1、高中同步测试卷(十)讲末检测用数学归纳法证明不等式(A)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1等式122232n2(5n27n4)()An为任何正整数时都成立 B仅当n1，2，3时成立C当n4时成立，n5时不成立 D仅当n4时不成立2用数学归纳法证明不等式12(n2，nN)时，第一步应验证不等式()A12 B12 C12 D11(nN)”时，S1()A. B. C. D以上答案均不正确5用数学归纳法证明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN)”时，从“nk到nk1”两边同乘以一个代
2、数式，它是()A2k2 B(2k1)(2k2) C. D.6平面内原有k条直线，它们的交点个数记为f(k)，则增加一条直线l后，它们的交点个数最多为()Af(k)1 Bf(k)k Cf(k)k1 Dkf(k)7对于不等式n1(nN)，某同学的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，成立时，起始值n0至少应取()A7 B8 C9 D109上一个n层的台阶，若每次可上一层或两层，设所有不同上法的总数为f(n)，则下列猜想正确的是()Af(n)n Bf(n)f(n1)f(n2)Cf(n)f(n1)f(n2) Df(n)10已知
3、f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命题总成立的是()A若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立B若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立C若f(7)49成立，则当k7时，均有f(k)1，kN Ck1，kN Dk2，kN12设f(n)1(nN)，则f(n1)f(n)等于()A. B. C. D.题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确的答案填在题中横线上)13用数学归纳法证明1234n2(nN)，当nk1时，左端应为在nk时的基础上加上
4、_14证明11，nN)，当n2时，中间式子为_15设数列an满足a12，an12an2，用数学归纳法证明an42n12的第二步中，设nk时结论成立，即ak42k12，那么当nk1时，应证明等式_成立16在数列an中，a11，且Sn，Sn1，2S1成等差数列，则S2，S3，S4分别为_，猜想Sn_三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)用数学归纳法证明，对于nN，都有.18(本小题满分12分)在数列an中，a1a21，当nN时，满足an2an1an，且设bna4n，求证：bn各项均为3的倍数19.(本小题满分12分)如果数列an
5、满足条件：a14，an1(n1，2，)，证明：对任何自然数n，都有an1an且an0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，An是线段An2An1的中点，(1)写出xn与xn1，xn2之间的关系式(n3)；(2)设anxn1xn.计算a1，a2，a3，由此推测数列an的通项公式，并加以证明21.(本小题满分12分)平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分割成(n2n2)个区域22(本小题满分12分)求证tan tan 2tan 2tan 3tan(n1)tan nn(n2，nN)参考答案与解析1导学号60840071【解析】选B.分别用n1
6、，2，3，4，5验证即可2【解析】选A.第一步验证n2时不等式成立，即11.5【解析】选D.当nk时，左边为f(k)(k1)(k2)(kk)，当nk1时，f(k1)(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2)f(k)(2k1)(2k2)(k1)f(k).6【解析】选B.第k1条直线与前k条直线都相交且有不同交点时，交点个数最多，此时应比原先增加k个交点7【解析】选D.从nk到nk1的推理时没有运用归纳假设，因此证明不正确8导学号60840072【解析】选B.1，n16，n7，故n08.9【解析】选D.当n3时f(n)分两类，第一类从第n1层再上一层，有f(n1)种方法；第二类从第n2层再一次上
7、两层，有f(n2)种方法，所以f(n)f(n1)f(n2)(n3)10【解析】选D.因为f(k)k2成立时f(k1)(k1)2成立，当k4时，f(4)251642成立所以当k4时，有f(k)k2成立11【解析】选C.数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，所以k是正整数，又第一步是递推的基础，所以k大于等于1.12【解析】选D.因为f(n)1，所以f(n1)1，所以f(n1)f(n).13导学号60840073【解析】当nk1时，左端123k2(k21)(k1)2.所以增加了(k21)(k1)2.【答案】(k21)(k1)214【解析】当n2时，中间的式子为11.【答案】115ak142
8、(k1)1216导学号60840074【解析】因为Sn，Sn1，2S1成等差数列所以2Sn1Sn2S1，又S1a11.所以2S2S12S13S13，于是S2，2S3S22S12，于是S3，2S4S32S12，于是S4，由此猜想Sn.【答案】，17【证明】(1)当n1时，左边，右边，所以等式成立(2)假设nk时等式成立，即，当nk1时，.即nk1时等式成立由(1)、(2)可知，对于任意的自然数n等式都成立18导学号60840075【证明】(1)因为a1a21，故a3a1a22，a4a3a23.所以b1a43，当n1时，b1能被3整除(2)假设nk时，bka4k是3的倍数，则nk1时，bk1a4(
9、k1)a4k4a4k3a4k2a4k2a4k1a4k1a4k3a4k12a4k.由归纳假设知，a4k是3的倍数，又3a4k1是3的倍数，故可知bk1是3的倍数，所以当nk1时命题也正确综合(1)(2)可知，对正整数n，数列bn的各项都是3的倍数19【证明】(1)由于a14，a2a1.且a1ak且ak0，那么ak10.这就是说，当nk1时不等式也成立，根据(1)(2)可知，不等式对任何自然数n都成立因此，对任何自然数n，都有an1an且an0.20导学号60840076【解】(1)当n3时，xn.(2)a1x2x1a，a2x3x2x2(x2x1)a，a3x4x3x3(x3x2)a，由此推测ana
10、(nN)用数学归纳法证明：当n1时，a1x2x1aa，公式成立假设当nk时，公式成立，即aka成立那么当nk1时，ak1xk2xk1xk1(xk1xk)akaa，公式仍成立，根据和可知，对任意nN，公式ana成立21【证明】(1)当n1时，一条直线把平面分成两个区域，又(1212)2，所以n1时命题成立(2)假设nk时，命题成立，即k条满足题意的直线把平面分割成了(k2k2)个区域那么当nk1时，k1条直线中的k条直线把平面分成了(k2k2)个区域，第k1条直线被这k条直线分成k1段，每段把它们所在的区域分成了两块，因此增加了k1个区域，所以k1条直线把平面分成了(k2k2)k1(k1)2(k1)2个区域所以nk1时命题也成立由(1)(2)知，对一切的nN，上述命题均成立22导学号60840077【证明】(1)当n2时，左边tan tan 2，右边222tan tan 2，等式成立(2)假设当nk时等式成立，即tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan kak.则当nk1时，tan tan 2tan 2tan 3tan(k1)tan ktan ktan(k1)ktan ktan(k1)k1tan(k1)tan ktan(k1)tan k(k1)，所以当nk1时，等式也成立由(1)和(2)知，n2，nN时等式恒成立
