1、53.2极大值与极小值新课程标准解读核心素养1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件数学抽象2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值直观想象横看成岭侧成峰，远近高低各不同不识庐山真面目，只缘身在此山中在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点；同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点问题观察下图中的函数图象，指出其中是否有类似山峰、山谷的地方，如果有，应用什么数学语言来描述？知识点一函数的极值1极大值：若存在0，当x(x1，x1)时，都有f(x)f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值2极小值：若存在0，当
2、x(x1，x1)时都有f(x)f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极小值，函数的极大值、极小值统称为函数的极值函数的极大值一定大于极小值吗？提示：不一定，如图中c处的极小值大于f处的极大值知识点二函数的极值与导数的关系1极大值与导数的关系xx1左侧x1x1右侧f(x)f(x)0f(x)0f(x)0f(x)极值f(x1)2极小值与导数的关系xx2左侧x2x2右侧f(x)f(x)0f(x)0f(x)0f(x)极值f(x2)1导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定，如f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点所以，当f(x0)0时，要判断xx0是否为f(x)的极值点，还要看f
3、(x)在x0两侧的符号是否相反2函数yf(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？提示：不一定，若函数yf(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点1(多选)下列函数在x0处取得极小值的是()Aycos xByx21Cy|x| Dy2x答案：BC2.函数f(x)的定义域为R，它的导函数yf(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是()A在(1，2)上函数f(x)为增函数B在(3，4)上函数f(x)为减函数C在(1，3)上函数f(x)有极大值Dx3是函数f(x)在区间1，5上的极小值点解析：选D根据导函数图象知，x(1，2)时，f(x)0，x(2，4)时，f(x)0.f(x)在(1，2
4、)，(4，5)上为增函数，在(2，4)上为减函数，x2是f(x)在1，5上的极大值点，x4是极小值点故选D.求函数的极值角度一：求不含参数的函数极值问题例1(链接教科书第199页例4)求函数f(x)x2ex的极值解函数的定义域为R，f(x)2xexx2ex(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x(2x)ex0，解得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0，2)2(2，)f(x)00f(x)单调递减极小值0单调递增极大值4e2单调递减因此当x0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)0；当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)4e2.
5、角度二：求含参数的函数极值问题例2已知函数f(x)xaln x(aR)，求函数f(x)的极值解由f(x)1(x0)知，(1)当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；(2)当a0时，由f(x)0，解得xa，又当x(0，a)时，f(x)0，函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0得方程的根；(4)利用方程f(x)0的根将定义域分成若干个小区间，列表，判
6、定导函数在各个小区间的符号；(5)确定函数的极值，如果f(x)的符号在x0处由正(负)变负(正)，则f(x)在x0处取得极大(小)值 跟踪训练求函数f(x)x33axb(a0)的极值解：f(x)3(x2a)(a0)，当a0恒成立，即函数在(，)上单调递增，此时函数没有极值；当a0时，令f(x)0，得x或x.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，)(， )(，)f(x)00f(x)单调递增极大值f()单调递减极小值f()单调递增f(x)的极大值为f()2ab，极小值为f()2ab.函数极值的简单应用例3已知函数f(x)x33ax1(a0)，若函数f(x)在x1处取得极值(1)求a
7、的值；(2)求f(x)的极小值点与极小值，并画出f(x)的大致图象；(3)若直线ym与yf(x)的图象有三个不同交点，求m的取值范围解(1)因为f(x)在x1处取得极值且f(x)3x23a，所以f(1)3(1)23a0，所以a1.(2)由(1)知f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.当x0；当1x1时，f(x)1时，f(x)0.所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.作出f(x)的大致图象如图所示：(3)因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(3，1)母
8、题探究1(变条件)若本例中条件改为“已知函数f(x)x3ax24在x处取得极值”，其他条件不变，求m的取值范围解：由题意可得f(x)3x22ax，由f0，可得a2，所以f(x)x32x24，则f(x)3x24x.令f(x)0，得x0或x，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)单调递减极小值4单调递增极大值单调递减作出函数f(x)的大致图象如图所示：因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，所以m的取值范围是.2(变条件)若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解：由例题解析可知：当m3或m1时，直线ym与y
9、f(x)的图象有两个不同的交点；当m1时，直线ym与yf(x)的图象只有一个交点1已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，注意两点：(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性2研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标3事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴
10、的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便 跟踪训练已知函数f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1.(1)求常数a，b，c的值；(2)判断x1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值解：(1)f(x)3ax22bxc.x1是函数f(x)的极值点，x1是方程f(x)3ax22bxc0的两根，又f(1)1，abc1，由得a，b0，c.(2)由(1)知，f(x)x3x.f(x)x2(x1)(x1)当x1时，f(x)0，当1x1时，f(x)0，x1是f(x)的极大值点，极大值为f(1)1.x1是f(x)的极小值点，极小值为f(1)1.1. 函数f(x)x2cos x在上的极大值点为()A0B.C. D.答案：B2设函数f(x)ln x，则()Ax为f(x)的极大值点Bx为f(x)的极小值点Cx2为f(x)的极大值点Dx2为f(x)的极小值点解析：选D由f(x)0可得x2.当0x2时，f(x)0，f(x)单调递减；当x2时，f(x)0，f(x)单调递增故x2为f(x)的极小值点3求函数f(x)的极值解：函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).令f(x)0，解得xe.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)极大值因此，xe是函数的极大值点，极大值为f(e)，没有极小值