1、南阳市2017年春期高二期中考试数学（理）试题一.选择题：1.复数的实部与虚部的和等于（ C ）A B C D解析：2.汽车以(单位：)作变速直线运动时，在第至第间的内经过的位移是( C ) A. B. C. D.解析：3.下列命题错误的是(B)A三角形中至少有一个内角不小于60；B对任意的，函数至少存在一个极值点.C闭区间a，b上的单调函数f(x)至多有一个零点；D在锐角三角形中，任意一个角的正弦大于另两个角的余弦；解析：，当，即时，是单调增加的，不存在极值点，故B错误4已知函数，则的值为（D ）AB1CeD0解析：5若曲线在点处的切线与直线互相垂直，则实数（A）A2 B2C 1 D1解析：
2、，所以，得6.如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点.第12行的实心圆点的个数为（ B ）.A. 88 B. 89 C.90 D.91解析：第行实心圆点有个，空心圆点有个，由树形图的生长规律可得，（即斐波那契数列），可得数列为0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89，即7. 设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（C ）8某班数学课代表给全班同学出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题。甲：我不会证明。乙：丙会证明。丙：丁会证明。丁：我不会证明。根
3、据以上条件，可以判定会证明此题的人是（A） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁解析：若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意；以此类推。易得出答案：A9.已知定义在上的函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是（ D ）ABC D解析：，由题意得：，解得：10.若为纯虚数，其中，则等于（ B ）ABC1 D1或解析：由为纯虚数，得，所以11.已知：函数，、为其图像上任意两点，则直线的斜率的最小值为（ B ） A.B.C.D.解析：，而，易得，在上单调减少，在上单调增加，故12.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立.则有（ D ）ABCD解
4、析：由得，即，亦即函数在上是单调增加的。故二.填空题：13. _.解析：14. 已知：，则=_.解析：,所以，得15.若函数，则_解析：，则，所以，；故，则有，得，16.平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为，外接圆面积为，则推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体的内切球体积为，外接球的体积为，则 .解析：把正四面体放置在棱长为1的正方体中，易知正四面体的棱长为高为，内切球半径，外接球半径，则三.解答题：17题，12分。22题，10分。答题卡上的分值有误，请以题卷和评分标准为准。17.（本小题满分12分）用数学归纳法证明：对于任意的，证明：（1）当时，左边=右边，命题成立；2分
5、（2）假设当（ ）命题成立，即；4分 当时 左边=6分 =8分 即，当时，命题成立。 11分 综上所述，对于任意的，12分18.（本小题满分12分）已知函数，其中（1）求证：函数在区间上是单调函数；（2）求函数的极小值。（1）证明：2分 因为且，所以 所以函数在区间上是增函数 4分（2）解：由题意，则. 令，得 , 6分当时，, 则函数在区间上是单调递增函数；当时，, 则函数在区间上是单调递减函数；当时，, 则函数在区间上是单调递增函数；9分 所以，函数的极小值点为，10分 故函数的极小值是12分19.（本小题满分12分）用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2
6、：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解析：设长方体的宽为xm，则长为2xm，高.2分故长方体的体积为5分从而令，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. 7分当0x1时，；当1x时，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值.10分从而最大体积V3（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3m3 .12分20. （本小题满分12分）已知，（1）若函数在上为单调函数，求实数的取值范围；（2）若当时，对任意恒成立，求实数的取值范围.解：（1）定义域为，2分因
7、为在上为单调函数，则方程在上无实根。4分故，则 6分（2），则，对一切恒成立.7分设，则，当单调递减，当单调递增. 10分在上，有唯一极小值，即为最小值.所以，因为对任意恒成成立，故 12分21.（本小题满分12分） 已知函数且在处的切线的斜率为.（1）求的值，并讨论在上的单调性；（2）设若对任意,总存在使得成立，求的取值范围.解：(1）函数且在处的切线的斜率为， 解得：; 2分此时，当时，当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 6分(2）当时，单调递增，则只需在上恒成立即可，8分当时，在上恒成立，即在上单调递增，又在上恒成立，故时成立.当时，若，则此时单调递减，故当时不成立. 11分综上12分22.【从下面两小题中任选其一题，若选择做两题只按第一题给分】（本小题满分10分）(1)已知：为互不相等的实数，且求证：解析：根据条件可得， 2分又因为为互不相等的实数，则有 5分同理可得 ， 7分所以 10分（2）已知：，求证：，