1、衡阳市教科院 1rzyxAOCB2020 届衡阳市高三第二次联考数学（理科）参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D A C A B C D D A B C 13.2 14.48 15.4 16.2 【重点题简析】10.【解析】239103,23,33,93xkxkxkx，求10310MOD.【法一】数字易分解，取余自分晓.10381 81 9，显然103109MOD.【法二】转化之中看尾数，逐次递推规律现.3 的尾数为3，23 的尾数为9，33 的尾数为7，43 的尾数为1，53 的尾数为3,以此类推便知，其尾数以4 为周期的规律循环呈现，103与2
2、3 的尾数一致，为9.【法三】结构须意识，勿忘二项式.105505455539(10 1)1010(1)CC,知103109MOD.11.【解析】依题化简得：()cos2f xx，根据正余弦曲线与正切曲线的图象性质，欲使得两函数图象对称中心一致，()cos2()f xx须为奇函数，且tanyx只能为tanyx，有如下图的两类情况.4 34 12.【解析】【法一】角靠拢，形助兴 coscossinsincos2sin2cos2(coscossinsin)22222222222ABABABCABABAB，整理得：1tantan223AB，cos1tantan21222tan 23sintantan
3、tantan22222ABABCABABAB，如图有：2133rxyrrzxy，2211tantan()223332ABxyxyrmax32r.【法二】1tantan,223AB tantan112292()2()2()tantantan1tantantantan2222222ABrrrxyzrCBAABBA得：11tantan2223ABrmax32r.衡阳市教科院 2r3-xxAOCBDECPABOAPCB【法三】1tantan,223AB coscos2sincos2222ABCCC，cossin2sincos2222ABABCC，得1(sinsin)2sincossin222CCABC
4、，由正弦定理，得239,3.abccc 1tantan223AB，如图可得：1(3)3rrxx，2(3)3xxr，max33,22xr.【评】可能会有一部分同学，猜正三角形，从而得到答案.数学多猜想，灵气亦运气.14.【解析】汉字笔画为传统文化中的常识，求同存异，除偏旁外，六个字剩下的笔画数分别为3,3,5,6,6,5.故由相邻问题捆绑法，可知共有2223222348A A A A 个.15.【解析】如图，将三棱锥补为长方体，易知其外接球的球心在长方体体对角线的中点，AO 与 PC 所成角即为EAD，在 EAD中,易求6,3AEAD，2cos2EAD，则 AO 与 PC 所成角的大小为4.16
5、.【解析】222222222222111236()10(6)xykk xk xxababbbyk x 222222222222011236()0(6)xykk xk xxababbbyk x,由以上两式可知：ADBCxxxx,故而 ADBC，具有相同的中点，故 ABCD，如图，有2122112F CDF ABSCD hEFSAB hEF.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【解】【法一】(1)依题：212221212nnnnaanaan，两式相减即得：11nnbb ，nb为等差数列-6 分【法二】依题：1211nnnnaanaan，两式相减即得：21nnaa ,故奇数项成
6、等差数列，即 nb为等差数列-6 分 E(-6,0)NF1MF2衡阳市教科院 3xFEA1CDAyzB1BHI(2)【法一】241234232412(1 23)()()()1442Saaaaaa-8 分 3112345303115(230)()()()12412Saaaaaaa-11 分312497SS-12 分【法二】3124252631252627303125()()2628 30SSaaaaaaaaa nb为等差数列，故21nan，2513a，故312497SS.-12 分【温馨提示】考查了等差数列的证明，求数列通项，mnSS式处理，以及分组求和与等差数列求和思想.旨在考查考生的运算能力
7、，局部与整体的关系处理，对式子的结构感知并借助式子之间的协作互助性应用解题.18.【解】（1）依题：平面 与两平行平面 ABCD，1111A BC D 的交线分别为,EF DC,故有/EFDC，又=EF DC，故有平行四边形 EFCD-2 分/ED FC,ED 面 ACF,FC 面 ACF，/ED平面 ACF-4 分（2）ADC中，由余弦定理可得3AC，由勾股定理得 ACAD，又1AA 平面 ABCD，故而1,AA AC AD 两两垂直，如图建系.-5 分【法一求 EH】取 AD 中点 H，由1/AHA E，1AHA E得平行四边形1A AHE，1/AAHE，HE 平面 ACD，作 HIDC，
8、（连 EI），又 HECD，CD 平面 EHI，得CDEI，又 HIDC，EIH为所求二面角的平面角.易求34HI，又4tan33EHEIHHI，1EH -9 分【法二求 EH】面 ABCD的法向量显然为(0,0,1)n，设面 EFCD 的法向量为=(,)kx y z，1(,0,)2Eh，00k DCk DE ,令3x，3(3,1,)2kh，依题：3119n khn k-9 分 由/ED平面 ACF，点 E 到平面 ACF 的距离转化为 D 到平面 ACF 的距离d，(1,0,0)D,(0,3,0)C，1(,3,1)2DCEFF,设平面 ACF 的法向量为(,)mx y z，00m ACmm
9、AF可为(2,0,1)，255m ADdm.【请试试等积法求距离】-12 分 衡阳市教科院 4【温馨提示】第一问考查线面平行，利用两平行平面的性质解之；第二问，考查了二面角，点到平面的距离，向量代数法的综合应用.题目入口宽，较开放，传统几何法与向量代数法都可以解决.重在考查考生的空间分析与想象能力，转化思想，求解运算能力，并体现向量法解题的优化作用.19.【解】（1）由图可知，数学素养能力测试为 A 的频率为0.1，故该班“数学素养能力测试”的科目平均分为0.1 50.2 40.375 3 0.075 20.25 12.825 -2 分语文素养能力测试为 A 的频率为0.075，故而该班有3
10、0.07540人.“数学素养能力测试”科目成绩为A 的人数40 0.14(人)-3 分（2）依题：x 的取值可为29,28,27,26,25,24.-4 分13393(29)84CP XC，1214323910(28)84CC CP XC，311133243925(27)84CC C CP XC-6 分212142343924(26)84C CC CP XC，21433918(25)84C CP XC，34394(24)84CP XC-8 分31025241841292827262524268484848484843EX-9 分3 102519()(29)+(28)+(27)=8442P XE
11、XP XP XP X-10 分（3）乙，甲，丙-12 分【温馨提示】本题以学校培养学生学科能力素养为背景，体现教育中以人为本，因材施教的理念.第一问考查对条形图的识别与分析；第二问为古典概型以及求期望，体现了分类讨论思想，第三问，则为常识与数学的结合.重在考查考生的基本的概率统计意识，求解运算能力，分类列举思想，并一定程度展现数学与生活的联系.20.【解】（1）设(,),(,0)2PD x y C，依题：44.22ppDFxx228ypp-2 分24 2168CDpp，得4.p-4 分（2）(2,4)D，显然直线 AB 不平行 x 轴，设直线:AByxm，221212(,),(,)88yyAy
12、By228808yxmyymyx，12128,8.yyy ym-5 分李同学：1212128()88824OAOByykkmyyy ym -8 分 即直线:4AByx，直线过定点(0,4)-9 分 刘同学：121222121212164()8()1(24)4()2644ADBDy yyykky ymyyy y-11 分 代入4m 可知：4ADBDkk.因此，a 的值为4.-12 分衡阳市教科院 5【温馨提示】第一问考查抛物线定义，以及方程思想解基本量.第二问以两个过定点问题为背景命制试题，即背景一：抛物线上定点 D，若ADBDkk为定值，则直线 AB 过某定点；背景二：若OAOBkk为定值，则
13、直线 AB 过某定点，两种探索殊途同归，相互借鉴，亦可推广.本题考查了常见的解几技巧，方程思想求标准方程，联立方程韦达定理，合理设点设线等，重在考查考生的基本的求解运算能力，方程思想，也旨在引导考生的殊途同归式探索与协作精神，展现数学中偶然与必然的数学思想.21.【解】（1）1()ln(1)1ln(1)11xfxxaxaxx-1 分211()0(1)(1)fxxx，故()fx在(1,)上单调递增-2 分(0)0fa，0,01xxx,令ln(1)01axaxe，可知(1)0af e-4 分 由零点存在定理知：在(0,1)ae 上必存在一个变号零点 x，即极小值点-5 分且ln(1)1xxax，极
14、小值2()ln(1)01xf xxxax(确切点极小值为一个负数)，命题得证-6 分【思考问题】第一问改为：【改一】去掉条件“0a”.【改二】探讨函数()f x 的极值点个数？（2）依题：(0)(0)1fag，4m，43sin3sin22mxxxxxx-7 分 不妨先证明：4ln(1)3sin2xxxxxx，()sing xx在0 x 处的切线为 yx 构造函数：()sinh xxx，()1 cos0h xx，0,()xh x，()(0)sinh xhxx不妨先证：4ln(1)32xxxxxx，等价于证明：4ln(1)202xx-10 分 构造函数：4()ln(1)22k xxx，22()0(
15、1)(2)xk xxx，故有0,()xk x，()(0)0k xk，由不等式传递性，可知命题得证.-12 分【温馨提示】第一问在分析单调性的基础上，由零点存在定理寻找导函数的变号零点问题（含参找点问题），再利用隐零点代换得到此函数的一个优美性质.第二问，通过切线放缩（题中有暗示）以及字母放缩，重新构造函数从而删繁就简证明，旨在考查代数式的结构意识，分析能力，放缩思想，转化思想，构造函数策略，对数据以及代数式的敏感及处理策略.本题在解决时，需要步步为营的探索精神，化繁为简的简化意识.22.【解】（1）消参可得曲线C 的普通方程：22(1)(3)4xy，即以(1,3)为圆心，半径为2 的圆，依题知
16、直线 1l 过圆心(1,3)，1tan3-4 分（2）【法一】将22(1)(3)4xy化为极坐标方程：4sin()6，直线 222:(0)2l 衡阳市教科院 6xyAOB 2222214 4sin()sin()8 sin()cos()4 sin(2)263663OABS-7 分 依题：24 sin(2)2 23，222sin(2)232，又242333可得：235243425112424-9 分又,A B 不重合，可得：23，综上，2 的范围为 511,)(,24 3324-10 分【法二】如图，设AOB，OBAB，4cosOB，4sinAB，14sin4cos4sin 22 22OABS，2
17、sin 22，得：324438825112424-9 分又,A B 不重合，可得：23，综上，2 的范围为 511,)(,24 3324-10 分【温馨提示】本题考查了极坐标方程，参数方程与普通方程的互化以及应用解题，涉及面积的处理.策略选择问题，旨在考查考生的分析能力，解题策略的恰当选择能力，以及求解运算能力.23.【解】（1）依题：(1)1,1()(1)1,1a xxf xaxx.-2 分欲合题意，只须 101110aaa -4 分（2）【求 a 的范围法一】依题可得：|1|(1)xa x，如图，由函数|1|yx，(1)ya x的图象位置关系，可得：1 1012aa -7 分【求 a 的范围法二】因为|1|(1)xa x 恒成立，当1,10 xax，只须0110aaa ；当1,(2)10 xa x，只须 2101220aaa 综上可得：12a-7 分()(2)=13242f xfxxxaa .-9 分 12,420aa，故不等式得证.-10 分【温馨提示】本题第一问关键是熟悉含绝对值函数图象性质，第二问，数形结合解决恒成立问题，也可以分参解之，进一步融合三角不等式考查，考查了分类讨论思想，数形结合思想，结构意识，求解运算能力.