1、2古典概型21古典概型的概率计算公式新课程标准解读核心素养结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的概率数学抽象、数学运算齐王与田忌赛马，田忌的上马优于齐王的中马，劣于齐王的上马，田忌的中马优于齐王的下马，劣于齐王的中马，田忌的下马劣于齐王的下马现各出上、中、下三匹马分别进行一场比赛，胜两场以上(含两场)即为获胜问题(1)若齐王知道田忌马的出场顺序，他获胜的概率是多大？(2)如田忌知道齐王马的出场顺序，他能获胜吗？若双方均不知对方马的出场顺序，你能探求田忌获胜的概率吗？知识点古典概型1古典概型的含义一般地，若试验E具有如下特征：(1)有限性：试验E的样本空间的样本点总数有限，即
2、样本空间为有限样本空间；(2)等可能性：每次试验中，样本空间的各个样本点出现的可能性相等则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型2古典概型的概率计算公式对古典概型来说，如果样本空间包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为P(A) 若一次试验的结果所包含的样本点的个数是有限个，则该试验是古典概型吗？提示：不是，还必须满足每个样本点出现的可能性相等1下列试验中，是古典概型的有()A某人射击中靶或不中靶B在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都为整数的所有点中任取一个C四位同学用抽签法选一人参加会议D运动员投篮，观察是否投中解析：选CA中，某人射击中靶与不中靶
3、的概率不相等，所以A不是古典概型；B中，横坐标和纵坐标都为整数的所有点有无数个，所以B不是古典概型；C中，每个人被选中的可能性相等，且共有4种结果，符合古典概型的特征，所以C是古典概型；D中，运动员投篮投中与没有投中的概率不相等，所以D不是古典概型2甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_解析：试验所包含的样本点有(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，红)，(白，白)，(白，蓝)，(蓝，红)，(蓝，白)，(蓝，蓝)，共9种，其中颜色相同的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种，故所求的概率为P.答案：古典概型的判断例1(链
4、接教科书第195页思考交流)(多选)下列概率模型不属于古典概型的是()A某射手射击一次，可能命中0环，1环，2环，10环B某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲C一只使用中的灯泡的寿命长短D中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差”解析A不属于，原因是命中0环，1环，10环的概率不一定相同，不满足等可能性；B属于，原因是满足有限性，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的；C不属于，原因是灯泡的寿命是任何一个非负实数，有无限多种可能，不满足有限性；D不属于，原因是该品牌月饼被评为“优”或“差”的概率不一定相同，不满足等可能性答案ACD判断一个试验是古
5、典概型的依据判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征有限性和等可能性，二者缺一不可 跟踪训练下列试验是古典概型的为_(填序号)从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；近三天中有一天降雨的概率；10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率解析：是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响答案：较为简单的古典概型问题例2(链接教科书第195页例1)同时掷两个骰子，计算：(1)一共有多少种不同的结果？(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种？(3)向上的点数之和是5的概率是多少？解(1)把
6、两个骰子标上记号1，2以便区分，可能结果如表所示：1234561(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)所以，同时掷两个骰子的结果共有36种(2)由表可知，向上的点数之和是5的结果有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种(3)记事件A表示“向上的点数之和
7、为5”，由(2)可知，事件A包含的样本点个数为4.于是由古典概型的概率计算公式可得P(A).母题探究1(变设问)本例条件不变，求向上的点数之和不大于7的概率？解：记“点数之和不大于7”这一事件为C，则C(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，样本点共有21个P(C).2(变设问)本例条件不变，求向上的点数之和等于3的倍数的概率？解：记“点数之和等于3的倍数”为事件D，即点数和为3，6，
8、9，12的情形，则D(1，2)，(1，5)，(2，1)，(2，4)，(3，3)，(3，6)，(4，2)，(4，5)，(5，1)，(5，4)，(6，3)，(6，6)，样本点共有12个P(D).求解古典概型的概率“四步”法 跟踪训练1甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组(两人参加各小组的可能性相同)，则两人参加同一个学习小组的概率为()ABC D解析：选A甲、乙两人参加学习小组，若以(A，B)表示甲参加学习小组A，乙参加学习小组B，则样本空间(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)
9、，其中两人参加同一个学习小组共包含3个样本点，所以所求概率为.2某市举行职工技能比赛活动，甲厂派出2男1女共3名职工，乙厂派出2男2女共4名职工，若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名进行比赛，求选出的2名职工性别相同的概率解：记甲厂派出的2名男职工为A1，A2，女职工为a；乙厂派出的2名男职工为B1，B2，2名女职工为b1，b2.从甲厂和乙厂报名的职工中各任选1名，不同的结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B1)，(a，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共12种其中选出的2名职工性别相同的
10、结果有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(a，b1)，(a，b2)，共6种故选出的2名职工性别相同的概率为.较为复杂的古典概型问题例3(链接教科书第196页练习1题)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：若xy3，则奖励玩具一个；若xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由解用数对(x，
11、y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间与点集S(x，y)|xN，yN，1x4，1y4一一对应因为S中元素的个数是16个，所以样本点总数n16.(1)记“xy3”为事件A，则事件A包含的样本点个数共5个，即A(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)所以P(A)，即小亮获得玩具的概率为.(2)记“xy8”为事件B，“3xy8”为事件C.则事件B包含的样本点共6个，即B(2，4)，(3，3)，(3，4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)所以P(B).事件C包含的样本点个数共5个，即C(1，4)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(4，1)所以P(C).因为，所以小亮获得水
12、杯的概率大于获得饮料的概率解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：(1)试验必须具有古典概型的两大特征有限性和等可能性；(2)计算样本点的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有样本点 跟踪训练甲、乙两人参加知识竞赛活动，组委会给他们准备了难、中、易三档题，其中容易题2道 ，分值各10分，中档题1道，分值20分，难题1道，分值40分，两人需分别从这4道题中随机抽取1道题作答(甲、乙两人所选题目可以相同).(1)求甲、乙所选题目分值相同的概率；(2)求甲所选题目分值大于乙所选题目分值的概率解：(
13、1)设容易题用A1，A2表示，中档题用B表示，难题用C表示甲、乙两人分别从中随机抽取1道题作答，样本点共16个，为(A1，A1)，(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A2，A1)，(A2，A2)，(A2，B)，(A2，C)，(B，A1)，(B，A2)，(B，B)，(B，C)，(C，A1)，(C，A2)，(C，B)，(C，C).甲、乙所选题目分值相同所包含的样本点有(A1，A1)，(A1，A2)，(A2，A1)，(A2，A2)，(B，B)，(C，C)，共6个，所以甲、乙所选题目分值相同的概率为.(2)甲所选题目分值大于乙所选题目分值所包含的样本点有(B，A1)，(B，A2)，(C，A1
14、)，(C，A2)，(C，B)，共5个，所以甲所选题目分值大于乙所选题目分值的概率为.1下列试验中，是古典概型的为()A三月份某一天是否下雨B从规格直径为250 mm0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径dC抛一枚硬币，观察其出现正面或反面D春天移植的树苗能否成活解析：选C古典概型有两个条件：有限性、等可能性故选C.2在某微信群的“微信抢红包”活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为1.72元，1.83元，2.28元，1.55元，0.62元的5个红包，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙抢到的金额之和不低于3元的概率是()A BC D解析：选D由题意，知甲、乙抢到的金额包
15、含的样本点的总数为20，分别为(1.72，1.83)，(1.72，2.28)，(1.55，0.62)，(1.83，1.72)，(2.28，1.72)，(0.62，1.55).甲、乙抢到的金额之和不低于3元包含的样本点有12个，分别为(1.72，1.83)，(1.72，2.28)，(1.72，1.55)，(1.83，2.28)，(1.83，1.55)，(2.28，1.55)，(1.83，1.72)，(2.28，1.72)，(1.55，1.72)，(2.28，1.83)，(1.55，1.83)，(1.55，2.28).所以甲、乙抢到的金额之和不低于3元的概率为.故选D.3从集合a，b，c，d，e的
16、所有子集中任取一个，则这个集合恰是集合a，b，c的子集的概率是()A BC D解析：选C集合a，b，c，d，e有2532个子集，集合a，b，c有238个子集，所以所求概率P.4四条线段的长度分别是1，3，5，7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是()A BC D解析：选A从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型又因为所有样本点包括(1，3，5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)四种，而能构成三角形的样本点只有(3，5，7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率P.5从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于_解析：用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人共有15个样本点(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，2名都是女同学的有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共有3个样本点故所求的概率为.答案：