1、压轴大题突破练2直线与圆锥曲线(二)1设椭圆C：1(ab0)的离心率e，左顶点M到直线1的距离d，O为坐标原点(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值(1)解由e，得ca，又b2a2c2，所以ba，即a2b.由左顶点M(a,0)到直线1，即bxayab0的距离d，得，即，把a2b代入上式，得，解得b1.所以a2b2，c.所以椭圆C的方程为y21.(2)证明设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x1x2，y1y2.因为以AB为直径的圆经过坐标原点，故0，即x1x2
2、y1y20，也就是xy0，又点A在椭圆C上，所以y1，解得|x1|y1|.此时点O到直线AB的距离d1|x1|.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，与椭圆方程联立有消去y，得(14k2)x28kmx4m240，所以x1x2，x1x2.因为以AB为直径的圆过坐标原点O，所以OAOB.所以x1x2y1y20.所以(1k2)x1x2km(x1x2)m20.所以(1k2)m20.整理得5m24(k21)，所以点O到直线AB的距离d1.综上所述，点O到直线AB的距离为定值.2若直线l：y过双曲线1 (a0，b0)的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行. (1)求双曲线的方程；(2)若过点
3、B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m在y轴上的截距的取值范围解(1)由题意，可得c2，所以a23b2，且a2b2c24，解得a，b1.故双曲线的方程为y21.(2)由(1)知B(0,1)，依题意可设过点B的直线方程为ykx1 (k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)由得(13k2)x26kx60，所以x1x2，36k224(13k2)12(23k2)00k2，且13k20k2.设MN的中点为Q(x0，y0)，则x0，y0kx01，故直线m的方程为y，即yx.所以直线m在y轴上的截距为，由0k20)的焦点为F(0,1)，过点F作直线l
4、交抛物线C于A，B两点椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e.(1)分别求抛物线C和椭圆E的方程；(2)经过A，B两点分别作抛物线C的切线l1，l2，切线l1与l2相交于点M.证明：ABMF；(3)椭圆E上是否存在一点M，经过点M作抛物线C的两条切线MA，MB(A，B为切点)，使得直线AB过点F？若存在，求出抛物线C与切线MA，MB所围成图形的面积；若不存在，试说明理由(1)解由已知抛物线C：x22py (p0)的焦点为F(0,1)可得抛物线C的方程为x24y，设椭圆E的方程为1 (ab0)，半焦距为c.由已知可得：解得a2，b1.所以椭圆E的方程为y21.(2)证
5、明显然直线l的斜率存在，否则直线l与抛物线C只有一个交点，不合题意，故可设直线l的方程为ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2) (x1x2)，由消去y并整理得x24kx40，x1x24.抛物线C的方程为yx2，求导得yx，过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是yy1x1(xx1)，yy2x2(xx2)，即yx1xx，yx2xx，解得两条切线l1，l2的交点M的坐标为，即M，(x2x1，y2y1)(xx)20，ABMF.(3)解假设存在点M满足题意，由(2)知点M必在直线y1上，又直线y1与椭圆E有唯一交点，故M的坐标为M(0，1)，设过点M且与抛物线C相切的切线方程为yy0x0(xx0)，其中点(x0，y0)为切点令x0，y1，得1xx0(0x0)，解得x02或x02，故不妨取A(2,1)，B(2,1)，即直线AB过点F.综上所述，椭圆E上存在一点M(0，1)，经过点M作抛物线C的两条切线MA、MB(A、B为切点)，能使直线AB过点F.此时，两切线的方程分别为yx1和yx1.抛物线C与切线MA、MB所围成图形的面积为S2x2(x1)dx2|.
