三个数为x+1,根据勾股定理得:112+x2=(x+1)2,解得x=60,则得第组勾股数是11,60,61.答案:11,60,616.【解析】直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2,因而以
6、a2,b2,c2的长为边的三条线段不能满足两边之和大于第三边,故不能组成一个三角形,故错误;直角三角形的三边有a+bc(a,b,c中c最大),而在,三个数中最大,如果能组成一个三角形,则有+成立,即(+)2()2,即a+b+2c(由a+bc),则不等式成立,从而满足两边之和大于第三边,则以,的长为边的三条线段能组成一个三角形,故正确;a+b,c+h,h这三个数中c+h一定最大,(a+b)2+h2=a2+b2+2ab+h2,(c+h)2=c2+h2+2ch,又2ab=2ch=4SABC,(a+b)2+h2=(c+h)2,根据勾股定理的逆定理即以a+b,c+h,h的长为边的三条线段能组成直角三角形
7、,故正确;假设a=3,b=4,c=5,则,的长为,以这三个数的长为边的三条线段不能组成直角三角形,故错误.答案:7.【解析】AC=120=12(nmile),BC=50=5(nmile),又因为AB=13nmile,所以AC2+BC2=AB2,所以ABC是直角三角形,可知CAB+CBA=90,由CBA=50,知CAB=40,所以甲巡逻艇的航向为北偏东50.8.【解析】根据勾股定理得到:AD=,AB=,CD=5;BC=,四边形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=+5+18.8.连接AC,BD,则AC=5.(2)2+()2=52,52+52=(5)2,AB2+BC2=AC2,AC2+CD2=A
8、D2.ABC和ACD是直角.四边形ABCD的面积=直角ABC的面积+直角ACD的面积=BCAB+ACCD=17.5.【归纳整合】勾股定理与其逆定理的联系和区别联系:(1)两者都与a2+b2=c2有关.(2)两者所讨论的问题都是直角三角形.区别:勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个直角三角形三边的数量关系,“a2+b2=c2”;勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,进而得到“这个三角形是直角三角形”,是判别一个三角形是否是直角三角形的一个方法.9.【解析】(1)第二条边长为2a +2,第三条边长为30-a-(2a +2)=28-3a.(2)当a =7时,三边长分别为7,16,7.由于7+716,所以不能构成三角形,即第一条边长不能为7m.由可解得a,即a的取值范围是a.(3)在(2)的条件下,a为整数时,a只能取5或6.当a =5时,三角形的三边长分别为5,12,13.由52+122=132知,恰好能构成直角三角形.当a =6时,三角形的三边长分别为6,14,10.由62+102142知,此时不能构成直角三角形.综上所述,能围成满足条件的小圈,它们的三边长分别为5m,12m,13m.