1、第二课时导数的几何意义从物理学中我们知道，如果物体运动的轨迹是一条曲线，那么该物体在每一个点处的瞬时速度的方向是与曲线相切的例如，若物体的运动轨迹如图所示，而且物体是顺次经过A，B两点的，则物体在A点处的瞬时速度的方向与向量v的方向相同问题如果设曲线的方程为yf(x)，A(x0，f(x0)，那么曲线在点A处的切线的斜率是什么？知识点一导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k0_f(x0)知识点二导函数概念1定义：若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变
2、量x的函数，该函数称为f(x)的导函数2记法：f(x)即f(x)_曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线 1若函数yf(x)在点x0处的导数存在，则曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是什么？提示：根据直线的点斜式方程，得切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2.函数yf(x)的部分图象如图，根据导数的几何意义，你能比较f(x1)、f(x2)和f(x3)的大小吗？提示：根据导数的几何意义，因为在A，B处的切线斜率大于零且kAkB，在C处的切线斜率小于零，所以f(x1)f(x2)f(x3)1如果曲线yf(x
3、)在点(x0，f(x0)处的切线方程为x2y30，那么()Af(x)0Bf(x0)0Cf(x0)0 Df(x0)不存在答案：B2已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为2xy20，则f(1)()A4 B4C2 D2答案：D3抛物线y2x与x轴、y轴都只有一个公共点，在x轴和y轴这两条直线中，只有_是它的切线答案：y轴求曲线的切线方程例1(链接教科书第184页习题4题)已知曲线C：yx3，求曲线C在点P(2，4)处的切线方程解P(2，4)在曲线yx3上，曲线在点P(2，4)处切线的斜率为k 4.曲线在点P(2，4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.母题探究(变条件)若将本例中
4、的条件“在点P(2，4)”处换为“过点P(2，4)”，其他条件不变，结论又如何呢？解：设曲线yx3与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率为k x，切线方程为yx(xx0)，即yxxx.点P(2，4)在切线上，42xx，即x3x40.xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02.故所求的切线方程为xy20或4xy40.1已知曲线上一点P(x0，f(x0)，求在该点处切线方程的三个步骤2求过曲线yf(x)外一点P(x1，y1)的切线方程的六个步骤(1)设切点(x0，f(x0)；(2)利用所设切点求斜率kf(x0) ；(3)用(x0，f(
5、x0)，P(x1，y1)表示斜率；(4)根据斜率相等求得x0，然后求得斜率k；(5)根据点斜式写出切线方程；(6)将切线方程化为一般式 跟踪训练过点(1，1)且与曲线yx32x相切的直线方程为()Axy20或5x4y10Bxy20Cxy20或4x5y10Dxy20解析：选A显然点(1，1)在曲线yx32x上，若切点为(1，1)，则由f(1) (x)23x11，切线方程为y(1)1(x1)，即xy20.若切点不是(1，1)，设切点为(x0，y0)，则kxx01，又由导数的几何意义知kf(x0) 3x2，xx013x2，2xx010，x01，x0.kxx01，切线方程为y(1)(x1)，即5x4y
6、10，故选A.求切点坐标例2已知抛物线y2x21分别满足下列条件，试求出切点的坐标(1)切线的倾斜角为45；(2)切线平行于直线4xy20；(3)切线垂直于直线x8y30.解设切点坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0x2(x)2，4x02x，当x0时，4x0，即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线的倾斜角为45，斜率为tan 451.即f(x0)4x01，得x0，切点的坐标为.(2)抛物线的切线平行于直线4xy20，k4，即f(x0)4x04，得x01，切点坐标为(1，3)(3)抛物线的切线与直线x8y30垂直，则k1，即k8，即f(x0)4x08，得x02，切点坐标为(2，
7、9)求切点坐标可以按以下步骤进行(1)设出切点坐标；(2)利用导数或斜率公式求出斜率；(3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标；(4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标 跟踪训练直线l：yxa(a0)和曲线C：f(x)x3x21相切，则a的值为_，切点坐标为_解析：设直线l与曲线C的切点为(x0，y0)，因为f(x) 3x22x，则f(x0)3x2x01，解得x01或x0，当x01时，y0xx11，又(x0，y0)在直线yxa上，将x01，y01代入得a0与已知条件矛盾舍去当x0时，y01，则切点坐标为，将代入直线yxa中得a.答案：导数几何意义的应用例3(链接教科书第184页习题3
8、题)已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(2)f(3)f(2)f(3)C0f(3)f(3)f(2)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)解析kABf(3)f(2)，f(2)为函数f(x)的图象在点B(2，f(2)处的切线的斜率，f(3)为函数f(x)的图象在点A(3，f(3)处的切线的斜率，根据题图可知0f(3)f(3)f(2)0(即切线的斜率大于零)，则函数yf(x)在xx0附近的图象是上升的；若f(x0)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB) D不能确定解析：选B由导数的几何意义，f(xA)，f(xB)
9、分别是切线在点A，B处切线的斜率，由题图可知f(xA)f(xB)1下面说法正确的是()A若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线B若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在解析：选Cf(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线2曲线f(x)在点M(1，2)处的切线方程为()Ay2x4By2x4Cy2x4 Dy2x4解析：选C，所以当x0时，f(1)2，即k2.所以直线方程为y22(x1)即y2x4.故选C.3已知曲线yx3上一点P，求：(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程解：(1)由yx3，得f(x) 3x23xx(x)2x2，f(2)224.所以点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程为y4(x2)，即12x3y160.