1、1已知函数f(x)Asin (x)(0)相邻两个对称轴之间的距离是，且满足，f().(1)求f(x)的单调递减区间；(2)在钝角ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，sin Bsin C，a2，f(A)1，求ABC的面积解(1)由题意知周期T，2，因为f()，所以A2，f(x)2sin (2x)，由2k2x2k(kZ)，kxk(kZ)，所以f(x)的单调递减区间为(kZ)(2)由题意bc，f(A)2sin 1，sin ， 2A，A或，因为ABC为钝角三角形，所以A舍去，故A，a2b2c22bccos A，43c2c22c2c2，所以c2，b2，SABC22.2已知正项等比数列an满足a
2、2，a4，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn满足bnlog3anlog3an1，求数列的前n项和Tn.解(1)设公比为q.q2，q或q.又数列an为正项等比数列，q.又a2. a1，ann，nN*.(2)bnlog3anlog3an1，nN*，bnn(n1)，nN*.Tn11.3某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，在某学校的高三学生体育达标成绩中随机抽取100个进行调研，按成绩分组：第1组75,80)，第2组80,85)，第3组85,90)，第4组90,95)，第5组95,100得到的频率分布直方图如图所示若要在成绩较高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进行复查(1
3、)已知学生甲和学生乙的成绩均在第四组，求学生甲和学生乙至少有一人被选中复查的概率；(2)在已抽取到的6名学生中随机抽取3名学生接受篮球项目的考核，设第三组中有名学生接受篮球项目的考核，求的分布列和数学期望解(1)设“学生甲和学生乙至少有一人参加复查”为事件A，第三组人数为1000.06530，第四组人数为1000.04520，第五组人数为1000.02510，根据分层抽样知，第三组应抽取3人，第四组应抽取2人，第五组应抽取1人，第四组的学生甲和学生乙至少有1人进入复查，则：P(A).(2)第三组应有3人进入复查，则随机变量可能的取值为0,1,2,3.且P(i)(i0、1、2、3)，则随机变量的
4、分布列为：0123PE()0123.4.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB2AD4，BD2，PD底面ABCD.(1)证明：平面PBC平面PBD；(2)若二面角PBCD大小为，求AP与平面PBC所成角的正弦值(1)证明CD2BC2BD2.BCBD.又PD底面ABCD.PDBC.又PDBDD.BC平面PBD.而BC平面PBC，平面PBC平面PBD.(2)解由(1)所证，BC平面PBD，所以PBD即为二面PBCD的平面角，即PBD.而BD2，所以PD2.因为底面ABCD为平行四边形，所以DADB，分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则A(2,0,0)，B(
5、0,2，0)，C(2,2，0)，P(0,0,2)，所以，(2,0,2)，(2,0,0)，(0，2，2)，设平面PBC的法向量为n(a，b，c)，则即令b1则n(0,1,1)，AP与平面PBC所成角的正弦值为sin .5已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：x2y30相切，点A为圆上一动点，AMx轴于点M，且动点N满(1)，设动点N的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)直线l与直线l1垂直且与曲线C交于B、D两点，求OBD面积的最大值解(1)设动点N(x，y)，A(x0，y0)，因为AMx轴于M，所以M(x0,0)，设圆C1的方程为x2y2r2，由题意得r3，所以圆C1的方程为x
6、2y29，由题意，(1)，得(x，y)(x0，y0)(1)(x0,0)，所以即将A(x，y)代入x2y29，得动点N的轨迹方程1.(2)由题意可设直线l：2xym0，设直线l与椭圆1交于B(x1，y1)，D(x2，y2)，联立方程得13x212mx3m290，144m2134(3m29)0，解得m239，x1,2，又因为点O到直线l的距离d，BD|x1x2|，所以SOBD(当且仅当m239m2即m2时取到最大值)所以OBD面积的最大值为.6已知函数f(x)函数f(x)在x0处取得极值1.(1)求实数b，c的值；(2)求f(x)在区间2,2上的最大值解(1)由题意当x0时，f(0)c11，c2，
7、当x1时，f(x)2e2xb，依题意得f(0)2e0b0，b2，经检验符合条件(2)由(1)知，f(x)当2x1时，f(x)e2x2x2，f(x)2e2x2，令f(x)0得x0，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,0)0(0,1)1f(x)0f(x)e42递增极大值1递减4e2由上表可知f(x)在2,1上的最大值为1.当1x2时，f(x)a(x2ln xx1)1.f(x)a(2xln xx1)，令g(x)2xln xx1，当1x2时，显然g(x)0恒成立，当a0时，f(x)a(2xln xx1)0，f(x)在(1,2单调递减，所以f(x)f(1)1恒成立此时函数在2,2上的最大值为1；当a0时，在(1,2上f(x)1，当a0时，在(1,2上f(x)a(2xln xx1)0，所以在(1,2上，函数f(x)为单调递增函数所以f(x)在(1,2上最大值为a(4ln 21)1，因为a(4ln 21)11，故函数f(x)在2,2上的最大值为a(4 ln 21)1.综上：当a0时，f(x)在2,2上的最大值为1；当a0时，f(x)在2,2上的最大值为a(4 ln 21)1.