1、一、填空题1下列有四个结论，其中正确的是_(1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；(2)三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；(3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；(4)顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥【解析】(1)不正确，正棱锥必备两点，一是底面为正多边形，二是顶点在底面内的射影是底面的中心；(2)缺少第一个条件；(3)缺少第二个条件；而(4)可推出以上两个条件都具备【答案】(4)2下列说法中不正确的是_棱长都相等的长方体是正方体；有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱；有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱；底面为菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱【解
2、析】由正四棱柱、正方体的定义可知正确；对于，相邻两侧面为矩形，则侧棱垂直于底面，所以该棱柱为直棱柱，故正确；对于，若这两个侧面都是平行四边形，则不一定是直棱柱故填.【答案】3矩形的两条邻边长为a，b，分别以a、b所在直线为轴旋转一周，若ab，则所得两个旋转体的侧面积S1和S2的大小关系是_【解析】S12ab，S22ab，故S1S2.【答案】S1S24一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32，则母线长为_【解析】l，S侧(Rr)l2l232，l4.【答案】45(2013泰州检测)底面边长为2，高为1的正三棱锥的全面积为_【解析】如图所示，SO平面ABC，且AB2，SO1，连OC
3、交AB于D，则由正三棱锥的性质可知ODAB，且ODCDAB.连结SD，则在RtSDO中，SD.正三棱锥的全面积为：SABC3SSABABCD3ABSD223223.【答案】36(2012吉林检测)已知圆锥的侧面展开图为半圆，半圆的面积为S，则圆锥的底面面积是_【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l.则由题意得Sl2，Srl，l2rl.于是l2r代入Srl得S2r2，圆锥的底面面积r2.【答案】7(2013厦门检测)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_【解析】由长方体与球的切接关系可知，球的半径为Ra球的表面积为4R24(a)26a2.【答案】6a2
4、图1348(2013南通检测)如图134，有一圆柱形的开口容器(下表面密封)，其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为_【解析】ABCD为圆柱形容器的轴截面，且点P位于内壁，点A位于外壁，要使蚂蚁所经过的路程最短，只要其行走的轨迹是一条直线(在平面展开图中)即可如图中AP所示又AB，BP213，AP.【答案】二、解答题9直平行六面体的底面为菱形，过不相邻两条侧棱的截面面积分别为Q1、Q2，求它的侧面积【解】设直平行六面体的底面边长为a，侧棱长为l，如图，S侧4al，过A1A、C1C与B1B、D1D的截面都为矩形
5、，即AC，BD.ACBD，()2()2a2，即()2()2a2. 4a2l2QQ，2al.S侧4al2.10(2013常州检测)已知正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，表面积为512 cm2，求底面的边长【解】如图所示，设上底面边长为x cm，则下底面边长为(x10)cm.在RtE1FE中，EF5.E1F12 cm，斜高E1E13 cm，S侧4(xx10)1352(x5)，S表52(x5)x2(x10)22x272x360.S表512，2x272x360512，x236x760.解得x138(舍去)，x22，x21012，正四棱台的上、下底面边长分别为2 cm,12 cm.11已知一个圆锥的底面半径为R，高为h，在圆锥内部有一个高为x的内接圆柱(1)画出圆锥及其内接圆柱的轴截面；(2)求圆柱的侧面积；(3)x为何值时，圆柱的侧面积最大？【解】(1)圆锥及其内接圆柱的轴截面如图所示(2)设所求的圆柱的底面半径为r，高为x(0xh)，则它的侧面积S2rx.，rRx，S侧2rx2Rxx2.即圆柱的侧面积S是关于x的二次函数Sx22Rx(0xh)(3)Sx22Rx(x)2(x)2.当x，即圆柱的高是已知圆锥的高的一半时，它的侧面积最大.