1、高中同步测试卷(八)讲末检测 参数方程(C)(时间：120 分钟，满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1参数方程为xt1ty2，(t 是参数)，表示的曲线是()A一条直线B两条直线C一条射线D两条射线2直线xx0atyy0bt(t 为参数)上两点 A，B 对应的参数分别为 t1 和 t2，则|AB|等于()A|t1t2|B.a2b2|t1t2|C.|t1t2|a2b2D.|t1t2|a2b23动点 M 做匀速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 3 m/s 和 4 m/s，直角坐标系的
2、长度单位是 1 m，点 M 的起始位置在点 M0(2，1)处，则点 M 的轨迹的参数方程是()A.x3t，y4t(t 为参数，t0)B.x23t，y14t(t 为参数，t0)C.x2t，yt(t 为参数，t0)D.x32t，y4t(t 为参数，t0)4设 P(x，y)为椭圆(x1)22y23 1 上的一点，则 xy 的取值范围是()A.1 102，1 102BRC.102 1，102 1D.1 62，1 625下列双曲线中，与双曲线x3cosytan(为参数)的离心率和渐近线都相同的是()A.y23x291B.y23x291C.y23x21D.y23x216直线 l：xtcosytsin(t
3、是参数)与圆 C：x42cosy2sin(为参数)相切，则直线倾斜角 为()A.6或56B.4或34C.3或23D6或567椭圆x5cosy3sin(为参数)的焦点坐标为()A(2，0)，(2，0)B(0，2)，(0，2)C(0，4)，(0，4)D(4，0)，(4，0)8已知过曲线x3cos，y4sin(为参数，0)上一点 P，原点为 O，直线 PO 的倾斜角为4，则点 P 坐标是()A(3，4)B.3 22，2 2C(3，4)D.125，1259若 0 x0)相切，则 r_16已知平摆线的方程为xsiny1cos(为参数)，则该平摆线的拱高是_，周期是_三、解答题(本大题共 6 小题，共 7
4、0 分解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知抛物线 y28x 的焦点为 F，过 F 且斜率为 2 的直线交抛物线于 A、B 两点(1)求|AB|；(2)求 AB 的中点 M 的坐标及|FM|.18.(本小题满分 12 分)已知圆 C 的参数方程是x16cos，y26sin(为参数)和直线 l 对应的普通方程是 xy6 20.(1)如果把圆心平移到原点 O，请问平移后圆和直线满足什么关系？(2)写出平移后圆的平摆线方程19.(本小题满分 12 分)如图所示，设 P 为等轴双曲线 x2y21 上的一点，F1，F2 是两个焦点，证明：|PF1|PF2|OP|
5、2.20(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点 A 的极坐标为2，4，直线 l 的极坐标方程为 cos4 a，且点 A 在直线 l 上(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；(2)圆 C 的参数方程为x1cos，ysin(为参数)，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系21.(本小题满分 12 分)已知方程 y26ysin2x9cos28cos90，(02)(1)试证：不论 如何变化，方程都表示顶点在同一椭圆上的抛物线；(2)为何值时，该抛物线在直线 x14 上截得的弦最长，并求出此弦长22(本小题满分 12 分)在直角坐标系
6、 xOy 中，直线 l 的方程为 xy40，曲线 C 的参数方程为x 3cos，ysin(为参数)(1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，点 P 的极坐标为4，2，判断点 P 与直线 l 的位置关系；(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值参考答案与解析 1解析：选 D.y2 表示一条平行于 x 轴的直线当 t0 时 xt1t2t1t2；当 t0 时 xt1t2t1t2，即 x2 或 x2，所以表示两条射线2解析：选 B.原参数方程可化为xx0aa2b2（a2b2t）x0tcosyy0ba2
7、b2（a2b2t）y0tsin(其中 sinba2b2，cosaa2b2，t a2b2t 且 t是参数)，则|AB|t1t2|a2b2t1 a2b2t2|a2b2|t1t2|.故应选 B.3解析：选 B.设在时刻 t 时，点 M 的坐标为 M(x，y)，则x23t，y14t(t 为参数，t0)4导学号 79390053 解析：选 A.设x1cos，y 62 sin，则 xy1cos 62 sin1 102 sin()，所以 1 102 xy1 102.5解析：选 B.将双曲线x3cos，ytan(为参数)化为普通方程为x23y21，其渐近线方程为 y 33 x，离心率为 e2 33，经验证知
8、B 正确6导学号 79390054 解析：选 A.将参数方程化为普通方程，直线为 ytanx(2，当 2时不合题意)，圆为(x4)2y24，它们相切的充要条件是：圆心到直线的距离 dr，即|4tan0|1tan22，所以 tan 33.因为 0，)，所以 6或56，故选 A.7导学号 79390055 解析：选 D.利用平方关系化为普通方程x225y291，c216，c4，焦点在 x 轴上，所以焦点为(4，0)，(4，0)，故选 D.8解析：选 D.设|OP|t，则 P 点坐标22 t，22 t，代入方程x29y2161，解得 t12 25，所以 P 点坐标125，125.9解析：选 C.因为
9、 y2cosxsinx2cosx0（sinx），所以上式 y 即为点(0，2)与点(sinx，cosx)(0 x)，连线的斜率令 xsinx，ycosx，ky，消去 x 得，x2y21(x0)知，当直线 kxy20 与半圆 x2y21(如图)相切时，k 最大，所以21k21，所以 k 3，所以函数 y2cosxsinx的最大值为 3.10导学号 79390056 解析：选 D.因为半径 r2，所以拱宽为 2r4，拱高为 2r4.11解析：选 D.由圆的渐开线参数方程可知 D 正确12解析：选 C.根据渐开线的定义可知，AE是半径为 1 的14圆周长，长度为2，继续旋转可得EF是半径为 2 的1
10、4圆周长，长度为；FG 是半径为 3 的14圆周长，长度为32；GH 是半径为 4 的14圆周长，长度为 2.所以曲线 AEFGH 的长度是 5.13解析：将原参数方程改写成x1tsin，y2tcos，消去参数 t，得 y2(x1)tan32 ，由 2，和倾斜角的范围可知直线 l 的倾斜角为32.答案：32 14解析：由 cos 4，知 x4.又xt2，yt3，所以 x3y2(x0)由x4，x3y2，得x4，y8，或x4，y8，所以|AB|（44）2（88）216.答案：1615导学号 79390057 解析：由x8t2y8t 得 y28x，抛物线 C 的焦点坐标为 F(2，0)，直线方程为
11、yx2，即 xy20.因为直线 yx2 与圆(x4)2y2r2 相切，由题意得r|402|2 2.答案：216解析：由已知方程可化为x1（sin）y1（1cos），知基圆半径为 r1，所以拱高2r2，周期为 2.答案：2 217解：抛物线 y28x 的焦点为 F(2，0)，依题意，设直线 AB 的参数方程为x2 15ty 25t(t 为参数)，其中 tan2，cos 15，sin 25，为直线 AB 的倾斜角，代入 y28x 整理得 t22 5t200.设FAt1e，FBt2e，其中 e15，25，则 t1t22 5，t1t220.(1)|AB|FBFA|t2et1e|t2t1|e|t2t1|
12、（t1t2）24t1t2（2 5）28010.即|AB|10.(2)由于 AB 的中点为 M，则AM MB，所以FM FAFBFM，即FM 12(FAFB)，又FM 12(FAFB)t1t22e，故点 M 对应的参数为t1t22 5，所以 M(3，2)，|FM|t1t22|5.18导学号 79390058 解：(1)圆 C 平移后圆心为 O(0，0)，它到直线 xy6 20的距离 d6 22 6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的(2)由于圆的半径是 6，所以可得摆线方程是x6（sin），y6（1cos）(为参数)19证明：因为双曲线的方程为 x2y21，所以设 P1cos，tan.因为
13、F1(2，0)，F2(2，0)，所以|PF1|1cos 22tan22cos22 2cos1，|PF2|1cos 22tan22cos22 2cos1.所以|PF1|PF2|2cos2128cos22cos21.因为|OP|21cos2tan22cos21.所以|PF1|PF2|OP|2.20解：(1)由点 A2，4 在直线 cos4 a 上，可得 a 2，所以直线 l 的方程可化为 cos sin 2，从而直线 l 的直角坐标方程为 xy20.(2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆 C 的圆心为(1，0)，半径 r1.因为圆心 C 到直线 l 的距离 d 12 22
14、1，所以直线 l 与圆 C 相交21导学号 79390059 解：(1)证明：将方程 y26ysin2x9cos28cos90，可配方为(y3sin)22(x4cos)，所以图象为抛物线，设其顶点为(x，y)，则有x4cosy3sin，消去 得顶点轨迹就是椭圆x216y291.(2)联立x14，y26ysin2x9cos28cos90，消去 x，得 y26ysin9sin28cos280.弦长|AB|y1y2|4 72cos.当 cos1，即 时，弦长最大为 12.22解：(1)把极坐标系下的点 P4，2 化为直角坐标，得点(0，4)因为点 P 的直角坐标(0，4)满足直线 l 的方程 xy40，所以点 P 在直线 l 上(2)因为点 Q 在曲线 C 上，故可设点 Q 的坐标为(3cos，sin)，从而点 Q 到直线 l 的距离为d|3cos sin 4|22cos6 42 2cos6 2 2，由此得，当 cos6 1 时，d 取得最小值，且最小值为 2.