1、 2011江苏高考数学信息调研题一、填空题1. 在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 . 乙2 93 4 54 8 2 6 5 3 56 7 甲 8 9 1 2 5 7 8 5 6答案：45 462已知，且 则= .答案： 3若，则对任意，使的概率为 .答案：4. 从-1,1,2中随机选取一个数记为k,从-2,1,2中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b不 经过第三象限的概率为 .答案：5. 已知函数 ,则“-2a0”是“f(x)在R上单调递增”的 条件.(填充分不必要、必要不充分或充要)答案：必要不充分6. 函数y=f(x)的图像在点M(1, f(1)处的切线方程是y=3x
2、-2，则f(1)+ f (1)= .答案：切点既在曲线上也在切线上，f(1)=3-2=1，f (1)=3，f(1)+ f (1)=4。7. 若直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是 .答案：48已知分别是椭圆的左、右焦点，若在椭圆的右准线上存在一点，使得线段的垂直平分线过点，则离心率的取值范围是 .答案：9设函数,为坐标原点,为函数图像上横坐标为 的点,向量,设为与的夹角,则= .答案：,即为向量与轴的夹角,所以,所以.10某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合. 将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=
3、, 其中t0,60。CADEB答案：11. 如图，在直角三角形ABC中，E为斜边AB的中点，CDAB，AB=1，则的最大值是 .答案：12如图，线段点在线段上，且为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点设面积为. 则的最大值 为 .答案：二、解答题（一）三角13. 在中，角的对边分别为. （1）求的值；（2）求的面积.解：（1）因为为的内角，所以所以（2）由（1），知因为，所以在中，所以的面积14.已知在中，角的对边分别为向量（1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值.解： 当时，、 当时，（二）立几15. 如图，直三棱柱中，分别为的中点.（1）求证/平面（2）当时，求证：平面平面
4、证明：（1）（2）连结得四边形是正方形 连结则与的交点即为的中点，又是的中点 16. 平行四边形ABCD中，CD=1，BCD=60，且BDCD，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点。(1)求证：BD平面CDE；(2)求证：GH平面CDE；(3)求三棱锥D-CEF的体积。解：(1)证明： 平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD。EDAD，ED平面ABCD.EDBD。又BDCDBD平面CDE。(2)证明：连结EA，则G是AE的中点。EAB中，GHAB。又ABCD，GHCD，GH平面CDE(3)解：设RtBCD中BC边上的高为h。CD=1，BCD=
5、60，BC=2，h=。即点C到平面DEF的距离为，VD-CEF=VC-DEF=22=。（三）应用题17. 如图，海岸线，现用长为的拦网围成一养殖场，其中(1)若, 求养殖场面积最大值；(2)若、为定点，在折线内选点，使，求四边形养殖场DBAC的最大面积；(3)若(2)中B、C可选择，求四边形养殖场ACDB面积的最大值.解：(1)设，所以， 面积的最大值为，当且仅当时取到(2)设为定值) (定值) ，由，a =l，知点在以、为焦点的椭圆上，为定值只需面积最大,需此时点到的距离最大, 即必为椭圆短轴顶点 面积的最大值为，因此,四边形ACDB面积的最大值为(3)先确定点B、C，使. 由(2)知为等腰
6、三角形时，四边形ACDB面积最大.确定BCD的形状，使B、C分别在AM、AN上滑动，且BC保持定值，由(1)知AB=AC时，四边形ACDB面积最大.此时，ACDABD，CAD=BAD=，且CD=BD=.S=.由(1)的同样方法知，AD=AC时，三角形ACD面积最大，最大值为.所以，四边形ACDB面积最大值为.18.某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2a5）的税收设每件产品的日售价为x元（35x41），根据市场调查，日销售量与（e为自然对数的底数）成反比例已知当每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件（1）求该商店的日利润L
7、（x）元与每件产品的日售价x的函数关系式；（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值解：（1）设日销售量为，则0， 则日销售量为件日售价为x元时，每件利润为（x30a）元，则日利润 L（x）（x30a） （2）当2a4时，3331a35，而35x41，（x）0，L（x）在35，41上是单调递减函数则当x35时，L（x）取得最大值为10 当4a5时，3531a36，令（x）0，得xa31x35，a31)时，（x）0，L（x）在35，a31)上是单调递增函数； x（a31，41时，（x）0，L（x）在（a31，41上是单调递减函数 L（x)在35，41上
8、连续，当xa31时，L（x）取得最大值为10 总之， （四）解几19. 中心在原点，焦点在轴上的椭圆的焦距为2，两准线间的距离为10. 设过点作直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点（1）求椭圆的方程;（2）求证直线过轴上一定点（3）若过点作直线与椭圆只有一个公共点求过两点，且以为切线的圆的方程.解：（1）设椭圆的标准方程为依题意得：所以，椭圆的标准方程为（2）设，AP=tAQ，则. 结合，得. 设B(x，0)，则， 所以，直线过轴上一定点B(1，0).（3）设过点的直线方程为：代入椭圆方程得： .依题意得：即得： 且方程的根为.当点位于轴上方时，过点与垂直的直线与轴交于点,直线的方程
9、是： .所求的圆即为以线段为直径的圆，方程为：同理可得：当点位于轴下方时，圆的方程为：20. 已知依次满足 （1）求过点的轨迹； （2）过点作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的 距离为，且直线与点的轨迹相切，求该椭圆的方程； （3）经过（2）中椭圆上顶点B作直线m，n，使mn，直线m，n分别交椭圆于P，Q，连接PQ，求证PQ经过定点.解：（1）设（2）设直线的方程为 椭圆的方程 由与圆相切得： 将代入得： ， 又，可得， 有，. （3）点B(0，2)，直线m：y=kx+2，代入椭圆方程得：x2+2(kx+2)2=8， 解出 ； 直线n：y=(-1/k)x+2，同理得：. 直线PQ的方
10、程：. 令x=0，直线PQ经过定点.（五）函数21. 定义在上的奇函数，满足条件：在时，且（1）求在上的解析式；（2）求在上的取值范围；（3）若解关于的不等式解：（1）是上的奇函数，且时， 时， 又由于是上的奇函数，所以综上所述，当时，（2）当时，设当时，由可得上是增函数，即在上的取值范围是.（3）据第（2）小题，可知当时，当时，的解集是；当时，的解集是；当时，即设不等式变为总成立，.又注意到而当时， 且即综上可知，不等式的解集如下：当时，的解集是；当时，的解集是；当时，的解集为22.已知函数 (R)(1) 当时，求函数的极值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围20.解：（1
11、）当时，. 令=0, 得 . 当时, 则在上单调递增;当时, 则在上单调递减;当时, 在上单调递增. 当时, 取得极大值为;当时, 取得极小值为. （2） = ，= = . 若a1，则0， 0在R上恒成立， f（x）在R上单调递增 . f（0），, 当a1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点 若a1，则0，= 0有两个不相等的实数根，不妨设为x1，x2，（x1x2） x1+x2 = 2，x1x2 = a 当变化时，的取值情况如下表： xx1（x1，x2）x2+00+f（x）极大值极小值,. .同理. 令f（x1）f（x2）0, 解得a 而当时, 故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只
12、有一个交点. 综上所述，a的取值范围是 （六）数列23. 有个首项为1，项数为的等差数列，设其第个等差数列的第项为且公差为若也成等差数列.（1）求关于的表达式;（2）将数列分组如下：（每组数的个数组成等差数列），设前组中所有数之和为求数列的前项和（3）设是不超过20的正整数，当时，对于（2）中的求使得不等式成立的所有的值.解：（1）则，同理， 成等差数列.故即是公差为的等差数列.所以，（2）由（1）数列分组如下：，注意到前个奇数的和为所以前个奇数的和为即前组中所有数之和为，故又从而相减得：所以，（3）由（2）， 不等式，即 设函数 当时都有即 而 注意到当时，单调递增，故有 因此，当时，成立，
13、即成立. 所以，满足条件的所有正整数24设数列是一个严格递增的正整数数列(1) 若是该数列的其中两项，求证: ;(2) 若该数列的两个子数列和都是等差数列，求证:这两个子数列的公差相等;(3) 若(2)中的公差为1，求证: ,并证明数列也是等差数列证：(1)由条件知: (2)设两子数列的首项分别为公差分别为即上式左，右端皆为常数,中间的N,故必须，(3) 公差为1, 又数列是严格递增的正整数数列, 又由(1)知故即数列是公差为1的等差数列三、理科附加题25. 如图，在直四棱柱中，底面是边长为1，且的菱形，侧棱长为2，是侧棱上的一点，（1）试确定，使直线与平面所成角为（2）在线段上是否存在一个定
14、点，使得对任意的，并证明你的结论. 解：（1）如图，连接交于以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系又则为平面的一个法向量，设与面所成的角为，则解得即当时，直线与平面所成角为（2）假设在上存在这样的点，设点则若即为的中点时，满足题设的要求.26. 已知函数（1）当曲线在处的切线与直线平行时，求的值；（2）求函数的单调区间.解：（1） 由题意可得解得因为此时在点处的切线方程为即与直线平行，故所求的值为3.（2） 令得 当时，所以故的单调递减区间为 当所以，在区间和上，在区间上，故的单调递减区间为和，单调递增区间为. 当所以在区间上，在区间上，故的单调递减区间为，单调递增区间为.综上讨论
15、可得：当时，函数的单调递减区间为当函数的单调递减区间为和单调递增区间为；当函数的单调递减区间为，单调递增区间为.27. 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为123450.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元.表示经销一件该商品的利润.（1） 求事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率（2） 求的分布列及期望解：（1）由表示事件：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”， 知表示事件：“购买该商品的3位顾客中，无人采用1期付款”. （2）的可能取值为200元，250元，300元 的分布列为2002503000.40.40.2 （元）28.把所有正整数按上小下大，左小右大的原则排成如图所示的数表，其中第行共有个正整数，设表示位于这个数表中从上往下数第行，从左往右第个数。（1）若，求和的值；（2）记，求证：当时，。解：（1）因为数表中前行共有个数，则第行的第一个数是，所以，因为，则，即。令，则。（2）因为，则，所以当时，。 版权所有：高考资源网()版权所有：高考资源网()