1、2013年广州市高考备考冲刺阶段数学学科训练材料（理科）说明： 本训练题由广州市中学数学教学研究会高三中心组与广州市高考数学研究组共同编写，共24题 本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成3本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等数学试题在内容上相互配套，互为补充四套试题覆盖了高中数学的主要知识和方法因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！1. 已知函数，的最大值是1，其图像经过点（1）求的解
2、析式；Ks5u（2）已知，且，求的值2. 设函数.（1）若是函数的一个零点，求的值；（2）若是函数的一个极值点，求的值.3. 在中，内角所对的边长分别是, 已知，.（1）求的值；（2）若为的中点，求的长.4. 一缉私艇发现在方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）45方向，距离15 海里的海面上有一走私船正以25 海里/小时的速度沿方位角为105的方向逃窜若缉私艇的速度为35 海里/小时，缉私艇沿方位角为45+的方向追去，若要在最短时间内追上该走私船（1）求角的正弦值；（2）求缉私艇追上走私船所需的时间5. 某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下
3、茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）指出这组数据的众数和中位数；（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望6.汽车是碳排放量比较大的行业之一欧盟规定，从2012年开始，将对排放量超过 的型新车进行惩罚某检测单位对甲、乙两类型品牌车各抽取辆进行 排放量检测，记录如下(单位：).甲80110120140150乙100120160经测算发现，乙
4、品牌车排放量的平均值为（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合排放量的概率是多少？（2）若，试比较甲、乙两类品牌车排放量的稳定性7随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元设1件产品的利润（单位：万元）为（1）求的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？8如图，在四棱锥中，底面为直角梯
5、形，底 面，分别为的中点APBCDMN（1）求证：；（2）求与平面所成的角的正弦值9一个三棱锥的三视图、直观图如图（1）求三棱锥的体积；（2）求点C到平面SAB的距离；（3）求二面角的余弦值10如图，为圆的直径，点、在圆上，矩形所在的平面 和圆所在的平面互相垂直，且，（1）求证：平面；（2）设的中点为，求证：平面；（3）设平面将几何体分成的两个锥体 的体积分别为，求11.已知等比数列的公比，且、成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.12.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度 （单位：辆/千米）
6、的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0 ；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数(1)当时，求函数的表达式；(2)当车流密度为多大时，车流量可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）. (车流量为单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）13某地区有荒山2200亩，从2002年开始每年年初在荒山上植树造林，第一年植树100亩，以后每年比上一年多植树50亩（1）若所植树全部成活，则到哪一年可以将荒山全部绿化？（2）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率为20，那么到全部
7、绿化后的那一年年底，该山木材总量是多少？（精确到立方米, ） 14. 已知抛物线与双曲线有公共焦点，点 是曲线在第一象限的交点，且Ks5u（1）求双曲线的方程；（2）以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切，圆： 过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为是否为定值？请说明理由15. 如图，长为m1（m0）的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，点M是线段AB上一点，且m（1）求点M的轨迹的方程，并判断轨迹为何种圆锥曲线；（2）设过点Q(，0)且斜率不为0的直线交轨迹于C、D两点试问在x轴上是否存在定点P，使PQ平分CPD？若存在，求点P的坐标；若不
8、存在，请说明理由16.已知数列的前项和的平均数为（1）求的通项公式；（2）设，试判断并说明的符号；（3）设函数，是否存在最大的实数? 当时，对于一切非零自然数，都有17. 数列满足，且时，（1） 求数列的通项公式；（2） 设数列的前项和为，求证对任意的正整数都有 18. 设，函数， ，（1）当时，求函数的值域；（2）试讨论函数的单调性19.已知函数的图像在点处的切线方程为.（1）用表示出；（2）若在上恒成立，求的取值范围；（3）证明：.20.如图,已知直线及曲线上的点的横坐标为().从曲线上的点作直线平行于轴，交直线作直线平行于轴，交曲线的横坐标构成数列.(1)试求的关系;(2)若曲线的平行于
9、直线的切线的切点恰好介于点之间(不与重合),求的取值范围;(3)若,求数列的通项公式. 21. 已知函数的导函数是, 对任意两个不相等的正数, 证明: (1)当时, ; (2)当时, .22. 对于函数，若存在R，使成立，则称为的不动点 如果函数有且仅有两个不动点0和2（1）试求b、c满足的关系式；（2）若c2时，各项不为零的数列an满足4Sn1，求证：； （3）在(2)的条件下, 设bn，为数列bn的前n项和， 求证： 23.已知定义在上的单调函数，存在实数，使得对于任意实数，总有恒成立（1）求的值；（2）若，且对任意正整数，有，记，比较与的大小关系，并给出证明24. 已知函数，设在点N*）
10、处的切线在轴上的截距为，数列满足：N*）（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，仅当时，取最小值，求的取值范围；（3）令函数，数列满足：，N*），求证：对于一切的正整数，都满足：2013年广州市高考备考冲刺阶段数学学科(理科)训练材料参考答案1. 解：（1）依题意有，则，将点代入得， 而，故.（2）依题意有，而， ， .2. 解：（1）是函数的一个零点, , 从而. （2）, 是函数的一个极值点 , 从而. .3. 解：（1）且， （2）由（1）可得 由正弦定理得，即，解得在中， ，4. 解：（1）设缉私艇追上走私船所需的时间为t小时，则有|BC|25t，|AB|35t， 且CAB，ACB12
11、0，根据正弦定理得： ，即， sin（2）在ABC中由余弦定理得：|AB|2|AC|2|BC|22|AC|BC|cosACB，即 （35t）2152（25t）221525tcos120，即24t215t90，解之得：t=1或t=（舍）故缉私艇追上走私船需要1个小时的时间5.解：（1）众数：8.6；中位数：8.75 （2）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则 （3）的可能取值为0、1、2、3.高考.资.源+网 高.考.资.源+网 ； ； 的分布列为 高考资源网所以. 另解：的可能取值为0、1、2、3.高.考.资., 则，. 的分布列为 所以=. 6. 解：（1）
12、从被检测的辆甲类品牌车中任取辆，共有种不同的排放量结果： ()；()；()；()；()；()；()；()；()；(). 设“至少有一辆不符合排放量”为事件，则事件包含以下种不同的结果： ()；()；()；()；()；()；(). 所以，. 答：至少有一辆不符合排放量的概率为 （2）由题可知，. ，令， ，乙类品牌车碳排放量的稳定性好. 7解（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；，故的分布列为：621-20.630.250.10.02（2）（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为依题意，即，解得 所以三等品率最多为.8（1）解法1：是的中点，平面，所以又，又，平面平面，解法2
13、：如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，yAPBCDMNxz可得，因为，所以（2）因为所以 ，又，所以 平面，因此 的余角即是与平面所成的角因为 所以与平面所成的角的正弦值为9. 解： （1）由正视图、俯视图知；由正视图、侧视图知，点B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，则，平面，；由俯视图、侧视图知，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，则，平面，如图（1）三棱锥的体积解法一：以O为原点，OA为轴，过O且平行于BD的直线为轴，OS为轴，建立如图空间直角坐标系，可求，设是平面SAB的一个法向量，则，取，（2）可知，设点C到平面SAB的距离为，则（3）可知是平面ABC一个法向量，故，
14、二面角的余弦值为解法二：（2）可求，SAB的面积，设点C到平面SAB的距离为，由三棱锥的体积，得（3）作于H，作交AB于E，则，连接SE，因OE是SE在底面ABC内的射影，而，故，为二面角的平面角ABC中，易求，由ABC的面积，AEO与AHC相似，相似比为AO：AC=3：4，故，中，故，二面角的余弦值为10.（1）证明： 平面平面,平面平面=，平面，平面，为圆的直径， 平面（2）设的中点为，则，又，则，为平行四边形，又平面，平面， 平面（3）过点作于，平面平面，平面，平面，11.解：（1）因为、成等差数列，所以，即.因为，所以，即.因为，所以.所以.所以数列的通项公式为.（2）因为，所以.所以
15、当时，；当时，.综上所述，12. 解:(1)由题意，当时，当时，设由已知得解得.(2)依题意得当时，为增函数，故.当时，时，取最大值.答：车流密度为100时，车流量达到最大值3333.13.解：（1）设植树年后可将荒山全部绿化，记第年初植树量为，依题意知数列是首项，公差的等差数列，则, 即 到2009年初植树后可以将荒山全部绿化 （2）2002年初木材量为，到2009年底木材量增加为,2003年初木材量为，到2009年底木材量增加为,2009年初木材量为，到2009年底木材量增加为.则到2009年底木材总量-得2答：到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为9060214. 解：（1）抛物线的焦
16、点为， 双曲线的焦点为、，设在抛物线上，且，由抛物线的定义得，s5u，又点在双曲线上，由双曲线定义得， 双曲线的方程为：（2）为定值下面给出说明设圆的方程为：， 5u圆与直线相切，圆的半径为， 故圆：. 显然当直线的斜率不存在时不符合题意，设的方程为，即，设的方程为，即，点到直线的距离为，点到直线的距离为，直线被圆截得的弦长，直线被圆截得的弦长， ， 故为定值 15. 解：（1）设A、B、M的坐标分别为(x0，0)、(0，y0)、(x，y)，则xy(m1)2， 由m，得(xx0，y)m(x，y0y)， 将代入，得(m1)2x2()2y2(m1)2，化简即得点M的轨迹的方程为x21（m0）当0m
17、1时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆；当m1时，轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆；当m1时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆 （2）依题意，设直线CD的方程为xty，由消去x并化简整理，得(m2t21)y2m2tym20，m4t23m2(m2t21)0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1y2，y1y2 假设在x轴上存在定点P(a，0)，使PQ平分CPD，则直线PC、PD的倾斜角互补，kPCkPD0，即0，x1ty1，x2ty2，0，化简，得4ty1y2(12a)( y1y2)0 将代入，得0，即2m2t(2a)0，m0，t(2a)0，上式对tR都成立，a2故在x轴上存在定点P(2，0)，使PQ平分
18、CPD 16.解：（1）由题意，两式相减得，而，（2），(3)由（2）知是数列的最小项.当时，对于一切非零自然数，都有,即，即，解得或，取.17. 解：（1），则 则（2） 由于，因此，又所以从第二项开始放缩： 因此 18.解:（1），当时，即时，最小值为2当时，在上单调递增，所以 所以时，的值域为（2）依题意得若，当时，递减，当时，递增若，当时，令，解得， 当时，递减，当时，递增 当时，递增若，当时，递减 当时，解得， 当时，递增， 当时，递减，对任意，在上递减综上所述，当时，在或上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在，上单调递减；当时，在上单调递
19、减19. 解：（1）则有. （2）由（1）得 令, 当时，.若，是减函数， ，即故在不恒成立.当时，.若，是增函数，即故时.综上所述，的取值范围是.（3）由（2）知，当时，有.令，则 即当时，总有令，则 .将上述个不等式累加得整理得20.解:(1)因为点的坐标为,的坐标为,所以点的坐标为,则故的关系为(2) 设切点为,则得,所以解不等式得.的取值范围是(3) 由得,即,故,所以数列是以2为公比,首项为的等比数列, 即解得,数列的通项公式为.21. 略解：（1） .，而,又,得,又,得,由于,故.所以.所以.（2），故 ，下面证明：成立.法1：. 令，则，可知.即.法2：即 由于.令，则，可知.
20、故成立.22. 解： (1)设 (2)c2 b2 ，由已知可得2Snanan2，且an 1当n 2时，2 Sn -1an1，得(anan1)( anan11)0，anan1 或 anan1 1， 当n1时，2a1a1a12 a11，若anan1，则a21与an 1矛盾anan11， ann 要证不等式，只要证 ，即证 ，只要证 ，即证 考虑证不等式(x0) . (*) 令g(x)xln(1x)， h(x)ln(x1) (x0) ， ，x0， 0， 0，g(x)、h(x)在(0, )上都是增函数， g(x)g(0)0， h(x)h(0)0，x0时，令则(*)式成立， (3)由(2)知bn，则TnKs5u在中，令n1，2，3，2008，并将各式相加，得，即T20091ln2009T2008 23.解:（1）令，得， 令得 由、，得为单调函数，（2）由（1）得，又. Ks5u. 24.解:（1） ，则，得，即，数列是首项为2、公差为1的等差数列，即.（2），函数在点N*）处的切线方程为：，令，得，仅当时取得最小值，只需，解得，故的取值范围为Ks5u（3），故，故，则，即 = 又，故
