1、2011学年浙江省第二次五校联考数学（理科）试题卷本试卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分钟请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上 选择题部分（共50分）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字亦的签字笔或钢笔镇写在答题纸规定的位置上2每小题选出后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上参考公式：如果事件，互斥，那么 棱柱的体积公式 如果事件，相互独立，那么 其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高 棱锥的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 次独立重复试验中事件恰好发生次的概
2、率 其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高 棱台的体积公式球的表面积公式 球的体积公式 其中分别表示棱台的上底、下底面积， 其中表示球的半径 表示棱台的高第I卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设全集，集合，则等于（A） （B） （C） （D）【解析】， ，【答案】D2将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为【答案】D3若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（A） （B） （C） （D）【解析】，由区间长度知：【答案】C4已知直线l，m与平面满足，则有（A）且 （B）且（C）且
3、（D）且【解析】，又【答案】B5设实数满足，则的最大值和最小值之和等于（A）12 （B）16 （C）8 （D）14 【解析】作出可行域如图所示： 过B点有最小值，过A点有最大值，故，和为12【答案】A6若，且，则的值为（A） （B） （C） （D）【解析】代入上式得：，展开，平方上式得：【答案】D7 过双曲线的右焦点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的渐近线方程为（A） （B） （C） （D） 【解析】过右焦点的直线为，设其与交于A，且；设其与交于B，且；由知：A为线段BF2中点，故有：，即：【答案】A8设，若，则的最大值为（A） （B）2 （C） （D） 3【
4、解析】如图建系（以AB中点O为原点）则：，设C（x，y），由得：化简得：，显然C的几何图形为以E为圆心，为半径的圆，观察易得：当C在D点时，最大，且为2【答案】B9数列共有12项，其中，且，则满足这种条件的不同数列的个数为（A）84 （B）168 （C）76 （D）152 【解析】本题主要考查学生的分类和耐心【答案】A10将函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则满足条件的角的范围是（A） （B） （C） （D）【解析】作出图像如下所示：根据函数的定义知对于每一个x都只有唯一的一个y与之对应，观察图像易发现答案为【答案】C第II卷（共100分
5、）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11复数（为虚数单位）为纯虚数，则复数的模为 【解析】，令，【答案】12某程序框图如图所示，则程序运行后输出的值为 【解析】i=1，S=1；i=2，S=3；i=3，S=6；i=4，S=10；i=5跳出程序，此时S=10【答案】1013在的展开式中，含的项的系数是 【解析】故【答案】514平面内与直线平行的非零向量称为直线的方向向量，与直线的方向向量垂直的非零向量称为直线的法向量在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点且法向量为的直线（点法式）方程为，化简后得则在空间直角坐标系中，平面经过点，且法向量为的平面（点法式）方程化简后
6、的结果为 【解析】类比得：【答案】注：由以上提示知：方程表示一个平面，那么请问方程表示怎样的几何图形呢？ （为旋转的抛物面）15过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且AB中点的纵坐标为，则的值为 【解析】设直线为：，代入抛物线得：，又：，即：【答案】16甲、乙两个篮球队进行比赛，比赛采用5局3胜制（即先胜3局者获胜）若甲、乙两队在每场比赛中获胜的概率分别为和，记需要比赛的场次为，则 【解析】可以取的值有3、4、5；【答案】 （原答案为，这里提供的是本人的答案）17三棱锥中，两两垂直且相等，点，分别是和上的动点，且满足，则和所成角余弦值的取值范围是 【解析】方法一：考虑几种极端情况；方法二：过点
7、O作PQ的平行线，则点P，Q的运动相当于点在如图所示的四边形MNGH上运动.显然，最大，最小.以OB，OA和OC为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，O（0，0，0），设点B（3，0，0）则点H为（1，2，2），点N（2，1，1），可得【答案】三、解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18（本题满分14分） 在中，角所对的边分别为，已知成等比数列，且（）求角的大小；（）若，求函数的值域 18解:（）因为a、b、c成等比数列，则由正弦定理得. 又，所以因为sinB0，则 4 因为B(0，)，所以B或又，则或，即b不是ABC的最大边，故3 （）因为，则 4 ，则，所
8、以故函数的值域是 3 19（本题满分14分） 设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足（）求数列和的通项公式；（）是否存在，使得是数列中的项？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由19解：（）设的公比为，则有或（舍）则，即数列和的通项公式为， 6（），令，所以，如果 是数列中的项,设为第项，则有，那么为小于等于5的整数，所以 4当或时，,不合题意；当或时，,符合题意所以，当或时，即或时，是数列中的项 4 20（本题满分14分） 如图，垂直平面，点在上，且（）求证：；（）若二面角的大小为，求的值20解：（）过E点作与点F，连AF，于是所以，又，所以；又，所以 ，所以， ，所以，所以与相似
9、，所以，即；又，于是，又，所以 6 （）解法一（空间向量法）如右图，以F为原点，FA为x轴，FC为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，则，于是， ，设平面ABE的法向量为，则，于是，令，得，得.设平面ACE的法向量为，于是，令，得，得.,解得： 8 解法二：（综合几何法）过F作于G点，连GC，GB，由，可得，所以，所以为B-AE-C的平面角，设AC=1，则，所以，于是，于是由，得到 8 （第21题）21（本题满分15分） 设点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为动点满足（其中，不重合）（）求点的轨迹的方程；（）过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为若直线与（）中的曲线交于两点，求的取值范
10、围21解：（）设点,由，得，由于点P在上，则，即M的轨迹方程为 4（）设点，则AT，BT的方程为：，又点 在AT、BT上，则有：，由、知AB的方程为：3设点，则圆心O到AB的距离，；又由，得，于是，于是于是， 3设，则，于是，设，于是，设，令，得得在上单调递增，故即的范围为 522（本题满分15分） 设函数，若在点处的切线斜率为（）用表示；（）设，若对定义域内的恒成立，（）求实数的取值范围； （）对任意的，证明：22解：（），依题意有：； 2（）恒成立.（）恒成立即. 方法一：恒成立，则.当时，则，单调递增，当， 单调递减，则，符合题意；即恒成立，实数的取值范围为； 6方法二：，当时，单调递减
11、，当，单调递增，则，不符题意；当时，（1）若，单调递减；当， 单调递增，则，矛盾，不符题意；（2）若，若，单调递减，不符题意；若，单调递减，不符题意；（矛盾；）若，单调递增；当， 单调递减，则，符合题意；综上，得恒成立，实数的取值范围为； 6（）由（）知，恒成立，实数的取值范围为.方法一：令，考虑函数，下证明，即证：，即证明，由，即证，又，只需证，即证，显然成立.即在单调递增，则，得成立，则对任意的，成立 7方法二：考虑函数.2011学年浙江省第二次五校联考数学（理科）答案一、选择题： 题号12345678910答案DDCBADABAC二、填空题：11； 1210； 135； 14； 15；
12、16； 17三、解答题：18解:（）因为a、b、c成等比数列，则由正弦定理得. 又，所以因为sinB0，则 4 因为B(0，)，所以B或又，则或，即b不是ABC的最大边，故3 （）因为，则 4 ，则，所以故函数的值域是 3 19解：（）设的公比为，则有或（舍）则，即数列和的通项公式为， 6（），令，所以，如果 是数列中的项,设为第项，则有，那么为小于等于5的整数，所以 4当或时，,不合题意；当或时，,符合题意所以，当或时，即或时，是数列中的项 4 20解：（）过E点作与点F，连AF，于是所以，又，所以；又，所以 ，所以， ，所以，所以与相似，所以，即；又，于是，又，所以 6 （）解法一（空间向
13、量法）如右图，以F为原点，FA为x轴，FC为y轴，FE为z轴，建立空间直角坐标系，则，于是， ，设平面ABE的法向量为，则，于是，令，得，得.设平面ACE的法向量为，于是，令，得，得.,解得： 8 解法二：（综合几何法）过F作于G点，连GC，GB，由，可得，所以，所以为B-AE-C的平面角，设AC=1，则，所以，于是，于是由，得到 8 21解：（）设点,由，得，由于点P在上，则，即M的轨迹方程为 4（）设点，则AT，BT的方程为：，又点 在AT、BT上，则有：，由、知AB的方程为：3设点，则圆心O到AB的距离，；又由，得，于是，于是于是， 3设，则，于是，设，于是，设，令，得得在上单调递增，故
14、即的范围为 522解：（），依题意有：； 2（）恒成立.（）恒成立即. 方法一：恒成立，则.当时，则，单调递增，当， 单调递减，则，符合题意；即恒成立，实数的取值范围为； 6方法二：，当时，单调递减，当，单调递增，则，不符题意；当时，（1）若，单调递减；当， 单调递增，则，矛盾，不符题意；（2）若，若，单调递减，不符题意；若，单调递减，不符题意；（矛盾；）若，单调递增；当， 单调递减，则，符合题意；综上，得恒成立，实数的取值范围为； 6（）由（）知，恒成立，实数的取值范围为.方法一：令，考虑函数，下证明，即证：，即证明，由，即证，又，只需证，即证，显然成立.即在单调递增，则，得成立，则对任意的，成立 7方法二：考虑函数.