1、1.复数的有关概念(1)定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a叫做实部，b叫做虚部.(i为虚数单位)(2)分类：满足条件(a，b为实数)复数的分类abi为实数b0abi为虚数b0abi为纯虚数a0且b0(3)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR).(4)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd(a，b，c，dR).(5)模：向量的模叫做复数zabi的模，记作|abi|或|z|，即|z|abi|(a，bR).2.复数的几何意义复数zabi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量(a，b)(a，bR)是一一对应关系.3.复数的运算(1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，
2、c，dR(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程x2x10没有解.()(2)复数zabi(a，bR)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(4)原点是实轴与虚轴的交点.()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()1.(2015安徽)设i是虚数单位，则复数(1i)(12i)等于()A.33i B.13iC.3i D.1i答案C解析(1i)(12i
3、)12ii2i21i23i，故选C.2.(2015课标全国)已知复数z满足(z1)i1i，则z等于()A.2i B.2i C.2i D.2i答案C解析由(z1)i1i，两边同乘以i，则有z11i，所以z2i.3.在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A.48i B.82i C.24i D.4i答案C解析A(6,5)，B(2,3)，线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z24i.4.已知a，bR，i是虚数单位.若ai2bi，则(abi)2等于()A.34i B.34iC.43i D.43i答案A解析a，bR，ai2bi，a2，b1
4、，(abi)2(2i)234i.5.已知(12i)43i，则z_.答案2i解析2i，z2i.题型一复数的概念例1(1)设i是虚数单位.若复数za(aR)是纯虚数，则a的值为()A.3 B.1 C.1 D.3(2)已知aR，复数z12ai，z212i，若为纯虚数，则复数的虚部为()A.1 B.i C. D.0(3)若z1(m2m1)(m2m4)i(mR)，z232i，则“m1”是“z1z2”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件答案(1)D(2)A(3)A解析(1)zaa(3i)(a3)i，由aR，且za为纯虚数知a3.(2)由i是纯虚数，得a1，此时
5、i，其虚部为1.(3)由解得m2或m1，所以“m1”是“z1z2”的充分不必要条件.引申探究1.对本例(1)中的复数z，若|z|，求a的值.解若|z|，则(a3)2110，|a3|3，a0或a6.2.在本例(2)中，若为实数，则a_.答案4解析若为实数，则0.a4.思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部.(1)若复数z(x21)(x1)i为纯虚数，则实数x的值为()A.1 B.
6、0C.1 D.1或1(2)(2014浙江)已知i是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)A(2)A解析(1)由复数z为纯虚数，得解得x1，故选A.(2)当ab1时，(abi)2(1i)22i；当(abi)22i时，得解得ab1或ab1，所以“ab1”是“(abi)22i”的充分不必要条件.题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2015湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.i B.iC.1 D.1(2)(2015北京)复数i(2i)等于()A.12i B.12iC.1
7、2i D.12i答案(1)A(2)A解析(1)方法一i607i41513i3i，其共轭复数为i.故选A.方法二i607i，其共轭复数为i.故选A.(2)i(2i)2ii212i.命题点2复数的除法运算例3(1)(2015湖南)已知1i(i为虚数单位)，则复数z等于()A.1i B.1iC.1i D.1i(2)()6_.答案(1)D(2)1i解析(1)由1i，知z1i，故选D.(2)原式6i61i.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2015天津)i是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数a的值为_.(2)(2014江苏)已知复数z(52i)2(i为虚数单位)，则z的实
8、部为_.答案(1)2(2)21解析(1)(12i)(ai)a2(12a)i，由已知，得a20,12a0，a2.(2)因为z(52i)22520i(2i)22520i42120i，所以z的实部为21.命题点4复数的综合运算例5(1)(2014安徽)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数.若z1i，则i等于()A.2 B.2i C.2 D.2i(2)若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为()A.4 B. C.4 D.答案(1)C(2)D解析(1)z1i，1i，1i，i1ii(1i)(1i)(1i)2.故选C.(2)设zabi，故(34i)(abi)3a3bi4ai4b|43i|，所以解得b
9、.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘
10、除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2015山东)若复数z满足i，其中i为虚数单位，则z等于()A.1i B.1i C.1i D.1i(2)2 016_.(3)2 016_.答案(1)A(2)1(3)1i解析(1)i，i(1i)ii21i，z1i.(2)1 0081 0081.(3)原式1 008i1 008ii1 008ii42521i.题型三复数的几何意义例6(1)(2014重庆)实部为2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案B解析由题意可得复数z2i，故在复平面内对应的点为(2,1)，在第二象限，故选B.(2)ABC的
11、三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点为ABC的()A.内心 B.垂心C.重心 D.外心答案D解析由几何意义知，复数z对应的点到ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是ABC的外心.思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A.A B.BC.C D.D答案B解析表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，B点表示.选B.(2)已知z是复数，z2i、均为实数(
12、i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.解设zxyi(x、yR)，z2ix(y2)i，由题意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i，由题意得x4.z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i，根据条件，可知解得2a6，实数a的取值范围是(2,6).24.解决复数问题的实数化思想典例(14分)已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.规范解答解设xabi (a，bR)，则yabi，xy2a，xya2b2，3分代入原式
13、，得(2a)23(a2b2)i46i，5分根据复数相等得8分解得或或或11分故所求复数为或或或14分温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法.(2)本题求解的关键是先把x、y用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.方法与技巧1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数zabi(a
14、，bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.失误与防范1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比较大小.3.注意复数的虚部是指在abi(a，bR)中的实数b，即虚部是一个实数.A组专项基础训练(时间：30分钟)1.(2015福建)若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A.3，2 B.3,2C.3，3 D.1,4答案A解析(1i)(23i)32iab
15、i，a3，b2，故选A.2.设zi，则|z|等于()A. B. C. D.2答案B解析ziiii，|z| ，故选B.3.(2015课标全国)若a为实数，且(2ai)(a2i)4i，则a等于()A.1 B.0 C.1 D.2答案B解析因为a为实数，且(2ai)(a2i)4a(a24)i4i，得4a0且a244，解得a0，故选B.4.若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是()A.E B.F C.G D.H答案D解析由题图知复数z3i，2i.表示复数的点为H.5.(2014江西)是z的共轭复数，若z2，(z)i2(i为虚数单位)，则z等于()A.1i B.1iC.1i D.1i
16、答案D解析方法一设zabi，a，b为实数，则abi.z2a2，a1.又(z)i2bi22b2，b1.故z1i.方法二(z)i2，z2i.又z2，(z)(z)2i2，2z2i2，z1i.6.(2015江苏)设复数z满足z234i(i是虚数单位)，则z的模为_.答案解析z234i，|z|2|34i|5，即|z|.7.若abi(a，b为实数，i为虚数单位)，则ab_.答案3解析(3b)(3b)ii.解得ab3.8.复数(3i)m(2i)对应的点在第三象限内，则实数m的取值范围是_.答案m解析z(3m2)(m1)i，其对应点(3m2，m1)在第三象限内，故3m20且m10，m.9.计算：(1)；(2)
17、；(3)；(4).解(1)13i.(2)i.(3)1.(4)i.10.复数z1(10a2)i，z2(2a5)i，若1z2是实数，求实数a的值.解1z2(a210)i(2a5)i(a210)(2a5)i(a22a15)i.1z2是实数，a22a150，解得a5或a3.又(a5)(a1)0，a5且a1，故a3.B组专项能力提升(时间：15分钟)11.复数z1，z2满足z1m(4m2)i，z22cos (3sin )i(m，R)，并且z1z2，则的取值范围是()A.1,1 B.C. D.答案C解析由复数相等的充要条件可得 化简得44cos23sin ，由此可得4cos23sin 44(1sin2)3
18、sin 44sin23sin 42，因为sin 1,1，所以4sin23sin .12.设f(n)nn(nN*)，则集合f(n)中元素的个数为()A.1 B.2 C.3 D.无数个答案C解析f(n)nnin(i)n，f(1)0，f(2)2，f(3)0，f(4)2，f(5)0，集合中共有3个元素.13.已知复数zxyi，且|z2|，则的最大值为_.答案解析|z2|，(x2)2y23.由图可知max.14.设a是实数，若复数z(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线xy0上，则a的值为_.答案0解析zi，依题意得0，a0.15.若1i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根，则b_，c_.答案23解析实系数一元二次方程x2bxc0的一个虚根为1i，其共轭复数1i也是方程的根.由根与系数的关系知，b2，c3.