1、题型专题(十八)概率、随机变量及其分布列师说考点1古典概型的概率公式P(A).说明求事件包含的基本事件数，常用计数原理与排列、组合的相关知识2几何概型的概率公式P(A).典例(1)(2016合肥质检)某企业的4名职工参加职业技能考核，每名职工均可从4个备选考核项目中任意抽取一个参加考核，则恰有一个项目未被抽中的概率为()A. B. C. D.解析选A由题意得，所有的基本事件总数为44256，若恰有一个项目未被抽中，则说明4名职工总共抽取了3个项目，符合题意的基本事件数为CCCA144，故所求概率P，故选A.(2)(2016山西质检)某同学用计算器产生两个0，1之间的均匀随机数，分别记作x，y.
2、当y的概率是()A. B. C. D.解析选D记“y”为事件B，所有(x，y)构成的区域如图所示，S1x2dxx3|0，S2x2dxS1x3|，则所求概率为，故选D.1利用古典概型求概率的关键及注意点(1)正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数，这常常用到排列、组合的有关知识(2)对于较复杂的题目计数时要正确分类，分类时应不重不漏2几何概型的适用条件及应用关键(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域 演练冲关1(2016全国甲
3、卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A. B. C. D.解析：选B如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯AB长度为401525，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.2在三棱锥SABC内任取一点P，使得三棱锥PABC的体积满足VPABCVSABC的概率是()A. B. C. D.解析：选A由题意知，三棱锥SABC与三棱锥PABC的底面相同，设三棱锥SABC的底面面积为S，则三棱锥PABC的高h与三棱锥SABC的高h满
4、足ShSh，所以h10.828，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关(2)每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5.其中P(X0)；P (X1)C；P (X2)C；P (X3)C；P (X4)C；P (X5).所以X的分布列为：由于XB，则E(X)52；D(X)5.随机变量的均值与其他知识的交汇随机变量及其分布是高考的一个必考点，多为解答题，重点考查离散型随机变量的分布列与均值知识近几年，高考试题通过对常见模型进行改编，成为立意高、情境新、设问巧、贴近生活的问题典例某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A，B两种奶制品生产1吨A产品需鲜
5、牛奶2吨，使用设备1小时，获利1 000元；生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1 200元要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍，设备每天生产A，B两种产品时间之和不超过12小时假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位：吨)是一个随机变量，其分布列为W121518P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利Z(单位：元)是一个随机变量(1)求Z的分布列和均值；(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率解(1)设每天A，B两种产品的生产数量分别为x，y，相应的获利为z，则有(*)目
6、标函数为z1 000x1 200y.将z1 000x1 200y变形为l：yx，设l0：yx.当W12时，(*)表示的平面区域如图阴影部分所示，三个顶点分别为A(0，0)，B(2.4，4.8)，C(6，0)平移直线l0知当直线l过点B，即当x2.4，y4.8时，z取最大值，故最大获利Zzmax2.41 0004.81 2008 160(元)当W15时，(*)表示的平面区域如图阴影部分所示，三个顶点分别为A(0，0)，B(3，6)，C(7.5，0)平移直线l0知当直线l过点B，即当x3，y6时，z取得最大值故最大获利Zzmax31 00061 20010 200(元)当W18时，(*)表示的平面
7、区域如图阴影部分所示，四个顶点分别为A(0，0)，B(3，6)，C(6，4)，D(9，0)平移直线l0知当直线l过点C，即当x6，y4时，z取得最大值，故最大获利Zzmax61 00041 20010 800(元)故最大获利Z的分布列为Z8 16010 20010 800P0.30.50.2因此，E(Z)8 1600.310 2000.510 8000.29 708.(2)由(1)知，一天最大获利超过10 000元的概率p1P(Z10 000)0.50.20.7，由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为P1(1p1)310.330.973.(1)本题是随机变量的均值与线性
8、规划知识的交汇，主要考查离散型随机变量的分布列、均值与线性规划等相关知识(2)求解本题的关键：利用条件列出不等关系，即约束条件；求出目标函数所对应的最值；结合概率知识求解即可解决 演练冲关甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元(1)求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；(2)设总决赛中获得门票总收入为X，求X的均值E(X)解：(1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为40，公差为10的等差数
9、列设此数列为an，则易知a140，an10n30，所以Sn300.解得n5或n12(舍去)，所以总决赛共比赛了5场则前4场比赛的比分必为13，且第5场比赛为领先的球队获胜，其概率为C.所以总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率为.(2)随机变量X可取的值为S4，S5，S6，S7，即220，300，390，490.P(X220)2，P (X300)C，P (X390)C，P (X490)C，所以X的分布列为X220300390490P所以X的均值为E(X)220300390490377.5(万元)一、选择题1投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.
10、6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A0.648 B0.432 C0.36 D0.312解析：选A3次投篮投中2次的概率为P(k2)C0.62(10.6)，投中3次的概率为P(k3)0.63，所以通过测试的概率为P(k2)P(k3)C0.62(10.6)0.630.648.2(2016张掖模拟)某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为()A. B. C. D.解析：选B第一次摸出新球记为事件A，则P(A)，第二次取到新球记为事件B，则P(AB)，P(B|A)，故选B.3(2016广州模
11、拟)在平面区域(x，y)|0x1，1y2内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y2x的概率为()A. B. C. D.解析：选A依题意作出图象如图，则P(y2x).4(2016江西两市联考)已知集合M=1,2,3，N=1,2，3,4.定义映射f:MN，则从中任取一个映射满足由点A(1，f(1)，B(2，f(2)，C(3，f(3)构成ABC且ABBC的概率为()A. B. C. D.解析：选C集合M1，2，3，N1，2，3，4，N有4364种，映射f:MN有4364种，由点A(1，f(1)，B(2，f(2)，C(3，f(3)构成ABC且ABBC，f(1)f(3)f(2)，f(1)f(3)有
12、4种选择，f(2)有3种选择，从中任取一个映射满足由点A(1，f(1)，B(2，f(2)，C(3，f(3)构成ABC且ABBC的事件有4312种，所求概率为.5不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则PB的概率为()A. B. C. D.解析：选A联立解得x1或x2.由几何概型知识可知所求概率P.6先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1，2，3，4，5，6个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，记事件A为“xy为偶数”，事件B为“x，y中有偶数且xy”，则概率P(B|A)()A. B. C. D.解析：选B正面朝上的点数(x，y)的不同结果共有CC
13、36(种)事件A：“xy为偶数”包含事件A1：“x，y都为偶数”与事件A2：“x，y都为奇数”两个互斥事件，其中P(A1)，P(A2)，所以P(A)P(A1)P(A2).事件B为“x，y中有偶数且xy”，所以事件AB为“x，y都为偶数且xy”，所以P(AB).由条件概率的计算公式，得P(B|A).二、填空题7(2016山东高考)在1，1上随机地取一个数k，则事件“直线ykx与圆(x5)2y29相交”发生的概率为_解析：由直线ykx与圆(x5)2y29相交，得3，即16k29，解得k.由几何概型的概率计算公式可知P.答案：8(2016四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上
14、时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是_解析：法一：由题意可知每次试验不成功的概率为，成功的概率为，在2次试验中成功次数X的可能取值为0，1，2，则P(X0)，P(X1)C，P(X2).所以在2次试验中成功次数X的分布列为X012P则在2次试验中成功次数X的均值为E(X)012.法二：此试验满足二项分布，其中p，所以在2次试验中成功次数X的均值为E(X)np2.答案：9某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射满3次为止设甲每次击中的概率为p(p0)，射击次数为，
15、若的均值E()，则p的取值范围是_解析：由已知得P(1)p，P(2)(1p)p，P(3)(1p)2，则E()p2(1p)p3(1p)2p23p3，解得p或p，又p(0，1)，所以p.答案：三、解答题10(2016全国甲卷)某险种的基本保费为a (单元：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保
16、人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值解：(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P(A)1(0.300.15)0.55.(2)设B表示事件“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P(B)0.10.050.15.又P(AB)P(B)，故P(B|A).因此所求概率为.(3)记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05E(X)0
17、.85a0.30a0.151.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.051.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.11(2016石家庄一模)某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员到篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：(1)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；(2)在某场比赛中，考察他前4次投篮命中时到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于4米的记1分，否则扣掉1分用随机变量
18、X表示第4次投篮后的总分，将频率视为概率，求X的分布列和均值解：(1)设该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数为x，0.2010.200.5；x4，5由0.40(5x)0.2010.5，解得x4.25，该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数是4.25米(2)由频率分布直方图可知投篮命中时到篮筐中心距离超过4米的概率为p，随机变量X的所有可能取值为4，2，0，2，4.P(X4)，P (X2)C，P (X0)C，P (X2)C，P (X4)，X的分布列为：X42024PE(X)(4)(2)024.12(2016贵阳模拟)在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的
19、茎叶图(1)若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(2)若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，记选出的成绩中超过87分的个数为随机变量，求的分布列和均值解：(1)学生甲的平均成绩x甲82，学生乙的平均成绩x乙82，又s(6882)2(7682)2(7982)2(8682)2(8882)2(9582)277，s(7182)2(7582)2(8282)2(8482)2(8682)2(9482)2，则x甲x乙，ss，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛(2)随机变量的所有可能取值为0，1，2，且P(0)，P(1)，P (2)，则的分布列为012P所以均值E()012.