1、1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母_q_表示(q0)2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1.3等比中项若a，G，b成等比数列，则称G为a和b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN*)(2)若an为等比数列，且klmn (k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)
2、，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sn.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为_qn_.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)如果数列an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列()(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()(5)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()(6)数列an为等比数列，则S4，S8S4，S12S
3、8成等比数列()1已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7_.答案42解析设等比数列an的公比为q，则由a13，a1a3a521得3(1q2q4)21，解得q23(舍去)或q22，于是a3a5a7q2(a1a3a5)22142.2等差数列an的公差为3，若a2，a4，a8成等比数列，则a4_.答案12解析令首项为a，根据已知条件有(a9)2(a3)(a21)解得a3，所以a433312.3等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和等于_答案4解析数列lg an的前8项和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4lg(a4a5)4
4、lg(25)44.4(2015安徽)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_答案2n1解析由等比数列性质知a2a3a1a4，又a2a38，a1a49，所以联立方程解得或又数列an为递增数列，a11，a48，从而a1q38，q2.数列an的前n项和为Sn2n1.5在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为_答案27,81解析设该数列的公比为q，由题意知，2439q3，q327，q3.插入的两个数分别为9327,27381.题型一等比数列基本量的运算例1(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和已知a2a41，S37，则S
5、5_.(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3_.答案(1)(2)4或4解析(1)显然公比q1，由题意得解得或(舍去)，S5.(2)设等比数列an的公比为q(q0)，则两式相除，得，即2q25q20，解得q2或q.所以或故a34或a34.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解(1)在正项等比数列an中，an1an，a2a86，a4a65，则_.(2)(2015湖南)设Sn为等比数列an的前n项和，若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_.答案(1)(2)3n1
6、解析(1)设公比为q，则由题意知0q1，由得a43，a62，所以.(2)由3S1,2S2，S3成等差数列知，4S23S1S3，可得a33a2，所以公比q3，故等比数列通项ana1qn13n1.题型二等比数列的判定与证明例2设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又，得an14an4an1 (n2)，an12an2(an2an1) (n2)bnan12an，bn2bn1 (n2)，故bn是首项b13，公比为2的等比数列
7、(2)解由(1)知bnan12an32n1，故是首项为，公差为的等差数列(n1)，故an(3n1)2n2.引申探究例2中“Sn14an2”改为“Sn12Sn(n1)”，其他条件不变探求数列an的通项公式解由已知得n2时，Sn2Sn1n.Sn1Sn2Sn2Sn11，an12an1，an112(an1)，又a11，当n1时上式也成立，故an1是以2为首项，以2为公比的等比数列，an122n12n，an2n1.思维升华(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1时的情
8、况进行验证设数列an的前n项和为Sn，已知a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列Sn2是等比数列(1)解a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n1时，a1212；当n2时，a12a2(a1a2)4，a24；当n3时，a12a23a32(a1a2a3)6，a38.综上，a24，a38.(2)证明a12a23a3nan(n1)Sn2n(nN*)，当n2时，a12a23a3(n1)an1(n2)Sn12(n1)得nan(n1)Sn(n2)Sn12n(SnSn1)Sn2Sn12nanSn2Sn12.Sn2Sn120，即Sn2Sn12，Sn
9、22(Sn12)S1240，Sn120，2，故Sn2是以4为首项，2为公比的等比数列题型三等比数列的性质及应用例3(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8_.(2)等比数列an的首项a11，前n项和为Sn，若，则公比q_.答案(1)(2)解析(1)由a6a10a3a541及a6a10a，a3a5a，得aa41.因为a4a85，所以(a4a8)2a2a4a8a412551.又an0，所以a4a8.(2)由，a11知公比q1，则可得.由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为q5，故q5，q.思维升华(1)在等比数列的
10、基本运算问题中，一般利用通项公式与前n项和公式，建立方程组求解，但如果能灵活运用等比数列的性质“若mnpq，则有amanapaq”，可以减少运算量(2)等比数列的项经过适当的组合后构成的新数列也具有某种性质，例如等比数列Sk，S2kSk，S3kS2k，成等比数列，公比为qk(q1)(1)已知等比数列an的公比为正数，且a3a92a，a22，则a1_.(2)等比数列an共有奇数项，所有奇数项和S奇255，所有偶数项和S偶126，末项是192，则首项a1_.答案(1)(2)3解析(1)由等比数列的性质得a3a9a2a，q0，a6a5，q，a1.(2)设等比数列an共有2k1(kN*)项，则a2k1
11、192，则S奇a1a3a2k1a2k1(a2a4a2k)a2k1S偶a2k1192255，解得q2，而S奇255，解得a13.12分类讨论思想在等比数列中的应用典例(14分)已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明：Sn(nN*)思维点拨(1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明规范解答(1)解设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是q.2分又a1，所以等比数列an的通项
12、公式为ann1(1)n1.4分(2)证明由(1)知，Sn1n，Sn1n8分当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS1.10分当n为偶数时，Sn随n的增大而减小，所以SnS2.12分故对于nN*，有Sn.14分温馨提醒(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论项数的奇、偶数讨论等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别方法与技巧
13、1已知等比数列an(1)数列can(c0)，|an|，a，也是等比数列(2)a1ana2an1amanm1.2判断数列为等比数列的方法(1)定义法：q(q是不等于0的常数，nN*)数列an是等比数列；也可用q(q是不等于0的常数，nN*，n2)数列an是等比数列二者的本质是相同的，其区别只是n的初始值不同(2)等比中项法：aanan2(anan20，nN*)数列an是等比数列失误与防范1特别注意q1时，Snna1这一特殊情况2由an1qan，q0，并不能立即断言an为等比数列，还要验证a10.3在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q1与q1分类讨论，防止因忽略q1这一特殊情形而导致解题失
14、误4等比数列性质中：Sn，S2nSn，S3nS2n也成等比数列，不能忽略条件q1.A组专项基础训练(时间：40分钟)1设等比数列an的前n项和为Sn，若S1a2，S2a3，则公比q_.答案4解析S1a2，S2a3，解得或(舍去)，故所求的公比q4.2等比数列an满足an0，nN*，且a3a2n322n(n2)，则当n1时，log2a1log2a2log2a2n1_.答案n(2n1)解析由等比数列的性质，得a3a2n3a22n，从而得an2n.log2a1log2a2log2a2n1log2(a1a2n1)(a2a2n2)(an1an1)anlog22n(2n1)n(2n1)3在正项等比数列an
15、中，已知a1a2a34，a4a5a612，an1anan1324，则n_.答案14解析设数列an的公比为q，由a1a2a34aq3与a4a5a612aq12，可得q93，an1anan1aq3n3324，因此q3n68134q36，所以n14.4在等差数列an和等比数列bn中，已知a18，a22，b11，b22，那么满足anbn的n的所有取值构成的集合是_答案3,5解析由已知得，an6n14，bn2n1，令anbn，可得6n142n1，解得n3或5，所以满足anbn的n的所有取值构成的集合是3,55已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在mN*，满足9，则数列an的公比为_答案2解析设公比为q
16、，若q1，则2，与题中条件矛盾，故q1.qm19，qm8.qm8，m3，q38，q2.6等比数列an中，Sn表示前n项和，a32S21，a42S31，则公比q为_答案3解析由a32S21，a42S31得a4a32(S3S2)2a3，a43a3，q3.7等比数列an的前n项和为Sn，公比不为1.若a11，则对任意的nN*，都有an2an12an0，则S5_.答案11解析由题意知a3a22a10，设公比为q，则a1(q2q2)0.由q2q20解得q2或q1(舍去)，则S511.8已知数列an的首项为1，数列bn为等比数列且bn，若b10b112，则a21_.答案1 024解析b1a2，b2，a3b
17、2a2b1b2，b3，a4b1b2b3，anb1b2b3bn1，a21b1b2b3b20(b10b11)102101 024.9数列bn满足：bn12bn2，bnan1an，且a12，a24.(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列an的前n项和Sn.解(1)由bn12bn2，得bn122(bn2)，2，又b12a2a124，数列bn2是首项为4，公比为2的等比数列bn242n12n1，bn2n12.(2)由(1)知，anan1bn12n2 (n2)，an1an22n12 (n2)，a2a1222，an2(22232n)2(n1)，an(222232n)2n22n22n12n.Sn2n2(n2
18、n4)10已知数列an和bn满足a1，an1ann4，bn(1)n(an3n21)，其中为实数，n为正整数(1)证明：对任意实数，数列an不是等比数列；(2)证明：当18时，数列bn是等比数列证明(1)假设存在一个实数，使an是等比数列，则有aa1a3，即22492490，矛盾所以an不是等比数列(2)bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1(1)n(an3n21)bn.又18，所以b1(18)0.由上式知bn0，所以(nN*)故当18时，数列bn是以(18)为首项，为公比的等比数列B组专项能力提升(时间：20分钟)11设x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取
19、值范围是_答案(，04，)解析在等差数列中，a1a2xy，在等比数列中，xyb1b2.2.当xy0时，2，故4；当xy0时，2，故0.12若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.答案50解析因为a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln a10a1110ln e550.13数列an满足a12且对任意的m，nN*，都有an，则a3_；an的前n项和Sn_.答案82n12解析an
20、，anmanam，a3a12a1a2a1a1a1238；令m1，则有an1ana12an，数列an是首项为a12，公比为q2的等比数列，Sn2n12.14定义在(，0)(0，)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an，f(an)仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在(，0)(0，)上的如下函数：f(x)x2：f(x)2x；f(x)；f(x)ln |x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为_答案解析设an的公比为q，验证q2，故为“保等比数列函数”15已知数列an中，a11，anan1n，记T2n为an的前2n项的和，bna2na2n1，nN*.(1)判断数列bn是否为等比数列，并求出bn；(2)求T2n.解(1)anan1n，an1an2n1，即an2an.bna2na2n1，a11，a1a2，a2b1a1a2.bn是首项为，公比为的等比数列bnn1.(2)由(1)可知，an2an，a1，a3，a5，是以a11为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，是以a2为首项，以为公比的等比数列，T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)3.
